Rodzina zbiorów parami rozłącznych

[smo]

Witam,

Mamy rodzinę zbiorów parami rozłącznych \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}:R \in\mathcal{R} \right\} }\),gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{j}:j \in J \right\} }\) jest indeksowaną rodziną zbiorów a zbiór \(\displaystyle{ J}\) jest zbiorem indeksów.
Nie rozumiem jakiego rodzaju odwzorowaniem jest przykładowa funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right) =R\times\left\{ R\right\} }\), gdzie funkcja \(\displaystyle{ h:\mathcal{R} \rightarrow \mathcal{S} \ }\).
Korzystając z mojej przykładowej rodziny zbiorów z posta o rzutowaniu na zbiór niech \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{a},X_{b},X_{c},X_{d},X_{e}\right\} }\),\(\displaystyle{ J=\left\{ a,b,c,d,e\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ X_{a} =\left\{ x_{3} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{b} =\left\{ x_{2}, x_{5} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{c} =\left\{ x_{1}, x_{6} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{d} =\left\{ x_{4} \right\} }\), \(\displaystyle{ X_{e} =\left\{ x _{7} \right\} }\).

Chciałem zapytać czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)}\) to będą przykładowe odwzorowania:
\(\displaystyle{ X _{a} \rightarrow x_{5}}\), \(\displaystyle{ X _{b} \rightarrow x_{7}}\), \(\displaystyle{ X_{c} \rightarrow x_{1}}\), \(\displaystyle{ X_{d} \rightarrow x_{3}}\), \(\displaystyle{ X_{e} \rightarrow x_{4}}\).
Czyli innymi słowy czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)= \left\{ X_{j}\times x: x \in X_{j}\right\} }\).

Proszę o wyjaśnienie.

DS

[Jan Kraszewski]

Chciałem zapytać czy funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)}\) to będą przykładowe odwzorowania:
\(\displaystyle{ X _{a} \rightarrow x_{5}}\), \(\displaystyle{ X _{b} \rightarrow x_{7}}\), \(\displaystyle{ X_{c} \rightarrow x_{1}}\), \(\displaystyle{ X_{d} \rightarrow x_{3}}\), \(\displaystyle{ X_{e} \rightarrow x_{4}}\).

Nie, no skąd. A sformułowanie "funkcja \(\displaystyle{ h\left( R\right)}\) to będą przykładowe odwzorowania" nie ma sensu - \(\displaystyle{ h(R)}\) nie jest funkcją, tylko wartością funkcji \(\displaystyle{ h}\).

Funkcja \(\displaystyle{ h}\) ma przecież wzór, więc nie wiem, skąd wziąłeś powyższą propozycję. Przecież w Twoim przykładzie \(\displaystyle{ h(X_a)=X_a\times \{X_a\}, h(X_b)=X_b\times \{X_b\}, h(X_c)=X_c\times \{X_c\}, h(X_d)=X_d\times \{X_d\}, h(X_e)=X_e\times \{X_e\}.}\)

JK

[smo]

Dziękuję. Teraz chciałem zapytać co będzie produktem dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). Czy do produktu tej rodziny będzie należała funkcja \(\displaystyle{ f=\left\{ \left( X_{a},h\left( X_{a} \right) \right),\left( X_{b},h\left( X_{b} \right) \right), \left( X_{c},h\left( X_{c} \right) \right), \left( X _{d},h\left( X_{d} \right) \right),\left( X_{e},h\left( X_{e} \right) \right) \right\} }\)
Czy tak będzie wyglądał wzór funkcji wyboru dla tej rodziny:
\(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup\left\{ R\times\left\{ R\right\} \right\}}\)

DS

[Jan Kraszewski]

Dziękuję. Teraz chciałem zapytać co będzie produktem dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). Czy do produktu tej rodziny będzie należała funkcja \(\displaystyle{ f=\left\{ \left( X_{a},h\left( X_{a} \right) \right),\left( X_{b},h\left( X_{b} \right) \right), \left( X_{c},h\left( X_{c} \right) \right), \left( X _{d},h\left( X_{d} \right) \right),\left( X_{e},h\left( X_{e} \right) \right) \right\} }\)

W żadnym razie - znów mylisz zbiór z jego elementem. Produkt rodziny \(\displaystyle{ S}\) składa się z takich funkcji \(\displaystyle{ f}\), że \(\displaystyle{ f:\mathcal R\to \bigcup_{R\in\mathcal R}R\times\{R\}}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ R\in \mathcal R}\) mamy \(\displaystyle{ f(R)\in R\times \{R\}}\). Zatem w tym produkcie znów są cztery funkcje:

\(\displaystyle{ f_1=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_2,X_b)), (X_c, (x_1,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e))\}\\
f_2=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_2,X_b)), (X_c, (x_6,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e)) \}\\
f_3=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_5,X_b)), (X_c, (x_1,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e)) \}\\
f_4=\{(X_a,(x_3,X_a)), (X_b,(x_5,X_b)), (X_c, (x_6,X_c)), (X_d, (x_4,X_d)), (X_e, (x_7,X_e)) \}. }\)

Czy tak będzie wyglądał wzór funkcji wyboru dla tej rodziny:
\(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup\left\{ R\times\left\{ R\right\} \right\}}\)

Tu nie ma żadnego wzoru, a dziedzina i przeciwdziedzina też są źle określone.

Natomiast funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ S}\) to dowolny element produktu tej rodziny, a te masz opisane powyżej.

JK

[smo]

Dziękuję. W takim razie nie rozumiem definicji funkcji wyboru. Chciałbym rozpatrzyć funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{j}:j \in J \right\} }\) Czy to będzie funkcja, która odwzorowuje każdy zbiór \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) w element x ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}}\) Czyli np. \(\displaystyle{ X_{b} \rightarrow x_{2}}\) ? Bo rozumiem, że z mojego przykładu \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}=\left\{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7} \right\} }\) \(\displaystyle{ \ }\)Chciałbym zrozumieć jak w praktyce "działa" ta funkcja. Co jest jej dziedziną a co przeciwdziedziną. W przypadku rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) rozumiem, że będzie to funkcja \(\displaystyle{ g:\mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R} }\) oraz \(\displaystyle{ g\left( R\right) \in R}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal{R}}\)

DS

[Jan Kraszewski]

W takim razie nie rozumiem definicji funkcji wyboru.

Być może mylisz definicję "funkcji wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\)" (w domyśle - jedynej takiej) - nie ma czegoś takiego, z definicją własności "bycia funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\)".

Chciałbym rozpatrzyć funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}=\left\{ X_{j}:j \in J \right\} }\) Czy to będzie funkcja, która odwzorowuje każdy zbiór \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) w element x ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}}\)

Nie. Dokładniej - każda funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) każdemu zbiorowi \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) przypisuje element ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}}\), ale jest dużo innych funkcji, które też to robią, ale nie są funkcjami wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\). Funkcjami wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) są tylko te, które każdemu zbiorowi \(\displaystyle{ X_{j} }\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) przypisują element ze zbioru \(\displaystyle{ \red{X_j}}\).

Intuicyjnie to bardzo proste: funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) każdemu zbiorowi z tej rodziny przypisuje jego element (czyli z każdego zbioru \(\displaystyle{ R\in\mathcal{R}}\) "wybiera" jego element).

Chciałbym zrozumieć jak w praktyce "działa" ta funkcja. Co jest jej dziedziną a co przeciwdziedziną. W przypadku rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) rozumiem, że będzie to funkcja \(\displaystyle{ g:\mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R} }\) oraz \(\displaystyle{ g\left( R\right) \in R}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal{R}}\).

Dokładnie tak. Musisz tylko pamiętać, że rodzina zbiorów może mieć dużo różnych funkcji wyboru.

JK

[smo]

Tak. Ma Pan rację. Chciałem też podejść do definicji funkcji wyboru jak np. do definicji funkcji wykładniczej czy jakiejkolwiek innej funkcji
a teraz zaczynam rozumieć, że to niemożliwe bo "natura" funkcji wyboru, że tak to ujmę jest zupełnie inna.
W takim razie rozumiem, że dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) z mojego przykładu będą istniały cztery funkcje wyboru \(\displaystyle{ g: \mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R}}\)
1. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a},x _{3} \right), \left( X_{b}, x_{2} \right), \left( X_{c}, x_{1} \right),\left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
2. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a}, x_{3} \right), \left( X_{b}, x_{2} \right), \left( X_{c}, x_{6} \right), \left( X _{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
3. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X_{a}, x_{3} \right), \left( X_{b}, x_{5} \right), \left( X_{c}, x_{1} \right), \left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)
4. \(\displaystyle{ g=\left\{ \left( X _{a}, x_{3} \right), \left( X _{b}, x_{5} \right), \left( X_{c}, x_{6} \right), \left( X_{d}, x_{4} \right), \left( X_{e}, x_{7} \right) \right\} }\)

Teraz wróćmy do funkcji wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}: R \in \mathcal{R} \right\} }\)
Czy dziedziną funkcji wyboru dla tej rodziny będzie \(\displaystyle{ R\times\left\{ R\right\}}\) zaś przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\) ?
Funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ S}\) rozumiem jako \(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\)

DS

[Jan Kraszewski]

Chciałem też podejść do definicji funkcji wyboru jak np. do definicji funkcji wykładniczej czy jakiejkolwiek innej funkcji a teraz zaczynam rozumieć, że to niemożliwe bo "natura" funkcji wyboru, że tak to ujmę jest zupełnie inna.

