Rzutowanie na zbiór

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Rzutowanie na zbiór

Post autor: smo »

Witam,

Czytając podręcznik z teorii mnogości trafiłem na pojęcie funkcji będącej rzutowaniem na zbiór należący do indeksowanej rodziny zbiorów:
\(\displaystyle{ pr_{j}(f)=f(j)}\) gdzie \(\displaystyle{ j}\) jest indeksem zaś \(\displaystyle{ f}\) funkcją należącą do produktu indeksowanej rodziny zbiorów.
Mam pytanie:
czy jeżeli do zbioru indeksów przykładowo należą elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d, e}\) (i siłą rzeczy mamy wtedy zbiory \(\displaystyle{ X_{a},X_{b},X_{c},X_{d},X_{e}}\))to rzutowanie na zbiór \(\displaystyle{ X_{a}}\) to będzie odwzorowanie zbioru \(\displaystyle{ X_{a}}\) w wartość indeksowanej rodziny zbiorów w punkcie \(\displaystyle{ a}\) czy może będą to wszystkie odwzorowania każdego indeksu w wartość indeksowanej rodziny zbiorów w punkcie \(\displaystyle{ a}\) i wszystkie takie pary uporządkowane będą rzutowaniem na zbiór \(\displaystyle{ X_{a}}\)?
Czy istnieje pojęcie rzutowania na całą indeksowaną rodzinę zbiorów i jak wygląda wzór takiej funkcji?
*Dla uproszczenia zakładam, że indeksowana rodzina zbiorów, którą rozważam jest injekcją.

Z góry dziękuję za wyjaśnienie.
Ostatnio zmieniony 18 mar 2021, o 21:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jan Kraszewski »

smo pisze: 18 mar 2021, o 20:33czy jeżeli do zbioru indeksów przykładowo należą elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d, e}\) (i siłą rzeczy mamy wtedy zbiory \(\displaystyle{ X_a, X_b, X_c, X_d, X_e}\)) to rzutowanie na zbiór \(\displaystyle{ X_a}\) to będzie odwzorowanie zbioru \(\displaystyle{ X_a}\) w wartość indeksowanej rodziny zbiorów w punkcie \(\displaystyle{ a}\) czy może będą to wszystkie odwzorowania każdego indeksu w wartość indeksowanej rodziny zbiorów w punkcie \(\displaystyle{ a}\) i wszystkie takie pary uporządkowane będą rzutowaniem na zbiór \(\displaystyle{ X_a}\)?
Z mojego punktu widzenia oba stwierdzenia, które powyżej sformułowałeś, nie mają sensu (trudno zrozumieć, co mógłbyś mieć na myśli). Wynika to prawdopodobnie z faktu, iż zapewne nie rozumiesz, czym jest produkt indeksowanej rodziny zbiorów.

W Twoim konkretnym przypadku rzut na zbiór \(\displaystyle{ X_a}\) to funkcja \(\displaystyle{ pr_a:X_a \times X_b \times X_c \times X_d \times X_e\to X_a}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ pr_a(x,y,z,t,u)=x.}\)
smo pisze: 18 mar 2021, o 20:33Czy istnieje pojęcie rzutowania na całą indeksowaną rodzinę zbiorów
I znów trudno stwierdzić, co masz na myśli.
smo pisze: 18 mar 2021, o 20:33*Dla uproszczenia zakładam, że indeksowana rodzina zbiorów, którą rozważam jest injekcją.
Przykro mi, ale to stwierdzenie też jest bez sensu - injekcją może być funkcja, a nie indeksowana rodzina zbiorów.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: smo »

