Równolicznosc prostej z prostą bez punktu

[Tatq]

Hej, mam problem z ustaleniem funkcji która jest bijekcja ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \RR}\) na \(\displaystyle{ \RR \setminus \{2\}}\). Trochę internetu już przekopałem i dalej nic. Z góry dziękuję

[Jan Kraszewski]

Ładnego wzoru nie będzie - musisz zgubić punkt po ciągu. Zatem np.

\(\displaystyle{ f:\RR\to\RR \setminus \{2\}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x+1&\text{gdy }x\in\NN \setminus \{0,1\} \\ x&\text{poza tym}. \end{cases} }\)

JK

[a4karo]

Jan lubi prowokować. Ja tam się nauczyłem, że w matematyce słowo "musisz" stosuje się baaaardzo rzadko. I tu też nie musisz.
A wzorek tez jakoś da się wykombinować.

Mamy \(\displaystyle{ [0,\infty)=\bigcup_{n=0}^\infty [n,n+1)}\). Funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto \lfloor x\rfloor +1 -x}\) odwzorowuje \(\displaystyle{ [n,n+1)}\) na \(\displaystyle{ (n,n+1]}\), zatem funkcja

\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} x & x<0\\ \lfloor x\rfloor +1 -x & x\geq 0\end{cases}}\)
jest bijekcją \(\displaystyle{ \RR}\) na \(\displaystyle{ \RR\setminus\{0\}.}\)

Ale ten wzorek jest brzydki, bo składany, a nam zależy na takim zwykłym pojedynczym wzorku. Niech \(\displaystyle{ H(x)=\left\lfloor 1+\frac{2}{\pi}\arctan x\right\rfloor}\) (to jest po prostu funkcja Heavyside'a, tylko zapisana bez warunków). Teraz już prosto: szukana bijekcją \(\displaystyle{ \RR\to\RR\setminus\{0\}}\) dana jest wzorkiem

\(\displaystyle{ f(x)=2+xH(-x)+(\lfloor x\rfloor +1 -x)H(x)}\)

[Jakub Gurak]

Na upartego to wszystko można wzorem podać, po prostu rozbudowujesz pojęcia w postaci wzorów, aż do skutku, i potem podajesz jeden wzór- tylko, że dla mnie to jest przekłamanie, uważam, że wzory powinne być proste, i jak najbardziej popieram podejście Jana Kraszewskiego.

[Jan Kraszewski]

Jan lubi prowokować.

Pisząc ten post byłem w zasadzie pewny, że następny post będzie należał do a4karo i będzie w nim wzór bez klamerek, nawet miałem to zaanonsować...

Nie zmienia to faktu, że wg mnie wzór \(\displaystyle{ f(x)=2+xH(-x)+(\lfloor x\rfloor +1 -x)H(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ H(x)=\left\lfloor 1+\frac{2}{\pi}\arctan x\right\rfloor}\), nie jest ładny, a tylko taki udaje (impressive but not nice).

JK

[a4karo]

Ależ oczywiście, Janie, że ten wzór nie jest ładny. Nie jest również zbyt praktyczny. Natomiast doskonale wiesz dlaczego tu się pojawił.

Jak ten jest za skomplikowany, to może taki:

\(\displaystyle{ f(x)=x+\sum_{n=2}^\infty \left\lfloor\frac{1}{1+(x-n)^2}\right\rfloor}\)

@Jakub Gurak
Takie zabawy są dużo bardziej użyteczne, niż może się na pierwszy rzut oka wydawać