Lista zbiorów i ich elementy

[andu]

\(\displaystyle{ }\)Z podanych poniżej tekstów wybierz te, które prawidłowo będą definiować zbiory ułożone na czteropunktowej liście\(\displaystyle{ f}\). Wypisz wszystkie możliwe listy zbiorów wyszczególniając ich definicje oraz elementy przez nie definiowane:
tekst1:
\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\ jest\ dzielnikiem\ 12\}}\)
tekst2:
\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\in f(1)\}}\)
tekst3:
\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\notin f(n)\}}\)
tekst4:
\(\displaystyle{ \begin{cases}ℕ, gdy\ hipoteza\ Goldbacha\ jest\ prawdziwa\\ \Phi , gdy\ hipoteza\ Goldbacha\ jest\ fałszywa\end{cases}}\)

[Jan Kraszewski]

Skąd masz to dziwnie brzmiące zadanie?

JK

[andu]

Mając do dyspozycji tekstowe definicje zbiorów, powinniśmy mieć możliwość tworzenia z nich ciągów w dowolnej kolejności.
O ile nie mam watpliwości, że tekst1 definiuje zbiór i może być umieszczony na dowolnej pozycji listy (a nawet na wszystkich czterech pozycjach - tworząc ciąg stały), to tekst2 nie może znaleźć się na pierwszej pozycji - czyli definiuje zbiór warunkowo?

Tekst4 generuje więcej problemów:
Definiuje zbiór?
Czy na razie nie definiuje?
A co z nim robić teraz? - tym bardziej, że hipoteza może nigdy nie zostanie rozstrzygnięta?
To moje dylematy zebrane razem.

Tekst 3. według mnie nie definiuje zbioru dla tworzonej listy \(\displaystyle{ f}\)- bo mając możliwość umieścić go na liście - musimy go usunąć, jako rodzącego sprzeczność. Więc gdybyśmy tworzyli co najwyżej czteroelementową listę \(\displaystyle{ f}\) ,to później nie możemy tego samego tekstu uznać za poprawnie definiującego zbiór - bo to jest ten sam tekst, który wcześniej został odrzucony i zastosowany do tej samej listy...

[Jan Kraszewski]

Mając do dyspozycji tekstowe definicje zbiorów, powinniśmy mieć możliwość tworzenia z nich ciągów w dowolnej kolejności.

Co oznacza to zdanie?

O ile nie mam watpliwości, że tekst1 definiuje zbiór i może być umieszczony na dowolnej pozycji listy (a nawet na wszystkich czterech pozycjach - tworząc ciąg stały), to tekst2 nie może znaleźć się na pierwszej pozycji - czyli definiuje zbiór warunkowo?

Formalnie rzecz biorąc to nie jest poprawny opis zbioru, bo nie mamy porządnie zdefiniowanego \(\displaystyle{ f}\).

Tekst4 generuje więcej problemów:
Definiuje zbiór?
Czy na razie nie definiuje?
A co z nim robić teraz? - tym bardziej, że hipoteza może nigdy nie zostanie rozstrzygnięta?
To moje dylematy zebrane razem.

Co to znaczy "definiuje zbiór"? Zbiór opisujemy poprzez jednoznaczne określenie jego elementów, a ten "tekst" nawet nie wyjaśnia, czym miałyby być elementy.

Tekst 3. według mnie nie definiuje zbioru dla tworzonej listy \(\displaystyle{ f}\)- bo mając możliwość umieścić go na liście - musimy go usunąć, jako rodzącego sprzeczność. Więc gdybyśmy tworzyli co najwyżej czteroelementową listę \(\displaystyle{ f}\) ,to później nie możemy tego samego tekstu uznać za poprawnie definiującego zbiór - bo to jest ten sam tekst, który wcześniej został odrzucony i zastosowany do tej samej listy...

Ten zapis w ogóle nie opisuje zbioru, z tego samego powodu, co tekst2.

JK

[andu]

andu pisze: ↑16 mar 2021, o 12:31
Mając do dyspozycji tekstowe definicje zbiorów, powinniśmy mieć możliwość tworzenia z nich ciągów w dowolnej kolejności.

Co oznacza to zdanie?
Jan Kraszewski pisze: ↑

Gdyby wszystkie tekstowe definicje zbiorów wskazywały jednoznacznie, jakie elementy należą do definiowanych zbiorów niezależnie od "czynników zewnętrznych", czyli od innych tekstów i ich interpretacji, to tak zdefiniowane zbiory wraz z ich definicjami można ustawiać w dowolny sposób w ciąg \(\displaystyle{ f}\).