Dziękuję za odpowiedź. To może zacznę od początku.
Mamy zbiory \(\displaystyle{ J=\{ a, b, c, d, e\}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{P(X)}}\), gdzie \(\displaystyle{ X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7}\}}\). Rzecz jasna zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{P(X)}}\) jest zbiorem potęgowym zbioru \(\displaystyle{ X}\). Definiuję teraz funkcję \(\displaystyle{ \iota: J\rightarrow\mathcal{P(X)}}\). Jako zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \iota}\) określam zbiory, które dowolnie wybrałem ze zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{P(X)}}\):\(\displaystyle{ \{x_{3}\},\{x_{2},x_{5}\}, \{x_{1},x_{6}\},\{x_{4}\},\{x_{7}\}}\). Funkcja \(\displaystyle{ \iota}\) każdemu elementowi ze zbioru \(\displaystyle{ J}\) przyporządkowuje jeden z tych zbiorów.
Powstają przykładowe zbiory: \(\displaystyle{ X_{a}=\{a,\{x_{3}\}\}, X_{b}=\{b,\{x_{2},x_{5}\}, X_{c}=\{c,\{x_{1},x_{6}\}\}, X_{d}=\{d,\{x_{4}\}\}, X_{e}=\{e,\{x_{7}\}\}}\). Tworzą one indeksowaną rodzinę zbiorów, która w tym wypadku jest również funkcją \(\displaystyle{ \iota}\). Teraz napiszę jak rozumiem produkt indeksowanej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \iota}\): rozumiem to tak, że do produktu tej rodziny należą wszystkie następujące funkcje:
1. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{3}\}), (b,\{x_{3}\}), (c,\{x_{3}\}), (d,\{x_{3}\}), (e,\{x_{3}\})\}}\)
2. \(\displaystyle{ f=\{( a,\{x_{2},x _{5}\}), ( b,\{x_{2},x _{5}\}), ( c,\{x_{2},x _{5}\}), ( d,\{x_{2},x _{5}\}), ( e,\{x_{2},x _{5}\})\}}\)
3. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{1},x_{6}\}), (b,\{x_{1},x_{6}\}), (c,\{x_{1},x_{6}\}), (d,\{x_{1},x_{6}\}), (e,\{x_{1},x_{6}\})\}}\)
4. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{4}\}), (b,\{x_{4}\}), (c,\{x_{4}\}), (d,\{x_{4}\}), (e,\{x_{4}\})\}}\)
5. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{7}\}), (b,\{x_{7}\}), (c,\{x_{7}\}), (d,\{x_{7}\}), (e,\{x_{7}\})\}}\)

Nie rozumiem definicji funkcji będącej rzutowaniem na dowolny zbiór tej rodziny.
Proszę o wyjaśnienie.
Ostatnio zmieniony 21 mar 2021, o 22:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jan Kraszewski »

smo pisze: 21 mar 2021, o 22:02Definiuję teraz funkcję \(\displaystyle{ \iota: J\rightarrow\mathcal{P(X)}}\). Jako zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \iota}\) określam zbiory, które dowolnie wybrałem ze zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{P(X)}}\):\(\displaystyle{ \{x_{3}\},\{x_{2},x_{5}\}, \{x_{1},x_{6}\},\{x_{4}\},\{x_{7}\}}\). Funkcja \(\displaystyle{ \iota}\) każdemu elementowi ze zbioru \(\displaystyle{ J}\) przyporządkowuje jeden z tych zbiorów.
Wcale nie definiujesz funkcji \(\displaystyle{ \iota}\), bo nie określiłeś, w jaki sposób przypisujesz argumentom wartości.
smo pisze: 21 mar 2021, o 22:02Powstają przykładowe zbiory: \(\displaystyle{ X_{a}=\{a,\{x_{3}\}\}, X_{b}=\{b,\{x_{2},x_{5}\}, X_{c}=\{c,\{x_{1},x_{6}\}\}, X_{d}=\{d,\{x_{4}\}\}, X_{e}=\{e,\{x_{7}\}\}}\).
:?:
Co to znaczy "powstają zbiory"? Nie mam pojęcia, skąd wziąłeś takie właśnie zbiory.
smo pisze: 21 mar 2021, o 22:02Tworzą one indeksowaną rodzinę zbiorów, która w tym wypadku jest również funkcją \(\displaystyle{ \iota}\).
No dobrze, jeśli taka była Twoja intencja, to trzeba to powiedzieć inaczej.

