Równolicznosc prostej z prostą bez punktu
Równolicznosc prostej z prostą bez punktu
Hej, mam problem z ustaleniem funkcji która jest bijekcja ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \RR}\) na \(\displaystyle{ \RR \setminus \{2\}}\). Trochę internetu już przekopałem i dalej nic. Z góry dziękuję
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2021, o 19:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm. Nie używaj wzorów w tytule tematu.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm. Nie używaj wzorów w tytule tematu.
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równolicznosc prostej z prostą bez punktu
Ładnego wzoru nie będzie - musisz zgubić punkt po ciągu. Zatem np.
\(\displaystyle{ f:\RR\to\RR \setminus \{2\}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x+1&\text{gdy }x\in\NN \setminus \{0,1\} \\ x&\text{poza tym}. \end{cases} }\)
JK
\(\displaystyle{ f:\RR\to\RR \setminus \{2\}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x+1&\text{gdy }x\in\NN \setminus \{0,1\} \\ x&\text{poza tym}. \end{cases} }\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równolicznosc prostej z prostą bez punktu
Jan lubi prowokować. Ja tam się nauczyłem, że w matematyce słowo "musisz" stosuje się baaaardzo rzadko. I tu też nie musisz.
A wzorek tez jakoś da się wykombinować.
Mamy \(\displaystyle{ [0,\infty)=\bigcup_{n=0}^\infty [n,n+1)}\). Funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto \lfloor x\rfloor +1 -x}\) odwzorowuje \(\displaystyle{ [n,n+1)}\) na \(\displaystyle{ (n,n+1]}\), zatem funkcja
\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} x & x<0\\ \lfloor x\rfloor +1 -x & x\geq 0\end{cases}}\)
jest bijekcją \(\displaystyle{ \RR}\) na \(\displaystyle{ \RR\setminus\{0\}.}\)
Ale ten wzorek jest brzydki, bo składany, a nam zależy na takim zwykłym pojedynczym wzorku. Niech \(\displaystyle{ H(x)=\left\lfloor 1+\frac{2}{\pi}\arctan x\right\rfloor}\) (to jest po prostu funkcja Heavyside'a, tylko zapisana bez warunków). Teraz już prosto: szukana bijekcją \(\displaystyle{ \RR\to\RR\setminus\{0\}}\) dana jest wzorkiem
A wzorek tez jakoś da się wykombinować.
Mamy \(\displaystyle{ [0,\infty)=\bigcup_{n=0}^\infty [n,n+1)}\). Funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto \lfloor x\rfloor +1 -x}\) odwzorowuje \(\displaystyle{ [n,n+1)}\) na \(\displaystyle{ (n,n+1]}\), zatem funkcja
\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} x & x<0\\ \lfloor x\rfloor +1 -x & x\geq 0\end{cases}}\)
jest bijekcją \(\displaystyle{ \RR}\) na \(\displaystyle{ \RR\setminus\{0\}.}\)
Ale ten wzorek jest brzydki, bo składany, a nam zależy na takim zwykłym pojedynczym wzorku. Niech \(\displaystyle{ H(x)=\left\lfloor 1+\frac{2}{\pi}\arctan x\right\rfloor}\) (to jest po prostu funkcja Heavyside'a, tylko zapisana bez warunków). Teraz już prosto: szukana bijekcją \(\displaystyle{ \RR\to\RR\setminus\{0\}}\) dana jest wzorkiem
\(\displaystyle{ f(x)=2+xH(-x)+(\lfloor x\rfloor +1 -x)H(x)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Równolicznosc prostej z prostą bez punktu
Na upartego to wszystko można wzorem podać, po prostu rozbudowujesz pojęcia w postaci wzorów, aż do skutku, i potem podajesz jeden wzór- tylko, że dla mnie to jest przekłamanie, uważam, że wzory powinne być proste, i jak najbardziej popieram podejście Jana Kraszewskiego.
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równolicznosc prostej z prostą bez punktu
Pisząc ten post byłem w zasadzie pewny, że następny post będzie należał do a4karo i będzie w nim wzór bez klamerek, nawet miałem to zaanonsować...
Nie zmienia to faktu, że wg mnie wzór \(\displaystyle{ f(x)=2+xH(-x)+(\lfloor x\rfloor +1 -x)H(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ H(x)=\left\lfloor 1+\frac{2}{\pi}\arctan x\right\rfloor}\), nie jest ładny, a tylko taki udaje (impressive but not nice).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równolicznosc prostej z prostą bez punktu
Ależ oczywiście, Janie, że ten wzór nie jest ładny. Nie jest również zbyt praktyczny. Natomiast doskonale wiesz dlaczego tu się pojawił.
Jak ten jest za skomplikowany, to może taki:
Takie zabawy są dużo bardziej użyteczne, niż może się na pierwszy rzut oka wydawać
Jak ten jest za skomplikowany, to może taki:
\(\displaystyle{ f(x)=x+\sum_{n=2}^\infty \left\lfloor\frac{1}{1+(x-n)^2}\right\rfloor}\)
@Jakub GurakTakie zabawy są dużo bardziej użyteczne, niż może się na pierwszy rzut oka wydawać