Przypomnę może, o co chodzi z przekrojami Dedekinda: jeśli \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to przekrój Dedekinda to dowolne 'rozcięcie' zbioru \(\displaystyle{ X}\) na dwie części. Formalniej, jest to para podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), która tworzy takle rozcięcie. Wtedy pierwszy zbiór pary nazywamy klasą dolną przekroju Dedekinda, drugi zbiór nazywamy klasą górną przekroju. Ścisła definicja nie będzie nam chyba potrzebna, zamiast tego przypomnę charakteryzację przekrojów Dedekinda, którą niedawno udowodniłem.
Jeśli \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), to para \(\displaystyle{ (A,B)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), tworzy przekroj Dedekinda zbioru \(\displaystyle{ X}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X,}\) a zbiór \(\displaystyle{ B }\) jest jego dopełnieniem do zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ B=X \setminus A}\), co udowodniłem TUTAJ.
Przypominam definicję:
W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le )}\) zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X}\), gdy dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\), dla każdego \(\displaystyle{ y\in X}\), takiego, ze \(\displaystyle{ y<x}\), zachodzi \(\displaystyle{ y\in A.}\)
(Czyli zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem początkowym, gdy z każdym swoim elementem zawiera także wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), które są od niego mniejsze).
Przypominam rodzina wszystkich przedziałów początkowych jest uporządkowana liniowo przez inkluzję.
DOWÓD:
Przejdźmy do naszych dowodów:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a pary zbiorów \(\displaystyle{ (A_1,B_1);(A_2,B_2)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, ze \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1.}\) (Czyli dla klas dolnych tych dwóch przekrojów jedna się zawiera w drugiej).
Ponieważ para zbiorow \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ A_1}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X}\). Podobnie \(\displaystyle{ A_2}\) jest przedziałem początkowym \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ rodzina wszystkich przedziałów początkowych w \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowana liniowo przez inkluzję, a zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2 }\) są przedziałami początkowymi w \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1.\square}\)
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a pary zbiorow \(\displaystyle{ (A_1,B_1);(A_2,B_2)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, ze \(\displaystyle{ B_1\subset B_2}\) lub \(\displaystyle{ B_2\subset B_1.}\)
Na mocy poprzedniego dowodu, otrzymujemy \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1}\). Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ B_1}\) jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A_1}\), tzn. \(\displaystyle{ B_1=A'_1=X \setminus A_1,}\) podobnie \(\displaystyle{ B_2=A'_2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1}\), to naturalnie jest rozważyć dwa przypadki. Jeśli \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\), to \(\displaystyle{ B_1=A'_1\supset A'_2=B_2}\), tak więc \(\displaystyle{ B_1\supset B_2}\), i teza zachodzi.
Jeśli \(\displaystyle{ A_2\subset A_1}\), to \(\displaystyle{ B_2=A'_2\supset A'_1=B_1}\), czyli \(\displaystyle{ B_2\supset B_1}\), i teza zachodzi. \(\displaystyle{ \square}\)
Przejdźmy dalej, niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a pary jego podzbiorów \(\displaystyle{ (A,B);(C,D)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X.}\)
Pokażemy, że para zbiorów \(\displaystyle{ (A \cup C, B \cap D)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). (Tzn. jako pierwszy zbiór pary to suma klas dolnych tych dwóch przekrojów, a jako drugi zbiór przekrój klas górnych, i taka para zbiorów tworzy przekrój Dedekinda).
DOWÓD:
Niewątpliwie, jest to para podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\). Aby wykazać, że ta para zbiorów tworzy przekrój Dedekinda należy po pierwsze wykazać, że \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest zbiorem niepustym. Ale para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda , skąd możemy wnioskować, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty. A zatem tym bardziej zbiór \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest niepusty. Należy teraz wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ A \cup C \neq X.}\) Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A \cup C=X}\). Stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ C\supset X \setminus A=B}\), gdyż \(\displaystyle{ B}\) jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A}\). Również zbiór \(\displaystyle{ D}\) jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ C}\), ponieważ \(\displaystyle{ C\supset B}\), to \(\displaystyle{ D=C'\subset B'=A}\). A więc \(\displaystyle{ D\subset A, B\subset C}\). Niech \(\displaystyle{ b\in B \neq \left\{ \right\}}\) , wtedy \(\displaystyle{ b\in C}\). Niech \(\displaystyle{ d\in D \neq \left\{ \right\}}\). Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (C,D)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), więc każdy element zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ D}\), a więc \(\displaystyle{ b<d}\). Równocześnie ponieważ \(\displaystyle{ D\subset A}\), to \(\displaystyle{ d\in A}\), mamy \(\displaystyle{ b\in B}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ d<b}\), a mamy \(\displaystyle{ b<d}\)-sprzeczność. A zatem \(\displaystyle{ A \cup C \neq X.}\)
Należy teraz wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym \(\displaystyle{ X}\) . Podobnie ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (C,D)}\) tworzy przekrój Dedekinda , to \(\displaystyle{ C}\) jest przedziałem początkowym. Zbiory \(\displaystyle{ A, C}\) są przedziałami początkowymi, to również ich unia (suma) jest przedziałem początkowym, tak więc zbiór \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest przedziałem początkowym. Pozostaje wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ B \cap D}\) jest jego dopełnieniem. Niewątpliwie
\(\displaystyle{ X \setminus (A \cup C)= (X \setminus A) \cap (X \setminus C)= B \cap D}\), gdyż dopelnieniem zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest zbiór \(\displaystyle{ B}\), a dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest zbiór \(\displaystyle{ D}\). Tak więc \(\displaystyle{ (A \cup C)'= B \cap D.}\) A zatem, w myśl charakteryzacji przekrojów Dedekinda, para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A \cup C, B \cap D\right)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X. \square}\)
Rozważmy teraz zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) ,i dwa jego przekroje Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A_1,B_1\right) ; (A_2, B_2). }\) Wykażemy, że para zbiorów \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2, B_1 \cup B_2)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). (Tzn. jako pierwszy zbiór pary przekrój klas dolnych tych dwoch przekrojów Dedekinda , a jako drugi zbiór suma klas gornych, i taka para zbiorów tworzy przekrój Dedekinda).