Po pierwsze, funkcję \(\displaystyle{ \iota: J\rightarrow\mathcal{P}(X)}\) definiujesz następująco: \(\displaystyle{ \iota(a)=\{x_{3}\}, \iota(b)=\{x_{2},x_{5}\}, \iota(c)=\{x_{1},x_{6}\}, \iota(d)=\{x_{4}\}, \iota(e)=\{x_{7}\}.}\)

Po drugie, \(\displaystyle{ \iota}\) istotnie formalnie rzecz biorąc jest rodziną indeksowaną, ale nie tworzą jej zaanonsowane przez Ciebie powyżej zbiory, tylko zbiory \(\displaystyle{ X_{a}=\{x_{3}\}, X_{b}=\{x_{2},x_{5}\}, X_{c}=\{x_{1},x_{6}\}, X_{d}=\{x_{4}\}, X_{e}=\{x_{7}\}}\).
smo pisze: 21 mar 2021, o 22:02Teraz napiszę jak rozumiem produkt indeksowanej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \iota}\): rozumiem to tak, że do produktu tej rodziny należą wszystkie następujące funkcje:
1. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{3}\}), (b,\{x_{3}\}), (c,\{x_{3}\}), (d,\{x_{3}\}), (e,\{x_{3}\})\}}\)
2. \(\displaystyle{ f=\{( a,\{x_{2},x _{5}\}), ( b,\{x_{2},x _{5}\}), ( c,\{x_{2},x _{5}\}), ( d,\{x_{2},x _{5}\}), ( e,\{x_{2},x _{5}\})\}}\)
3. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{1},x_{6}\}), (b,\{x_{1},x_{6}\}), (c,\{x_{1},x_{6}\}), (d,\{x_{1},x_{6}\}), (e,\{x_{1},x_{6}\})\}}\)
4. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{4}\}), (b,\{x_{4}\}), (c,\{x_{4}\}), (d,\{x_{4}\}), (e,\{x_{4}\})\}}\)
5. \(\displaystyle{ f=\{(a,\{x_{7}\}), (b,\{x_{7}\}), (c,\{x_{7}\}), (d,\{x_{7}\}), (e,\{x_{7}\})\}}\)
Nie. Pomijając już fakt, że rozpatrujesz niewłaściwe zbiory \(\displaystyle{ X_a,X_b,X_c,X_d,X_e}\), to zapomniałeś o podstawowym warunku - musi być \(\displaystyle{ f(a)\in X_a, f(b)\in X_b, f(c)\in X_c, f(d)\in X_d, f(e)\in X_e}\). W tym konkretnym przypadku produkt tej rodziny ma tylko cztery elementy.

Inna sprawa, że rozpatrywanie produktów uogólnionych skończonych rodzin indeksowanych jest dość sztuczne. Matematyk wziąłby po prostu \(\displaystyle{ X_a \times X_b \times X_c \times X_d \times X_e.}\)

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jakub Gurak »

Ten ostatni zapis jest niejasny, gdyż mnożenie kartezjańskie nie jest operacją łączną. :P
Ostatnio zmieniony 22 mar 2021, o 19:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: niejasny.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 22 mar 2021, o 18:41 Ten ostatni zapis jest niejasny, gdyż mnożenie kartezjańskie nie jest operacją łączną. :P
On jest być może niejasny dla Ciebie, ale normalnie matematyk nie ma problemu z rozważaniem zbioru piątek uporządkowanych. Trzeba wiedzieć, kiedy formalizm pomaga, a kiedy przeszkadza.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jakub Gurak »