Zbiór opisujemy poprzez jednoznaczne określenie jego elementów
Jan Kraszewski pisze: ↑

Właśnie też tak to rozumiem

W zadaniu mamy właśnie z tych tekstów utworzyć rodzinę ciągów - więc zgadzam się, że żaden ciąg \(\displaystyle{ f}\) nie jest na razie określony - poza ograniczeniem ilości elementów tego ciągu do najwyżej czterech i wyboru zbiorów tylko z pośród tych czterech tekstów mających definiować zbiory.
Ale możemy z nich właśnie ułożyć np takie dwa ciągi:
\(\displaystyle{ Pierwszy\ ciąg\ f}\):
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow f(1)=\{1,2,3,4,6,12\}\ zdefiniowany\ przez\ }\)\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\ jest\ dzielnikiem\ 12\}}\)

\(\displaystyle{ 2 \rightarrow f(2)=\{1,2,3,4,6,12\}\ zdefiniowany\ przez\ }\)\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\ jest\ dzielnikiem\ 12\}}\)

\(\displaystyle{ 3 \rightarrow f(3)=\{1,2,3,4,6,12\}\ zdefiniowany\ przez\ }\)\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\ jest\ dzielnikiem\ 12\}}\)

oraz następny:
\(\displaystyle{ Drugi\ ciąg\ f}\):
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow f(1)=\{1,2,3,4,6,12\}\ zdefiniowany\ przez\ }\)\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\ jest\ dzielnikiem\ 12\}}\)

\(\displaystyle{ 2 \rightarrow f(2)=\{1,2,3,4,6,12\}\ zdefiniowany\ przez\ }\)\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n \in f(1)\}}\), bo \(\displaystyle{ f(1)=\{1,2,3,4,6,12\}}\)

Można jeszcze wypisać ciąg jednoelementowy utworzony dzięki tekst1,
Jeszcze jeden dwuelementowy, gdzie na drugiej pozycji ponownie umieści się tekst1,
Dodatkowe trzy trójelementowe, oraz osiem czteroelementowych - niezawierających na pierwszej pozycji tektu2 i utworzonych tylko dzięki dwom tekstom: tekst1 i tekst2, ponieważ w żadnym przypadku teksty:
tekst3:
\(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\notin f(n)\}}\)
tekst4:
\(\displaystyle{ \begin{cases}ℕ, gdy\ hipoteza\ Goldbacha\ jest\ prawdziwa\\ \Phi , gdy\ hipoteza\ Goldbacha\ jest\ fałszywa\end{cases}}\)
nie tworzą zbiorów, dla których:

Zbiór opisujemy poprzez jednoznaczne określenie jego elementów
Jan Kraszewski pisze: ↑

No chyba, że ktoś to widzi inaczej...

[matmatmm]

Temu zadaniu można nadać pełny matematyczny sens w następujący sposób:

Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\NN\rightarrow\{1,2,3,4\}}\) takie, że istnieją zbiory \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3,A_4}\) spełniające warunki:

\(\displaystyle{ A_1=\{n\in\NN: n|12\}}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ n\in A_2 \iff \left( n\in \NN \wedge n\in A_{f(1)} \right) }\).
Dla każdego \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ n\in A_3 \iff \left( n\in \NN \wedge n\notin A_{f(n)} \right) }\).
Jeśli hipoteza Golbacha jest prawdziwa, to \(\displaystyle{ A_4=\NN}\). Jeśli jest fałszywa, to \(\displaystyle{ A_4=\emptyset}\).

Można interpretować to zadanie na więcej sposobów. Na przykład można żądać, żeby zbiory \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3,A_4}\) były wyznaczone jednoznacznie.

[andu]

Dziękuję matmatmm za profesjonalne opracowanie tematu.
Zgrabnie ujęte zostało żądanie, by dany zbiór istniał prezentowany przez definiujący go tekst na danej liście.
Brakuje mi konieczności wyszczególnienia elementów tych zbiorów, co według mnie ma istotne znaczenie poznawcze, choć być może kierował się Pan wyrażoną dalej opinią:

Można interpretować to zadanie na więcej sposobów. Na przykład można żądać, żeby zbiory \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3,A_4}\) były wyznaczone jednoznacznie.

Zastanawiam się czy może istnieć zbiór wyznaczony niejednoznacznie? Tu zacytuję jeszcze Pana Janka:

Zbiór opisujemy poprzez jednoznaczne określenie jego elementów

Tu właśnie tkwi istota poruszanego problemu!
Rozumiem, że ogólna formuła może definiować całą rodzinę zbiorów - np. taka, jak tekst2 \(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\in f(1)\}}\)
lub tekst3 \(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\notin f(n)\}}\), zależnych od tworzonych list \(\displaystyle{ f}\), lecz uważam, że dla konkretnej listy zbiór przez nią definiowany powinien być określony jednoznacznie np. poprzez wymienienie jego elementów, co akurat w tym przypadku powinno być stosunkowo łatwe. Ważnym wnioskiem wtedy okaże się, że tekst2 jest poprawny warunkowo - tzn. nie może znaleźć się na pierwszym miejscu tworzonej listy \(\displaystyle{ f}\), z powodu autoreferencyjności.

Zaś tekst3 \(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\notin f(n)\}}\) w ogóle nie generuje żadnego zbioru dla żadnej z tworzonych funkcji \(\displaystyle{ f}\), choć oczywiście funkcje zostają utworzone.

