Przeciwobraz obrazu zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 13 maja 2021, o 22:31

smo pisze:
13 maja 2021, o 18:15
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że dla \(\displaystyle{ x \neq z}\) mamy \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\).
Lepiej jest napisać: "Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq z}\) i \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\)."
smo pisze:
13 maja 2021, o 18:15
Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A_{1}, A_{2} \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{1} =\left\{ x\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ A_{2} =\left\{ x,t\right\} }\).
Chyba chciałeś napisać \(\displaystyle{ A_{2} =\left\{ x,z\right\} }\). Tyle, że to zupełnie zły pomysł.
smo pisze:
13 maja 2021, o 18:15
Wówczas \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\), a więc w tym wypadku \(\displaystyle{ \red{f\left( x\right)=f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]} }\). Jednocześnie \(\displaystyle{ \red{f\left[ A_{1} \right]\cap f\left[ A_{2} \right]=f\left( x\right)} }\). Zatem \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} =f\left( x\right) }\), a skoro \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\) to \(\displaystyle{ \red{f\left( z\right)=f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}=\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\). Czyli zachodzi \(\displaystyle{ \blue{f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}} }\). Wówczas dochodzimy do sprzeczności bo z odp. twierdzenia wiemy, że powyższa równość zachodzi gdy funkcja \(\displaystyle{ \blue{f}}\) jest injekcją.
A tutaj to już wszystko Ci się pozajączkowało.

Czerwone zapisy są formalnie bezsensowne - porównujesz elementy zbioru \(\displaystyle{ Y}\) z podzbiorami tego zbioru, a to są zupełnie różne byty. Żeby to miało sens formalny, to musiałbyś wszystkie te równości zastąpić symbolami należenia. Co w żaden sposób nie ratuje dowodu od strony merytorycznej, bo najgorszy jest fragment niebieski - to jest zupełny logiczny fikołek: przypuściłeś nie wprost fałszywość tezy, wywnioskowałeś stąd (nieważne jak) warunek zgodny z założeniem (czyli nie ma w tym żadnej sprzeczności), po czym - mimo to - stwierdziłeś, że to prowadzi do sprzeczności, powołując się w tym celu (niepoprawnie zresztą) na twierdzenie, które właśnie dowodzisz!

Początek był dobry, ale potem wszystko Ci się pomieszało. Skoro rozumujesz nie wprost, to musisz dojść do sprzeczności. Taką sprzeczność najłatwiej dostać z założeniem. Sprzeczność z założeniem polega na wskazaniu rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq P(X)}\), dla której nie zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\). Najwygodniej jest wskazać rodzinę dwuelementową, ale musi składać się ona z innych zbiorów, niż zaproponowałeś.

JK
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 14 maja 2021, o 20:48

To może tak:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeśli dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją elementy \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A_{1}, A_{2} \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{1} =\left\{ x\right\}, A_{2} =\left\{ \emptyset\right\} }\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}=\emptyset}\). Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) nie jest funkcją \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \emptyset}\) wówczas \(\displaystyle{ Y \neq \emptyset}\), a więc \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \emptyset }\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ A_{1} \right]\cap f\left[ A_{2} \right] =\emptyset}\) czyli \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}=\emptyset}\). Wówczas dla przedstawionej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) mamy \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 14 maja 2021, o 21:15

smo pisze:
14 maja 2021, o 20:48
To może tak:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeśli dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją elementy \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A_{1}, A_{2} \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{1} =\left\{ x\right\}, A_{2} =\left\{ \emptyset\right\} }\).
Źle. Skąd przypuszczenie, że \(\displaystyle{ \emptyset\in X}\) (a dokładnie to oznacza \(\displaystyle{ A_{2} =\left\{ \emptyset\right\}}\))?
smo pisze:
14 maja 2021, o 20:48
Wówczas \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}=\emptyset}\).
Że co?!