Ale nie podoba mi się, że zapisuje się to jako działanie binarne( dwóm zbiorom przypisany iloczyn kartezjański) stosowane wielokrotnie, a dla mnie to zupełnie co innego jak n zbiorom przypisać zbiór n-tek. Jasne że można to pogodzić, nie mając nawiasów wykonujemy działania od lewej strony do prawej, otrzymujemy zbiór zagnieżdżonych par, a takie kolejno zagnieżdżone pary, to pasuje do jednej z definicji \(\displaystyle{ n}\)-tki uporządkowanej. Więc można to pogodzić, ale zapisywanie wielokrotnego iloczynu kartezjańskiego (bo tak sugeruje ten zapis) jako zbiór n-tek, to dla mnie totalne nieporozumienie. Przecież to n-zbiorom przypisany jest zbiór n-tek, a nie działanie binarne iloczynu kartezjańskiego stosowane wielokrotnie, to jest zupełnie inna sprawa( przynajmniej tak na ogólną logikę). Dlatego mi takie podejście bardzo się nie podoba. Tym bardziej, że działanie mnożenia kartezjańskiego nie jest łączne. (Jakby było łączne, to raczej nie robił bym problemu, bo przecież zapisujemy sumę n liczb: \(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots+a_n}\) , ale mnożenie kartezjańskie zbiorów nie jest łączne...)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 22 mar 2021, o 21:31 Ale nie podoba mi się, że zapisuje się to jako działanie binarne( dwóm zbiorom przypisany iloczyn kartezjański) stosowane wielokrotnie, a dla mnie to zupełnie co innego jak n zbiorom przypisać zbiór n-tek.
No to Twój problem - typowy matematyk nie ma takich problemów. Bierze po prostu
\(\displaystyle{ X_a \times X_b \times X_c \times X_d \times X_e=\{\left\langle x,y,z,t,w\right\rangle: x\in X_a \land y\in X_b \land z\in X_c \land t\in X_d \land w\in X_e\},}\)
a to, czym jest piątka uporządkowana \(\displaystyle{ \left\langle x,y,z,t,w\right\rangle}\) nie wymaga definiowania.
Jakub Gurak pisze: 22 mar 2021, o 21:31Jasne że można to pogodzić, nie mając nawiasów wykonujemy działania od lewej strony do prawej, otrzymujemy zbiór zagnieżdżonych par, a takie kolejno zagnieżdżone pary, to pasuje do jednej z definicji \(\displaystyle{ n}\)-tki uporządkowanej. Więc można to pogodzić, ale zapisywanie wielokrotnego iloczynu kartezjańskiego (bo tak sugeruje ten zapis) jako zbiór n-tek, to dla mnie totalne nieporozumienie.
I tego właśnie dotyczyła moja uwaga, że trzeba wiedzieć, kiedy formalizm pomaga, a kiedy przeszkadza. Tobie najwyraźniej przeszkadza. Zapewniam Cię, że typowy matematyk naprawdę nie zastanawia się, jaka jest formalna definicja iloczynu kartezjańskiego pięciu zbiorów, gdy go używa - głównie dlatego, że nie ma to większego znaczenia. To co dla Ciebie jest "totalnym nieporozumieniem" jest codzienną praktyką.
Jakub Gurak pisze: 22 mar 2021, o 21:31Przecież to n-zbiorom przypisany jest zbiór n-tek, a nie działanie binarne iloczynu kartezjańskiego stosowane wielokrotnie, to jest zupełnie inna sprawa( przynajmniej tak na ogólną logikę). Dlatego mi takie podejście bardzo się nie podoba.
Twoja "ogólna logika" niestety szwankuje, bo to nie jest "zupełnie inna sprawa" - to jest w zasadzie to samo.
Jakub Gurak pisze: 22 mar 2021, o 21:31Tym bardziej, że działanie mnożenia kartezjańskiego nie jest łączne.
A to zależy, jak na to patrzeć.