Jakie mamy prawo do tego, by uznać formułę \(\displaystyle{ \{n\inℕ :n\notin f(n)\}}\)
za formułę generującą zbiór \(\displaystyle{ B}\) dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:ℕ \rightarrow P(ℕ)}\) -z twierdzenie Cantora, skoro tu, podczas tworzenia wszystkich funkcji, za każdym razem tekst mający definiować zbiór \(\displaystyle{ B}\) musieliśmy odrzucić?

Do prezentacji innego, nurtującego mnie problemu - indywidualnej interpretacji zależnej od czasu oraz osoby interpretującej daną definicję zbioru mogłem w tekście4 wybrać zamiast hipotezy Goldbacha np taki zbiór: \(\displaystyle{ \{n\}, gdzie\ n\ minimalna\ ilość\ kolorów\ potrzebna\ do\ pomalowania\ dowolnej\ mapy\ administracyjnej\ tak,}\)
\(\displaystyle{ by\ obszary\ jednakowego\ koloru\ nie\ miały\ wspólnej\ granicy}\)
i umiejscowić to zadanie w latach 1975- do 2004 , gdzie 1976 - pierwszy komputerowy dowód, że \(\displaystyle{ n=4}\) nieuznawany przez wielu matematyków za dowód prawdziwy i rodzący wiele wątpliwości, 1994 - poprawa dowodu w celu usunięcia wad i 2004- potwierdzenie dowodu przez niezależny komputer.

[matmatmm]

Zastanawiam się, czy pojęcie "(pewien) tekst (ciąg znaków) poprawnie definiuje zbiór" posiada formalną definicję (czyli odwołującą się do innych pojęć matematycznych). Pracując z definicją opisową

Zbiór opisujemy poprzez jednoznaczne określenie jego elementów

nie jesteśmy raczej w stanie tworzyć zadań, które używają tego pojęcia w sposób ścisły - tzn. taki, że twierdzenia są formułami pewnego języka. Bardziej chodzi tutaj o stosowanie reguł (opisanych językiem naturalnym) dotyczących poprawnego definiowania zbiorów w praktyce i pozostaje to w sferze przed właściwym problemem matematycznym.

Ja próbowałem to zadanie przerobić tak, żeby miało matematyczny sens, ale po przemyśleniu stwierdzam, że nie oddaje ono dokładnie "poprawnego definiowania zbioru".

Celowo napisałem

Dla każdego \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ n\in A_2 \iff \left( n\in \NN \wedge n\in A_{f(1)} \right) }\).

zamiast niepoprawnego (ze wzlędu na autoreferencję)
\(\displaystyle{ A_2=\{n\in \NN : n\in A_{f(1)}\}}\)
W ten sposób ominąłem problemy niepoprawnej definicji przez "rozpisanie" zapisu zbioru przez funkcję zdaniową. Podobnie z tekstem 3.

Zastanawiam się czy może istnieć zbiór wyznaczony niejednoznacznie?

Tak, to znaczy może istnieć więcej niż jeden zbiór spełniający dany warunek.

Do prezentacji innego, nurtującego mnie problemu - indywidualnej interpretacji zależnej od czasu oraz osoby interpretującej daną definicję zbioru mogłem w tekście4 wybrać zamiast hipotezy Goldbacha np taki zbiór:
\(\displaystyle{ \{n\} - \text{gdzie } n \text{ minimalna ilość kolorów potrzebna do pomalowania dowolnej mapy administracyjnej tak, by obszary jednakowego koloru nie miały wspólnej granicy}}\)

i umiejscowić to zadanie w latach 1975- do 2004 , gdzie 1976 - pierwszy komputerowy dowód, że
nieuznawany przez wielu matematyków za dowód prawdziwy i rodzący wiele wątpliwości, 1994 - poprawa dowodu w celu usunięcia wad i 2004- potwierdzenie dowodu przez niezależny komputer.

Według mnie ten zbiór w każdym momencie jest zdefiniowany poprawnie - przed dowodem twierdzenia po prostu nie było wiadomo jaka liczba do niego należy.

[andu]

Sposób oceny, czy dany tekst definiuje jednoznacznie zbiór ma swoje dość poważne konsekwencje, które opisałem na tym forum tu.

Podtrzymuję pogląd, że definicja zbioru powinna jednoznacznie wyznaczać wszystkie elementy tego zbioru, natomiast dopuszczam istnienie formuł definiujących rodziny zbiorów, ale pod warunkiem, że wszystkie elementy tej rodziny posiadają jednoznacznie określone elementy. A to, jak się okazuje może być trudne do przewidzenia.

A odnośnie tekstu4 z hipotezą Goldbacha - w przeliczalnej puli wszystkich tekstów na pewno znajdą się inne teksty jednoznacznie wyznaczające interesujące nas zbiory i to wielokrotnie, więc jest to zupełnie bez znaczenia dla celu sprawdzenia, czy moc zbioru potęgowego jest istotnie większa od samego zbioru.