Nie wiem, jak definiujesz "naturę" funkcji... Dla mnie to funkcja jak każda inna, ale mamy dość istotnie różne doświadczenia w tej kwestii.

W takim razie rozumiem, że dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) z mojego przykładu będą istniały cztery funkcje wyboru \(\displaystyle{ g: \mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R}}\)

Tak.

Teraz wróćmy do funkcji wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ R\times\left\{ R\right\}: R \in \mathcal{R} \right\} }\)
Czy dziedziną funkcji wyboru dla tej rodziny będzie \(\displaystyle{ R\times\left\{ R\right\}}\) zaś przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\) ?

Nie.

Funkcję wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ S}\) rozumiem jako \(\displaystyle{ g:R\times\left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup R\times\left\{ R\right\}}\)

Źle. Sytuacja jest dokładnie taka sama, jak poprzednio, czyli funkcja wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) to funkcja \(\displaystyle{ g:\mathcal{S}\to\bigcup\mathcal{S}}\) (czyli \(\displaystyle{ g:\red{\{}R\times\left\{ R\right\}\red{:R\in\mathcal{R}\}} \rightarrow \bigcup_{\red{R\in\mathcal{R}}} R\times\left\{ R\right\}}\)) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ R\in\mathcal{R}}\) masz \(\displaystyle{ g(R\times\{R\})\in R\times\{R\}.}\)

JK

[smo]

Dziękuję.
Teraz chciałbym zapytać o rzutowanie dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). W książce, którą przerabiam to rzutowanie jest określone w następujący sposób:
\(\displaystyle{ pr: \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times \left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R}\)
Pojawia się też stwierdzenie, że \(\displaystyle{ pr\left( x,R\right) =x}\) dla \(\displaystyle{ \left( x,R\right) \in \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\) czego zupełnie nie rozumiem. Z definicji rzutowania wynika, że dziedziną tej funkcji jest funkcja należąca do produktu danej rodziny zbiorów.
Natomiast w tym wypadku dziedziną rzutowania jest przeciwdziedzina funkcji należącej do produktu rodziny \(\displaystyle{ S}\).
Ja bym napisał, że \(\displaystyle{ pr_{R} \left( f\right) = pr_{R}\left( \mathcal{R},\left( \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} \right) \right)=f\left( R\right) =\bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ f \in \prod_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\)

Proszę o wytłumaczenie.

DS

[Jan Kraszewski]

Teraz chciałbym zapytać o rzutowanie dla rodziny \(\displaystyle{ S}\). W książce, którą przerabiam to rzutowanie jest określone w następujący sposób:
\(\displaystyle{ pr: \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times \left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R}\)
Pojawia się też stwierdzenie, że \(\displaystyle{ pr\left( x,R\right) =x}\) dla \(\displaystyle{ \left( x,R\right) \in \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R\times\left\{ R\right\} }\) czego zupełnie nie rozumiem.

No cóż, dałeś się zmylić nazwom. To "rzutowanie" nie jest rzutowaniem, o które pytałeś wcześniej (czyli rzutowaniem na osie iloczynu kartezjańskiego). W matematyce już tak bywa, że czasem ten sam termin oznacza różne rzeczy i tak jest właśnie w tym wypadku. W takiej sytuacji na początku rozważań definiujemy pojęcia, których używamy i dlatego w tekście, który czytasz, rzutowanie oznacza dokładnie to, co napisałeś powyżej (a ponieważ to odwzorowanie jest swego rodzaju "rzutowaniem", stąd zapewne taka właśnie nazwa).

Z definicji rzutowania wynika, że dziedziną tej funkcji jest funkcja należąca do produktu danej rodziny zbiorów.

Mylisz dziedzinę z argumentem (czyli elementem dziedziny).

Natomiast w tym wypadku dziedziną rzutowania jest przeciwdziedzina funkcji należącej do produktu rodziny \(\displaystyle{ S}\).

W tym wypadku dziedziną jest suma urozłącznionej rodziny zbiorów.

JK

[smo]

Bardzo dziękuję za wszystkie wyjaśnienia.

DS