Powoli robi nam się OT.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: smo »

Czyli rozumiem, że do produktu indeksowanej rodziny zbiorów z mojego przykładu będzie należała następująca funkcja:
\(\displaystyle{ f=\left\{(a,\left\{x_{3}\right\}), (b,\left\{x_{2},x_{5} \right\}), (c, \left\{x_{1},x_{6} \right\}), (d, \left\{x_{4} \right\}), (e, \left\{ x_{7}\right\}) \right\} }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jan Kraszewski »

smo pisze: 23 mar 2021, o 21:21 Czyli rozumiem, że do produktu indeksowanej rodziny zbiorów z mojego przykładu będzie należała następująca funkcja:
\(\displaystyle{ f=\left\{(a,\left\{x_{3}\right\}), (b,\left\{x_{2},x_{5} \right\}), (c, \left\{x_{1},x_{6} \right\}), (d, \left\{x_{4} \right\}), (e, \left\{ x_{7}\right\}) \right\} }\)
No skąd. Powtarzam, zapominasz o warunku \(\displaystyle{ f(a)\in X_a, f(b)\in X_b, f(c)\in X_c, f(d)\in X_d, f(e)\in X_e}\). Funkcja, którą napisałeś, spełnia zupełnie inny warunek: \(\displaystyle{ f(a)= X_a, f(b)= X_b, f(c)= X_c, f(d)= X_d, f(e)= X_e}\) i nie ma nic wspólnego z produktem indeksowanej rodziny zbiorów.

Elementami tego produktu są dokładnie cztery funkcje:
\(\displaystyle{ f_1=\{(a,x_3), (b,x_2), (c, x_1), (d, x_4), (e, x_7)\}\\
f_2=\{(a,x_3), (b,x_2), (c, x_6), (d, x_4), (e, x_7) \}\\
f_3=\{(a,x_3), (b,x_5), (c, x_1), (d, x_4), (e, x_7) \}\\
f_4=\{(a,x_3), (b,x_5), (c, x_6), (d, x_4), (e, x_7) \}. }\)


JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: smo »

Dziękuję.
Teraz wrócę do pierwotnego tematu tego posta czyli do funkcji będącej rzutowaniem na zbiory z mojej przykładowej indeksowanej rodziny zbiorów.
Czy w takim razie rzutowaniem na zbiór \(\displaystyle{ \mathrm{X_{a}}}\) będzie \(\displaystyle{ pr_{a}(f_{1})=pr_{a}(f_{2})=pr_{a}(f_{3})=pr_{a}(f_{4})=x_{3}}\)
rzutowaniem na zbiór \(\displaystyle{ \mathrm{X_{b}}}\) będzie \(\displaystyle{ pr_{b}(f_{1})=pr_{b}(f_{2})=x_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ pr_{b}(f_{3})=pr_{b}(f_{4})=x_{5}}\)

rzutowaniem na zbiór \(\displaystyle{ \mathrm{X_{c}}}\) będzie \(\displaystyle{ pr_{c}(f_{1})=pr_{c}(f_{3})=x_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ pr_{c}(f_{2})=pr_{c}(f_{4})=x_{6}}\)
rzutowaniem na zbiór \(\displaystyle{ \mathrm{X_{d}}}\) będzie \(\displaystyle{ pr_{d}(f_{1})=pr_{d}(f_{2})=pr_{d}(f_{3})=pr_{d}(f_{4})=x_{4}}\)

oraz rzutowaniem na zbiór \(\displaystyle{ \mathrm{X_{e}}}\) będzie \(\displaystyle{ pr_{e}(f_{1})=pr_{e}(f_{2})=pr_{e}(f_{3})=pr_{e}(f_{4})=x_{7}}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak, rzutowania to funkcje z produktu na poszczególne osie, zadane podanymi przez Ciebie warunkami.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Rzutowanie na zbiór

Post autor: smo »

Super, bardzo dziękuję za wszystkie wyjaśnienia.

DS
ODPOWIEDZ