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 14 maja 2021, o 22:17

To jeszcze raz:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeżeli dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A_{1}, A_{2} \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{1} =\left\{ x\right\}, A_{2} =\left\{ t\right\}, t \in X, t \neq x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( t\right) \neq f\left( x\right)}\). Wówczas \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {A}=\emptyset}\). Ale jeżeli \(\displaystyle{ Y \neq \emptyset}\) to \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \emptyset}\). Jednocześnie skoro \(\displaystyle{ f\left( t\right) \neq f\left( x\right)}\) to \(\displaystyle{ f\left[ A_{1} \right]\cap f\left[ A_{2} \right] =\emptyset}\) czyli \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} =\emptyset}\). Zatem dla przedstawionej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 14 maja 2021, o 22:30

Nadal niedobrze. Niepotrzebnie kombinujesz.
smo pisze:
14 maja 2021, o 22:17
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeżeli dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A_{1}, A_{2} \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{1} =\left\{ x\right\}, A_{2} =\left\{ t\right\}, t \in X, t \neq x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( t\right) \neq f\left( x\right)}\).
Źle - takie \(\displaystyle{ t}\) może nie istnieć. Ale po co wprowadzasz nową zmienną? To zupełnie zbędne.
smo pisze:
14 maja 2021, o 22:17
Ale jeżeli \(\displaystyle{ Y \neq \emptyset}\) to \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \emptyset}\).
Niby dlaczego? Przed chwilą stwierdziłeś, że \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {A}=\emptyset}\), a teraz twierdzisz, że \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \emptyset}\). Twierdzisz zatem, że obraz zbioru pustego jest niepusty, co jest bardzo nieprawdziwe, bo obraz zbioru pustego jest zawsze pusty.

Weź \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\) i rozważ po prostu rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\{\{x\},\{z\}\}}\).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 15 maja 2021, o 20:19

Faktycznie.

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeżeli dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq z}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ \left\{ x\right\},\left\{ z\right\} \right\} }\) wówczas \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {A}=\emptyset}\), a więc \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\emptyset}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \neq \emptyset}\) bo \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\). Zatem dla przedstawionej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 15 maja 2021, o 21:12

No właśnie.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 17 maja 2021, o 22:19

Dziękuję.

Chciałbym teraz udowodnić następujące własności obrazów:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie dowolną funkcją oraz \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\).
Wówczas:

1.\(\displaystyle{ f\left[ A\cup B\right] =f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] }\)

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ A\cup B\right] \subseteq f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right]}\):
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cup B\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) to z def. sumy zbiorów mamy, że \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) lub \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] }\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A\cup B\right]}\):
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) lub \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\). Gdy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[A \right]}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\). Gdy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) to \(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cup B\right] }\).

2. \(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] \subseteq f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cap B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in A\cap B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A\cap B}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x \in B}\). Wówczas dla \(\displaystyle{ x \in A}\) mamy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) oraz dla \(\displaystyle{ x \in B}\) mamy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\).

3. \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y\notin f\left[ B\right]}\). Z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje zatem \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin B}\) dla którego \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin B}\) to \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\), a zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\setminus B\right] }\).

Twierdzenie: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\)".
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją oraz niech \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) będzie dowolną niepustą rodziną zbiorów taką, że \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A,B\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\). Wówczas \(\displaystyle{ A\cap B=\bigcap\mathcal {A}}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \in \mathcal {A}}\). Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to korzystając z odp. twierdzenia mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\), a zatem \(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\).

Twierdzenie: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ A \setminus B\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\)."
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją oraz niech \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ T\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ T \subseteq X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\) to mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ T\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right] \subseteq Y}\). Wówczas z odp. lematu wynika, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ T\right] \right] \subseteq f^{-1}\left[ f\left[ A \setminus B\right] \right]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to z odp. twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ T\right] \right] = f^{-1}\left[ f\left[ A \setminus B\right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ T \subseteq X}\), a zatem \(\displaystyle{ T=A \setminus B}\) czyli \(\displaystyle{ f\left[ T\right] =f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]=f\left[ A \setminus B\right] }\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 17 maja 2021, o 22:55

smo pisze:
17 maja 2021, o 22:19
1.\(\displaystyle{ f\left[ A\cup B\right] =f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] }\)

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ A\cup B\right] \subseteq f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right]}\):
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cup B\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) to z def. sumy zbiorów mamy, że \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) lub \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] }\).
OK.
smo pisze:
17 maja 2021, o 22:19
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A\cup B\right]}\):
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( \red{x}\right) \in f\left[ A\right] }\) lub \(\displaystyle{ y=f\left( \red{x}\right) \in f\left[ B\right] }\). Gdy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[A \right]}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\). Gdy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) to \(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cup B\right] }\).
W zasadzie dobrze, ale jest niezręczność w sformułowaniu - pojawia się czerwone \(\displaystyle{ \red{x}}\), a nie wiadomo, co to jest. Dlatego zamiast

"Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) lub \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\). Gdy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[A \right]}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\). Gdy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) to \(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cup B\right] }\)."

lepiej jest napisać

"Wówczas \(\displaystyle{ y\in f\left[ A\right] }\) lub \(\displaystyle{ y \in f\left[ B\right] }\). Jeśli \(\displaystyle{ y\in f\left[ A\right] }\), to istnieje \(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(x)}\). Jeśli \(\displaystyle{ y\in f\left[B\right] }\), to istnieje \(\displaystyle{ x \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(x).}\) Zatem istnieje \(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\), czyli \(\displaystyle{ y\in f\left[ A\cup B\right] }\)."
smo pisze:
17 maja 2021, o 22:19
2. \(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] \subseteq f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cap B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in A\cap B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A\cap B}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x \in B}\). Wówczas dla \(\displaystyle{ x \in A}\) mamy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) oraz dla \(\displaystyle{ x \in B}\) mamy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\).
OK.

Mogłeś też skorzystać z udowodnionej wcześniej własności obrazu (i z własności przekroju zbiorów): ponieważ \(\displaystyle{ A\cap B \subseteq A}\) i \(\displaystyle{ A\cap B \subseteq B}\), więc \(\displaystyle{ f[A\cap B] \subseteq f[A]}\) i \(\displaystyle{ f[A\cap B] \subseteq f[{}B]}\), zatem \(\displaystyle{ f[A\cap B] \subseteq f[A]\cap f[{}B].}\)
smo pisze:
17 maja 2021, o 22:19
3. \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y\notin f\left[ B\right]}\). Z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje zatem \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ \red{x\notin B}}\) dla którego \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin B}\) to \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\), a zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\setminus B\right] }\).
To nie tak prosto - nie można wygłosić czerwonego stwierdzenia bez uzasadnienia. Z faktu, że \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\) możesz wywnioskować, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), ale to, że ten właśnie \(\displaystyle{ x}\) nie należy do zbioru \(\displaystyle{ B}\) powinieneś krótko uzasadnić, korzystając z tego, że \(\displaystyle{ y\notin f\left[ B\right]}\).
smo pisze:
17 maja 2021, o 22:19
Twierdzenie: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\)".
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją oraz niech \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) będzie dowolną niepustą rodziną zbiorów taką, że \(\displaystyle{ \red{\mathcal {A}=\left\{ A,B\right\}} }\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\). Wówczas \(\displaystyle{ A\cap B=\bigcap\mathcal {A}}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \in \mathcal {A}}\). Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to korzystając z odp. twierdzenia mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\), a zatem \(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\).
To twierdzenie istotnie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia, które udowodniłeś wcześniej, więc można tak wnioskować. Wszelakoż forma Ci nie wyszła - czerwony fragment brzmi jak "niech \(\displaystyle{ x}\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą równą 1" (czyli "Dostarczamy naszym klientom każdy model auta w dowolnym kolorze, pod warunkiem, że będzie to Ford T w kolorze czarnym" :wink: ), czyli niedobrze. Wystarczy napisać "Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A,B\right\} }\)" - Ty znasz twierdzenie w przypadku ogólnym dla dowolnej niepustej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\), które stosujesz do konkretnej (a nie dowolnej!) rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A,B\right\} }\).
smo pisze:
17 maja 2021, o 22:19
Twierdzenie: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ A \setminus B\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\)."
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją oraz niech \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ T\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ T \subseteq X}\).
Źle. Na razie nie masz pojęcia, że różnica \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\) jest równa obrazowi jednego zbioru, więc nie możesz tego zakładać (to zalatuje zakładaniem tezy).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 18 maja 2021, o 20:10

Dziękuję za wszystkie wyjaśnienia.
Na razie nie masz pojęcia, że różnica \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\) jest równa obrazowi jednego zbioru, więc nie możesz tego zakładać (to zalatuje zakładaniem tezy)
Faktycznie teraz widzę, że nie mogłem uznać, że różnica \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\) jest obrazem jednego zbioru.
W takim razie raz jeszcze:

"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ A \setminus B\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\)."
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Wówczas korzystając z odp. twierdzenia mamy \(\displaystyle{ A = f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz \(\displaystyle{ B= f^{-1}\left[ f\left[ B\right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\). Zatem \(\displaystyle{ A \setminus B= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \setminus f^{-1}\left[ f\left[ B\right] \right]= f^{-1}\left[ f\left[ A \setminus B\right] \right]}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq X}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to obrazem zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A \setminus B\right] \right] }\) jest zbiór \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right]}\), obrazem \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) jest zbiór \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) oraz obrazem zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ B\right] \right]}\) jest zbiór \(\displaystyle{ f\left[ B\right]}\). Zatem skoro zachodzą powyższe równości oraz różnica przeciwobrazów obrazów zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest przeciwobrazem obrazu zbioru \(\displaystyle{ A \setminus B}\) wówczas zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ A \setminus B\right] }\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 18 maja 2021, o 20:34

smo pisze:
18 maja 2021, o 20:10
W takim razie raz jeszcze:

"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ A \setminus B\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\)."
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Wówczas korzystając z odp. twierdzenia mamy \(\displaystyle{ A = f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz \(\displaystyle{ B= f^{-1}\left[ f\left[ B\right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\). Zatem \(\displaystyle{ A \setminus B= \red{f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \setminus f^{-1}\left[ f\left[ B\right] \right]= f^{-1}\left[ f\left[ A \setminus B\right] \right]}}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq X}\).
Pomijając już, że stwierdzenie "dla każdego \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq X}\)" nie bardzo ma sens, to czerwony fragment to klasyczne wnioskowanie z tezy. Przecież jedyne, co wiesz z własności przeciwobrazu, to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \setminus f^{-1}\left[ f\left[ B\right] \right]= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \right]}\).

Zamiast na siłę wciskać wcześniej dowodzone twierdzenia, spróbuj to zrobić wprost z założenia o injektywności. Pamiętaj, że brakuje Ci tylko zawierania \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] \subseteq f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] .}\) Ustal zatem dowolne \(\displaystyle{ y\in f\left[ A \setminus B\right]}\) itd. Jeśli to będzie dla Ciebie wygodniejsze, to możesz rozumować nie wprost (czyli przypuścić, że \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] \not\subseteq f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\), co oznacza istnienie takiego \(\displaystyle{ y\in f\left[ A \setminus B\right]}\), że \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\)).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 19 maja 2021, o 18:19

Dziękuję za wskazówki.

"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] =f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\)".
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\) dla którego \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A \setminus B\right] }\) to istnieje \(\displaystyle{ z \in f^{-1}\left[ f\left[ A \setminus B\right]\right] }\) takie, że \(\displaystyle{ f\left( z\right) =f\left( x\right) }\), a ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to wówczas \(\displaystyle{ z=x}\). Tak więc \(\displaystyle{ z \in A \setminus B}\). Skoro \(\displaystyle{ x=z \in A \setminus B }\) to \(\displaystyle{ x=z \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x=z\notin B}\). Gdy \(\displaystyle{ x=z \in A}\) to \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( z\right) \in f\left[ A\right] }\). Gdy \(\displaystyle{ x=z\notin B}\) wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( z\right)\notin f\left[ B\right] }\). Zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) =f\left( z\right) \in f\left[ A\right] }\) oraz \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) =f\left( z\right)\notin f\left[ B\right] }\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) =f\left( z\right) \in f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\).

Dowód nie wprost:
Ponieważ inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\) zachodzi zawsze bez względu na injektywność funkcji \(\displaystyle{ f}\) załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right]\not\subseteq f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\), że \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y\notin f\left[ B\right]}\). Wówczas \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\) czyli \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] \neq f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\). Wówczas korzystając z odp. twierdzenia dochodzimy do sprzeczności z założeniem, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 19 maja 2021, o 18:39

Na razie nic z tego.
smo pisze:
19 maja 2021, o 18:19
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\) dla którego \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ \red{y=f\left( x\right) \in f\left[ A \setminus B\right]}}\) to istnieje \(\displaystyle{ \red{z \in f^{-1}\left[ f\left[ A \setminus B\right]\right] }}\) takie, że \(\displaystyle{ \red{f\left( z\right) =f\left( x\right)} }\), a ponieważ \(\displaystyle{ \red{f}}\) jest injekcją to wówczas \(\displaystyle{ \red{z=x}}\). Tak więc \(\displaystyle{ \red{z \in A \setminus B}}\). Skoro \(\displaystyle{ \red{x=z \in A \setminus B }}\) to \(\displaystyle{ \red{x=z \in A}}\) oraz \(\displaystyle{ \red{x=z\notin B}}\). Gdy \(\displaystyle{ x\red{=z }\in A}\) to \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)\red{=f\left( z\right)} \in f\left[ A\right] }\). Gdy \(\displaystyle{ x\red{=z}\notin B}\) wówczas \(\displaystyle{ \blue{y=f\left( x\right)}\red{=f\left( z\right)}\blue{\notin f\left[ B\right]} }\). Zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)\red{ =f\left( z\right)} \in f\left[ A\right] }\) oraz \(\displaystyle{ \blue{y=f\left( x\right)} \red{=f\left( z\right)}\blue{\notin f\left[ B\right] } }\), a więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)\red{ =f\left( z\right)} \in f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\).
No nie. Czerwone fragmenty można spokojnie wykreślić, bo dokładnie nic nie wnoszą - stwierdzasz najpierw istnienie \(\displaystyle{ x}\) o pewnych własnościach, a potem stwierdzasz istnienie \(\displaystyle{ z}\), takiego że \(\displaystyle{ z=x}\). No to akurat nie wymaga żadnego wnioskowania... A jak już wymażesz wszystkie czerwone kawałki, to od razu widać, że niebieski fragment nie ma żadnego uzasadnienia - dokładnie tak samo, jak poprzednio. Zatem nie jest to dowód, tylko sprytna ściema...
smo pisze:
19 maja 2021, o 18:19
Dowód nie wprost:
Ponieważ inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\) zachodzi zawsze bez względu na injektywność funkcji \(\displaystyle{ f}\) załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right]\not\subseteq f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\), że \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ \red{y\notin f\left[ A\right]}}\) oraz \(\displaystyle{ \red{y\notin f\left[ B\right]}}\).
A to czerwone to skąd wytrzasnąłeś? Rozpisz porządnie co to znaczy, że \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 20 maja 2021, o 22:30

Chyba zaczynam to widzieć.

"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] =f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\) gdzie \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\).
Dowód nie wprost:
Ponieważ inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\) zachodzi zawsze bez względu na injektywność funkcji \(\displaystyle{ f}\) załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] \not\subseteq f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\). Wówczas \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f\left[ B\right]}\) bądź \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f\left[ B\right]}\). W obu przypadkach mamy \(\displaystyle{ y \in f\left[ B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in B}\) dla którego \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\). Ale jednocześnie \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ x \in B}\) to \(\displaystyle{ x\notin A \setminus B}\) gdyż zbiory \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ A \setminus B}\) są rozłączne. Tak więc musi istnieć takie \(\displaystyle{ t \in A \setminus B}\), że \(\displaystyle{ t \neq x}\) oraz \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( t\right) }\). Ale wówczas \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją co daje nam sprzeczność z założeniem.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 20 maja 2021, o 22:54

Dużo lepiej, ale...
smo pisze:
20 maja 2021, o 22:30
Ponieważ inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\) zachodzi zawsze bez względu na injektywność funkcji \(\displaystyle{ f}\) załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f\left[ A \setminus B\right] \not\subseteq f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\). Wówczas \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f\left[ B\right]}\) bądź \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f\left[ B\right]}\).
...ten ostatni wniosek jest nieuzasadniony - nie wynika on bezpośrednio z warunku \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\), a takie można odnieść wrażenie czytając Twój dowód. Wygląda to raczej tak, że napisałeś ten warunek, bo tak Ci pasowało...

Warunek \(\displaystyle{ y\notin f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] }\) jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ \neg\left( y\in f\left[ A\right] \land y\notin f\left[ B\right]\right)}\), czyli warunkowi "\(\displaystyle{ y\notin f[A]}\) lub \(\displaystyle{ y\in f\left[ B\right]}\)". Ponieważ jednak wiemy, że pierwsza możliwość jest wykluczona (gdyż \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right] \subseteq f[A]}\)), więc musi zachodzić warunek \(\displaystyle{ y\in f\left[ B\right]}\) i dalej można kontynuować jak poniżej.
smo pisze:
20 maja 2021, o 22:30
Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in B}\) dla którego \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\). Ale jednocześnie \(\displaystyle{ y \in f\left[ A \setminus B\right]}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ x \in B}\) to \(\displaystyle{ x\notin A \setminus B}\) gdyż zbiory \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ A \setminus B}\) są rozłączne. Tak więc musi istnieć takie \(\displaystyle{ t \in A \setminus B}\), że \(\displaystyle{ t \neq x}\) oraz \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( t\right) }\). Ale wówczas \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją co daje nam sprzeczność z założeniem.
JK

ODPOWIEDZ