moc zbioru kwadratu

[Bran]

Wyznaczyć moc zbioru
\(\displaystyle{ A = \left\{ (a_n)_{n\in \NN} \in \NN^\NN : \left( \forall_{n \in \NN_+}\right) \left( a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\right) \right\}}\)

Jest to zadanie z mojej pracy, niestety praca została przez prowadzącego wyzerowana i zastanawiam się gdzie tkwi błąd?
Poniżej przedstawiam rozumowanie:

\(\displaystyle{ a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{n-1}, \; a_n, \; a_{n+1} \in \NN_+,}\) więc \(\displaystyle{ a_{n-1} i a_{n+1}}\) są dzielnikami naturalnymi liczny \(\displaystyle{ a_n^2.}\)

Każda liczba ma przynajmniej dwie pary dzielników: \(\displaystyle{ \left( 1, a_n^2\right) \; i \; (a_n, a_n)}\). Jest więc tych ciągów minimum \(\displaystyle{ 2^\NN = 2^{\aleph_0} = c}\)

z drugiej strony wszystkich ciągów jest\(\displaystyle{ \left| \NN^{\NN} \right| = c. }\)

Więc z twierdzenia Cantora-Bernsteina \(\displaystyle{ |A| = c. }\)

[Jan Kraszewski]

Wyznaczyć moc zbioru
\(\displaystyle{ A = \left\{ (a_n)_{n\in \NN} \in \NN^\NN : \left( \forall_{n \in \NN_+}\right) \left( a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\right) \right\}}\)

Jest to zadanie z mojej pracy, niestety praca została przez prowadzącego wyzerowana

Też bym wyzerował (i pewnie ucieszyłbym się, że nie muszę się wczytywać, w końcu odpowiedź to \(\displaystyle{ |A|=\aleph_0...).}\)

i zastanawiam się gdzie tkwi błąd?
Poniżej przedstawiam rozumowanie:

\(\displaystyle{ a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{n-1}, \; a_n, \; a_{n+1} \in \NN_+,}\) więc \(\displaystyle{ a_{n-1} i a_{n+1}}\) są dzielnikami naturalnymi liczny \(\displaystyle{ a_n^2.}\)

Każda liczba ma przynajmniej dwie pary dzielników: \(\displaystyle{ \left( 1, a_n^2\right) \; i \; (a_n, a_n)}\). Jest więc tych ciągów minimum \(\displaystyle{ 2^\NN = 2^{\aleph_0} = c}\)

Nie zrozumiałeś definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\). Zauważ, że jest to (mniej więcej) zbiór ciągów geometrycznych o wyrazach naturalnych. Ciąg geometryczny jest jednoznacznie wyznaczony przez pierwszy wyraz (który jest liczbą naturalną) i iloraz (który na pewno jest liczbą wymierną).

Żeby było całkiem porządnie należy zbiór \(\displaystyle{ A}\) podzielić na dwa zbiory: zbiór ciągów, które od drugiego wyrazu są stale równe zero (jest ich tyle, ile możliwych pierwszych wyrazów, czyli tyle, ile liczb naturalnych) i zbiór ciągów geometrycznych o wyrazach naturalnych dodatnich, wtedy obserwacja z poprzedniego zdania jest w pełni ścisła w odniesieniu do tego drugiego zbioru - pierwszy wyraz takiego ciągu jest liczbą naturalną dodatnią, a iloraz też jest liczbą naturalną dodatnią (do oszacowania wystarczy, że to liczba wymierna, ale nie jest trudno pokazać więcej).

JK

[Dasio11]

Można też zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \NN} \in A}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 2}\): jeśli \(\displaystyle{ a_{n-2} = 0}\) to \(\displaystyle{ a_n = 0}\), a w przeciwnym razie \(\displaystyle{ a_n = \frac{(a_{n-1})^2}{a_{n-2}}}\). Tak czy owak każdy element ciągu jest wyznaczony przez dwa poprzednie, czyli cały ciąg zależy tylko od dwóch pierwszych wyrazów - a zatem funkcja przyporządkowująca ciągowi \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \NN}}\) parę \(\displaystyle{ (a_0, a_1) \in \NN^2}\) jest różnowartościowa.