Przeciwobraz obrazu zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo »

Warunek \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\) jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ \neg\left( y\in f\left[ A\right] \land y\notin f\left[ B\right]\right)}\), czyli warunkowi "\(\displaystyle{ y\notin f[A]}\) lub \(\displaystyle{ y\in f\left[ B\right]}\)". Ponieważ jednak wiemy, że pierwsza możliwość jest wykluczona (gdyż \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right] \subseteq f[A]}\)), więc musi zachodzić warunek \(\displaystyle{ y\in f\left[ B\right]}\) i dalej można kontynuować jak poniżej.
Faktycznie teraz to widzę.

Mam wciąż problem z dowodem klasycznym tego twierdzenia.

"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] =f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\) gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to dla \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A \setminus B\right]}\) takiego, że \(\displaystyle{ f\left( t\right) =f\left( x\right) }\) mamy \(\displaystyle{ x=t}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in A \setminus B}\). Skoro \(\displaystyle{ t \in A \setminus B}\) to \(\displaystyle{ t \in A}\) oraz \(\displaystyle{ t\notin B}\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\) oraz \(\displaystyle{ y=f\left( t\right)\notin f\left[ B\right] }\). Ponieważ zachodzi to dla dowolnego \(\displaystyle{ t=x \in A \setminus B}\) to wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( t\right) \in f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\).

DS
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

smo pisze: 22 maja 2021, o 22:41Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to dla \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A \setminus B\right]}\) takiego, że \(\displaystyle{ f\left( t\right) =f\left( x\right) }\) mamy \(\displaystyle{ x=t}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in A \setminus B}\).
To ostatnie zdanie jest dość sztuczne.
smo pisze: 22 maja 2021, o 22:41Skoro \(\displaystyle{ t \in A \setminus B}\) to \(\displaystyle{ t \in A}\) oraz \(\displaystyle{ \red{t\notin B}}\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\) oraz \(\displaystyle{ \red{y=f\left( t\right)\notin f\left[ B\right] } }\).
Znów stwierdzenie bez uzasadnienia - to jest cały czas ten sam nie-dowód.

W wersji wprost ten dowód wygląda tak:

Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\), czyli \(\displaystyle{ x \in A }\) i \(\displaystyle{ x \notin B}\), takie że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ x \in A }\), więc \(\displaystyle{ y \in f[A] }\). Ponadto, gdyby \(\displaystyle{ y\in f[{}B]}\), to istniałoby \(\displaystyle{ t\in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(t)}\). Z injektywności funkcji \(\displaystyle{ f}\) oznaczałoby to, że \(\displaystyle{ x=t}\), co jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ x \notin B}\). Wobec tego \(\displaystyle{ y\notin f[{}B]}\), czyli \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\), czego należało dowieść.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo »

Dziękuję.

Chciałbym też przedstawić dowody następujących własności przeciwobrazów:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie dowolną funkcją oraz \(\displaystyle{ C,D \subseteq Y}\) dowolnymi zbiorami. Wówczas zachodzą równości:
1. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cup D\right] = f^{-1}\left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right] }\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ C,D \subseteq Y}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ C \subseteq C\cup D}\) oraz \(\displaystyle{ D \subseteq C\cup D}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cup D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C\cup D}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) lub \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in D}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) lub \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ D\right]}\), a więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1} \left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right]}\).

2. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cap D\right] = f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right] }\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ C,D \subseteq Y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ C\cap D \subseteq C}\) oraz \(\displaystyle{ C\cap D \subseteq D}\) to wówczas \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cap D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cap D\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) oraz \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ D\right]}\). A zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in D}\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C\cap D}\), a więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\cap D\right]}\).

3. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C \setminus D\right] = f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right] }\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin f^{-1}\left[ D\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right)\notin D}\) czyli \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C \setminus D}\). A więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C \setminus D\right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C \setminus D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right]}\):
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C \setminus D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C \setminus D}\), a zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right)\notin D}\). Dla \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) mamy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f\left( x\right)\notin D}\) to wówczas \(\displaystyle{ x\notin f^{-1}\left[ D\right] }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin f^{-1}\left[ D\right]}\) to \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right]}\).

DS
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

smo pisze: 25 maja 2021, o 20:30Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie dowolną funkcją oraz \(\displaystyle{ C,D \subseteq Y}\) dowolnymi zbiorami. Wówczas zachodzą równości:
1. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cup D\right] = f^{-1}\left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right] }\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ C,D \subseteq Y}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ C \subseteq C\cup D}\) oraz \(\displaystyle{ D \subseteq C\cup D}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cup D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\cup D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C\cup D}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) lub \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in D}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) lub \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ D\right]}\), a więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1} \left[ C\right]\cup f^{-1}\left[ D\right]}\).
Dobrze, ale można prościej. Wystarczy zauważyć, że wszystkie przejścia w dowodzie drugiej inkluzji są równoważnościami.
smo pisze: 25 maja 2021, o 20:302. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cap D\right] = f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right] }\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ C,D \subseteq Y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ C\cap D \subseteq C}\) oraz \(\displaystyle{ C\cap D \subseteq D}\) to wówczas \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\cap D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\cap D\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]\cap f^{-1}\left[ D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) oraz \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ D\right]}\). A zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in D}\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C\cap D}\), a więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\cap D\right]}\).
Ten sam komentarz, co powyżej.
smo pisze: 25 maja 2021, o 20:303. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C \setminus D\right] = f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right] }\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin f^{-1}\left[ D\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right)\notin D}\) czyli \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C \setminus D}\). A więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C \setminus D\right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ C \setminus D\right] \subseteq f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right]}\):
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C \setminus D\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C \setminus D}\), a zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right)\notin D}\). Dla \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in C}\) mamy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f\left( x\right)\notin D}\) to wówczas \(\displaystyle{ x\notin f^{-1}\left[ D\right] }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right]}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin f^{-1}\left[ D\right]}\) to \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ C\right] \setminus f^{-1}\left[ D\right]}\).
Tu także - prowadzisz w zasadzie dwa razy to samo rozumowanie. Jest to poprawne, ale wystarczy zauważyć, że przejścia są równoważnościami i zrobić to jeden raz.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo »

Faktycznie, dostrzegam to teraz. Czyli można po prostu kolejne etapy dowodu każdej z równości poprzedzać symbolem \(\displaystyle{ \Leftrightarrow }\) zamiast prowadzić dwa odrębne dowodzenia przeciwnych inkluzji.

DS
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo »

Dziękuję.

DS
ODPOWIEDZ