DOWÓD:
Po pierwsze, ponieważ \(\displaystyle{ B_1, B_2\subset X}\), więc również \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2\subset X}\), i oczywiście \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2\subset X}\), więc jest to para podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\). Aby wykazać, ze tworzy ona przekrój Dedekinda, nalezy po pierwsze wykazać, że \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest zbiorem niepustym.
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2=\emptyset}\), wtedy \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2)'=\emptyset '=X}\). Równocześnie, ponieważ dopełnienie przekroju dwóch zbiorów jest sumą dopełnień, więc \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2)'=A'_1 \cup A'_2=B_1 \cup B_2.}\) Tak więc \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2=X}\). A zatem musi być \(\displaystyle{ B_1\supset B'_2=A_2}\), a zatem \(\displaystyle{ B'_1\subset A'_2=B_2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ B'_1=A_1}\), to \(\displaystyle{ A_1\subset B_2}\), i mamy też \(\displaystyle{ A_2\subset B_1.}\) Doprowadzimy to do sprzeczności. Niech \(\displaystyle{ a_2 \in A_2 \neq \left\{ \right\}. }\) Niech \(\displaystyle{ a_1 \in A_1 \neq \left\{ \right\} .}\) Wtedy \(\displaystyle{ a_1\in B_2}\), mamy \(\displaystyle{ a_2\in A_2}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A_2,B_2)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc każdy element zbioru \(\displaystyle{ A_2}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B_2}\), a zatem wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a_2<a_1}\). Równoześnie \(\displaystyle{ a_1\in A_1,a_2\in A_2\subset B_1}\), więc \(\displaystyle{ a_2\in B_1}\), poniewąz para zbiorów \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc wnioskujemy, ze \(\displaystyle{ a_1<a_2}\), a mamy też \(\displaystyle{ a_2<a_1}\)-sprzeczność.
Zatem \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest zbiorem niepustym. Należy teraz pokazać, że \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \neq X}\). To jednak jest proste: ponieważ para zbiorow \(\displaystyle{ (A_1, B_1)}\) tworzy przekrój Dedekinda, to \(\displaystyle{ A_1\subsetneq X}\), zatem \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2\subsetneq X}\), więc \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \neq X.}\)
Należy teraz pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest przedziałem początkowym. Ponieważ para zbiorow \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) jest przekrojem Dedekinda, to zbiór \(\displaystyle{ A_1}\) jest przedziałem początkowym, podobnie \(\displaystyle{ A_2}\) jest przedziałem pocżątkowym, w efekcie ich przekrój \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest przedziałem początkowym. Pozostało pokazać, że \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2=(A_1 \cap A_2)'.}\) Ale \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2)'=A'_1 \cup A'_2=B_1 \cup B_2}\), gdyż dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A_1}\) jest \(\displaystyle{ B_1}\), a dopelnieniem \(\displaystyle{ A_2}\) jest \(\displaystyle{ B_2.}\) Tak więc \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2=\left( A_1 \cap A_2\right)'.}\) Tak więc para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_1 \cap A_2, B_1 \cup B_2 \right)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X.\square}\)
Rozważmy teraz dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ (X, \le)}\) oraz drugi zbiór \(\displaystyle{ Y\subset X}\) z liniowym porządkiem \(\displaystyle{ \le _Y}\) , tak aby zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X, \le )}\) rozszerzał zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( Y, \le _Y\right).}\) Rozważmy przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) w \(\displaystyle{ X}\), ale tylko taki, ze \(\displaystyle{ A \cap Y}\) jest zbiorem niepustym, i \(\displaystyle{ B \cap Y }\) jest zbiorem niepustym. Wykażemy, że wtedy para zbiorow \(\displaystyle{ (A \cap Y, B \cap Y)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ Y}\).
Dowód: