Rodzina zbiorów parami rozłącznych
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Podziękował: 4 razy
Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Witam,
Mamy rodzinę zbiorów parami rozłącznych \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}:R \in\mathcal{R} \right\} }\),gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{j}:j \in J \right\} }\) jest indeksowaną rodziną zbiorów a zbiór \(\displaystyle{ J}\) jest zbiorem indeksów.
Nie rozumiem jakiego rodzaju odwzorowaniem jest przykładowa funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right) =R\times\left\{ R\right\} }\), gdzie funkcja \(\displaystyle{ h:\mathcal{R} \rightarrow \mathcal{S} \ }\).
Korzystając z mojej przykładowej rodziny zbiorów z posta o rzutowaniu na zbiór niech \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{a},X_{b},X_{c},X_{d},X_{e}\right\} }\),\(\displaystyle{ J=\left\{ a,b,c,d,e\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ X_{a} =\left\{ x_{3} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{b} =\left\{ x_{2}, x_{5} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{c} =\left\{ x_{1}, x_{6} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{d} =\left\{ x_{4} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{e} =\left\{ x _{7} \right\} }\).
Chciałem zapytać czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)}\) to będą przykładowe odwzorowania:
\(\displaystyle{ X _{a} \rightarrow x_{5}}\), \(\displaystyle{ X _{b} \rightarrow x_{7}}\), \(\displaystyle{ X_{c} \rightarrow x_{1}}\), \(\displaystyle{ X_{d} \rightarrow x_{3}}\), \(\displaystyle{ X_{e} \rightarrow x_{4}}\).
Czyli innymi słowy czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)= \left\{ X_{j}\times x: x \in X_{j}\right\} }\).
Proszę o wyjaśnienie.
DS
Mamy rodzinę zbiorów parami rozłącznych \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}:R \in\mathcal{R} \right\} }\),gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{j}:j \in J \right\} }\) jest indeksowaną rodziną zbiorów a zbiór \(\displaystyle{ J}\) jest zbiorem indeksów.
Nie rozumiem jakiego rodzaju odwzorowaniem jest przykładowa funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right) =R\times\left\{ R\right\} }\), gdzie funkcja \(\displaystyle{ h:\mathcal{R} \rightarrow \mathcal{S} \ }\).
Korzystając z mojej przykładowej rodziny zbiorów z posta o rzutowaniu na zbiór niech \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{a},X_{b},X_{c},X_{d},X_{e}\right\} }\),\(\displaystyle{ J=\left\{ a,b,c,d,e\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ X_{a} =\left\{ x_{3} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{b} =\left\{ x_{2}, x_{5} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{c} =\left\{ x_{1}, x_{6} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{d} =\left\{ x_{4} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{e} =\left\{ x _{7} \right\} }\).
Chciałem zapytać czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)}\) to będą przykładowe odwzorowania:
\(\displaystyle{ X _{a} \rightarrow x_{5}}\), \(\displaystyle{ X _{b} \rightarrow x_{7}}\), \(\displaystyle{ X_{c} \rightarrow x_{1}}\), \(\displaystyle{ X_{d} \rightarrow x_{3}}\), \(\displaystyle{ X_{e} \rightarrow x_{4}}\).
Czyli innymi słowy czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)= \left\{ X_{j}\times x: x \in X_{j}\right\} }\).
Proszę o wyjaśnienie.
DS
Ostatnio zmieniony 30 mar 2021, o 22:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Nie, no skąd. A sformułowanie "funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)}\) to będą przykładowe odwzorowania" nie ma sensu - \(\displaystyle{ h(R)}\) nie jest funkcją, tylko wartością funkcji \(\displaystyle{ h}\).smo pisze: ↑30 mar 2021, o 22:06Chciałem zapytać czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)}\) to będą przykładowe odwzorowania:
\(\displaystyle{ X _{a} \rightarrow x_{5}}\), \(\displaystyle{ X _{b} \rightarrow x_{7}}\), \(\displaystyle{ X_{c} \rightarrow x_{1}}\), \(\displaystyle{ X_{d} \rightarrow x_{3}}\), \(\displaystyle{ X_{e} \rightarrow x_{4}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ h}\) ma przecież wzór, więc nie wiem, skąd wziąłeś powyższą propozycję. Przecież w Twoim przykładzie \(\displaystyle{ h(X_a)=X_a\times \{X_a\}, h(X_b)=X_b\times \{X_b\}, h(X_c)=X_c\times \{X_c\}, h(X_d)=X_d\times \{X_d\}, h(X_e)=X_e\times \{X_e\}.}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Podziękował: 4 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Dziękuję. Teraz chciałem zapytać co będzie produktem dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). Czy do produktu tej rodziny będzie należała funkcja \(\displaystyle{ f=\left\{ \left( X_{a},h\left( X_{a} \right) \right),\left( X_{b},h\left( X_{b} \right) \right), \left( X_{c},h\left( X_{c} \right) \right), \left( X _{d},h\left( X_{d} \right) \right),\left( X_{e},h\left( X_{e} \right) \right) \right\} }\)
Czy tak będzie wyglądał wzór funkcji wyboru dla tej rodziny:
\(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup\left\{ R\times\left\{ R\right\} \right\}}\)
DS
Czy tak będzie wyglądał wzór funkcji wyboru dla tej rodziny:
\(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup\left\{ R\times\left\{ R\right\} \right\}}\)
DS
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
W żadnym razie - znów mylisz zbiór z jego elementem. Produkt rodziny \(\displaystyle{ S}\) składa się z takich funkcji \(\displaystyle{ f}\), że \(\displaystyle{ f:\mathcal R\to \bigcup_{R\in\mathcal R}R\times\{R\}}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ R\in \mathcal R}\) mamy \(\displaystyle{ f(R)\in R\times \{R\}}\). Zatem w tym produkcie znów są cztery funkcje:smo pisze: ↑1 kwie 2021, o 21:16 Dziękuję. Teraz chciałem zapytać co będzie produktem dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). Czy do produktu tej rodziny będzie należała funkcja \(\displaystyle{ f=\left\{ \left( X_{a},h\left( X_{a} \right) \right),\left( X_{b},h\left( X_{b} \right) \right), \left( X_{c},h\left( X_{c} \right) \right), \left( X _{d},h\left( X_{d} \right) \right),\left( X_{e},h\left( X_{e} \right) \right) \right\} }\)
\(\displaystyle{ f_1=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_2,X_b)), (X_c, (x_1,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e))\}\\
f_2=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_2,X_b)), (X_c, (x_6,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e)) \}\\
f_3=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_5,X_b)), (X_c, (x_1,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e)) \}\\
f_4=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_5,X_b)), (X_c, (x_6,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e)) \}. }\)
Tu nie ma żadnego wzoru, a dziedzina i przeciwdziedzina też są źle określone.
Natomiast funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ S}\) to dowolny element produktu tej rodziny, a te masz opisane powyżej.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Podziękował: 4 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Dziękuję. W takim razie nie rozumiem definicji funkcji wyboru. Chciałbym rozpatrzyć funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{j}:j \in J \right\} }\) Czy to będzie funkcja, która odwzorowuje każdy zbiór \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) w element x ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}}\) Czyli np. \(\displaystyle{ X_{b} \rightarrow x_{2}}\) ? Bo rozumiem, że z mojego przykładu \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}=\left\{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7} \right\} }\) \(\displaystyle{ \ }\)Chciałbym zrozumieć jak w praktyce "działa" ta funkcja. Co jest jej dziedziną a co przeciwdziedziną. W przypadku rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) rozumiem, że będzie to funkcja \(\displaystyle{ g:\mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R} }\) oraz \(\displaystyle{ g\left( R\right) \in R}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal{R}}\)
DS
DS
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Być może mylisz definicję "funkcji wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\)" (w domyśle - jedynej takiej) - nie ma czegoś takiego, z definicją własności "bycia funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\)".
Nie. Dokładniej - każda funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) każdemu zbiorowi \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) przypisuje element ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}}\), ale jest dużo innych funkcji, które też to robią, ale nie są funkcjami wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\). Funkcjami wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) są tylko te, które każdemu zbiorowi \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) przypisują element ze zbioru \(\displaystyle{ \red{X_j}}\).smo pisze: ↑2 kwie 2021, o 22:15Chciałbym rozpatrzyć funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{j}:j \in J \right\} }\) Czy to będzie funkcja, która odwzorowuje każdy zbiór \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) w element x ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}}\)
Intuicyjnie to bardzo proste: funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) każdemu zbiorowi z tej rodziny przypisuje jego element (czyli z każdego zbioru \(\displaystyle{ R\in\mathcal{R}}\) "wybiera" jego element).
Dokładnie tak. Musisz tylko pamiętać, że rodzina zbiorów może mieć dużo różnych funkcji wyboru.smo pisze: ↑2 kwie 2021, o 22:15Chciałbym zrozumieć jak w praktyce "działa" ta funkcja. Co jest jej dziedziną a co przeciwdziedziną. W przypadku rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) rozumiem, że będzie to funkcja \(\displaystyle{ g:\mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R} }\) oraz \(\displaystyle{ g\left( R\right) \in R}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal{R}}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Podziękował: 4 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Tak. Ma Pan rację. Chciałem też podejść do definicji funkcji wyboru jak np. do definicji funkcji wykładniczej czy jakiejkolwiek innej funkcji
a teraz zaczynam rozumieć, że to niemożliwe bo "natura" funkcji wyboru, że tak to ujmę jest zupełnie inna.
W takim razie rozumiem, że dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) z mojego przykładu będą istniały cztery funkcje wyboru \(\displaystyle{ g: \mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R}}\)
1. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a},x _{3} \right), \left( X_{b}, x_{2} \right), \left( X_{c}, x_{1} \right),\left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
2. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a}, x_{3} \right), \left( X_{b}, x_{2} \right), \left( X_{c}, x_{6} \right), \left( X _{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
3. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a}, x_{3} \right), \left( X_{b}, x_{5} \right), \left( X_{c}, x_{1} \right), \left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
4. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X _{a}, x_{3} \right), \left( X _{b}, x_{5} \right), \left( X_{c}, x_{6} \right), \left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
Teraz wróćmy do funkcji wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}: R \in \mathcal{R} \right\} }\)
Czy dziedziną funkcji wyboru dla tej rodziny będzie \(\displaystyle{ R\times\left\{ R\right\}}\) zaś przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\) ?
Funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ S}\) rozumiem jako \(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\)
DS
a teraz zaczynam rozumieć, że to niemożliwe bo "natura" funkcji wyboru, że tak to ujmę jest zupełnie inna.
W takim razie rozumiem, że dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) z mojego przykładu będą istniały cztery funkcje wyboru \(\displaystyle{ g: \mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R}}\)
1. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a},x _{3} \right), \left( X_{b}, x_{2} \right), \left( X_{c}, x_{1} \right),\left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
2. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a}, x_{3} \right), \left( X_{b}, x_{2} \right), \left( X_{c}, x_{6} \right), \left( X _{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
3. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a}, x_{3} \right), \left( X_{b}, x_{5} \right), \left( X_{c}, x_{1} \right), \left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
4. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X _{a}, x_{3} \right), \left( X _{b}, x_{5} \right), \left( X_{c}, x_{6} \right), \left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
Teraz wróćmy do funkcji wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}: R \in \mathcal{R} \right\} }\)
Czy dziedziną funkcji wyboru dla tej rodziny będzie \(\displaystyle{ R\times\left\{ R\right\}}\) zaś przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\) ?
Funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ S}\) rozumiem jako \(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\)
DS
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Nie wiem, jak definiujesz "naturę" funkcji... Dla mnie to funkcja jak każda inna, ale mamy dość istotnie różne doświadczenia w tej kwestii.
Tak.
Nie.smo pisze: ↑4 kwie 2021, o 13:37Teraz wróćmy do funkcji wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}: R \in \mathcal{R} \right\} }\)
Czy dziedziną funkcji wyboru dla tej rodziny będzie \(\displaystyle{ R\times\left\{ R\right\}}\) zaś przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\) ?
Źle. Sytuacja jest dokładnie taka sama, jak poprzednio, czyli funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) to funkcja \(\displaystyle{ g:\mathcal{S}\to\bigcup\mathcal{S}}\) (czyli \(\displaystyle{ g:\red{\{}R\times\left\{ R\right\}\red{:R\in\mathcal{R}\}} \rightarrow \bigcup_{\red{R\in\mathcal{R}}} R\times\left\{ R\right\}}\)) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ R\in\mathcal{R}}\) masz \(\displaystyle{ g(R\times\{R\})\in R\times\{R\}.}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Podziękował: 4 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
Dziękuję.
Teraz chciałbym zapytać o rzutowanie dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). W książce, którą przerabiam to rzutowanie jest określone w następujący sposób:
\(\displaystyle{ pr: \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times \left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R}\)
Pojawia się też stwierdzenie, że \(\displaystyle{ pr\left( x,R\right) =x}\) dla \(\displaystyle{ \left( x,R\right) \in \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\) czego zupełnie nie rozumiem. Z definicji rzutowania wynika, że dziedziną tej funkcji jest funkcja należąca do produktu danej rodziny zbiorów.
Natomiast w tym wypadku dziedziną rzutowania jest przeciwdziedzina funkcji należącej do produktu rodziny \(\displaystyle{ S}\).
Ja bym napisał, że \(\displaystyle{ pr_{R} \left( f\right) = pr_{R}\left( \mathcal{R},\left( \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} \right) \right)=f\left( R\right) =\bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ f \in \prod_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\)
Proszę o wytłumaczenie.
DS
Teraz chciałbym zapytać o rzutowanie dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). W książce, którą przerabiam to rzutowanie jest określone w następujący sposób:
\(\displaystyle{ pr: \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times \left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R}\)
Pojawia się też stwierdzenie, że \(\displaystyle{ pr\left( x,R\right) =x}\) dla \(\displaystyle{ \left( x,R\right) \in \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\) czego zupełnie nie rozumiem. Z definicji rzutowania wynika, że dziedziną tej funkcji jest funkcja należąca do produktu danej rodziny zbiorów.
Natomiast w tym wypadku dziedziną rzutowania jest przeciwdziedzina funkcji należącej do produktu rodziny \(\displaystyle{ S}\).
Ja bym napisał, że \(\displaystyle{ pr_{R} \left( f\right) = pr_{R}\left( \mathcal{R},\left( \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} \right) \right)=f\left( R\right) =\bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ f \in \prod_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\)
Proszę o wytłumaczenie.
DS
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Rodzina zbiorów parami rozłącznych
No cóż, dałeś się zmylić nazwom. To "rzutowanie" nie jest rzutowaniem, o które pytałeś wcześniej (czyli rzutowaniem na osie iloczynu kartezjańskiego). W matematyce już tak bywa, że czasem ten sam termin oznacza różne rzeczy i tak jest właśnie w tym wypadku. W takiej sytuacji na początku rozważań definiujemy pojęcia, których używamy i dlatego w tekście, który czytasz, rzutowanie oznacza dokładnie to, co napisałeś powyżej (a ponieważ to odwzorowanie jest swego rodzaju "rzutowaniem", stąd zapewne taka właśnie nazwa).smo pisze: ↑5 kwie 2021, o 21:51Teraz chciałbym zapytać o rzutowanie dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). W książce, którą przerabiam to rzutowanie jest określone w następujący sposób:
\(\displaystyle{ pr: \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times \left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R}\)
Pojawia się też stwierdzenie, że \(\displaystyle{ pr\left( x,R\right) =x}\) dla \(\displaystyle{ \left( x,R\right) \in \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\) czego zupełnie nie rozumiem.
Mylisz dziedzinę z argumentem (czyli elementem dziedziny).
W tym wypadku dziedziną jest suma urozłącznionej rodziny zbiorów.
JK