Przekroje Dedekinda zbioru liniowo uporządkowanego

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Przekroje Dedekinda zbioru liniowo uporządkowanego

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, bardzo prosto, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a pary zbiorów \(\displaystyle{ (A_1,B_1);(A_2,B_2)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1}\). Podobnie dla klas górnych udowodniłem, że \(\displaystyle{ B_1\subset B_2}\) lub \(\displaystyle{ B_2\subset B_1}\). Kilka dni wcześniej udowodniłem też (przy tych samych założeniach), że para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_1 \cap A_2,B_1 \cup B_2\right)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), jak również para zbiorów \(\displaystyle{ (A_1 \cup A_2,B_1 \cap B_2)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Wczorajszy wynik upewnił mnie, że (w pierwszym przypadku ) jest to po prostu ten z tych dwóch przekrojów Dedekinda, którego 'rozcięcie' jest bardziej na lewo. Podobnie drugi przypadek przekroju Dedekinda- jest to ten z tych dwóch naszych przekrojów Dedekinda, którego 'rozcięcie' jest bardziej na prawo. Można przypuszczać, że dla \(\displaystyle{ n}\) przekrojów Dedekinda \(\displaystyle{ (A_1, B_1);(A_2,B_2);\ldots; (A_n,B_n)}\) w \(\displaystyle{ X}\), para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n, B_1 \cap B_2 \cap \ldots \cap B_n\right)}\) jest tym z tych przekrojów Dedekinda, którego 'rozcięcie' jest najbardziej na prawo, podobnie podejrzewam, że para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_1 \cap A_ 2 \cap \ldots \cap A_n, B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n\right)}\) jest najbardziej na lewo z tych przekrojów (pod względem 'rozcięcia'). Przedstawię teraz dowody tych faktów( ostatnich z tych jednak nie, tego już szczegółowo nie uzasadniałem).

Przypomnę może, o co chodzi z przekrojami Dedekinda: jeśli \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to przekrój Dedekinda to dowolne 'rozcięcie' zbioru \(\displaystyle{ X}\) na dwie części. Formalniej, jest to para podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), która tworzy takle rozcięcie. Wtedy pierwszy zbiór pary nazywamy klasą dolną przekroju Dedekinda, drugi zbiór nazywamy klasą górną przekroju. Ścisła definicja nie będzie nam chyba potrzebna, zamiast tego przypomnę charakteryzację przekrojów Dedekinda, którą niedawno udowodniłem.

Jeśli \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), to para \(\displaystyle{ (A,B)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), tworzy przekroj Dedekinda zbioru \(\displaystyle{ X}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X,}\) a zbiór \(\displaystyle{ B }\) jest jego dopełnieniem do zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ B=X \setminus A}\), co udowodniłem TUTAJ.

Przypominam definicję:

W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le )}\) zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X}\), gdy dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\), dla każdego \(\displaystyle{ y\in X}\), takiego, ze \(\displaystyle{ y<x}\), zachodzi \(\displaystyle{ y\in A.}\)

(Czyli zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem początkowym, gdy z każdym swoim elementem zawiera także wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), które są od niego mniejsze).

Przypominam rodzina wszystkich przedziałów początkowych jest uporządkowana liniowo przez inkluzję.
DOWÓD:    
Przypominam, jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset \mathbb{B}}\) jest rodziną przedziałów początkowych, to \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest przedziałem początkowym, i jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest niepustą rodziną przedziałów początkowych, to \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{D}}\) jest przedziałem początkowym. To można dość prosto udowodnić.

Przejdźmy do naszych dowodów:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a pary zbiorów \(\displaystyle{ (A_1,B_1);(A_2,B_2)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, ze \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1.}\) (Czyli dla klas dolnych tych dwóch przekrojów jedna się zawiera w drugiej).

Ponieważ para zbiorow \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ A_1}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X}\). Podobnie \(\displaystyle{ A_2}\) jest przedziałem początkowym \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ rodzina wszystkich przedziałów początkowych w \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowana liniowo przez inkluzję, a zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2 }\) są przedziałami początkowymi w \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1.\square}\)

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a pary zbiorow \(\displaystyle{ (A_1,B_1);(A_2,B_2)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, ze \(\displaystyle{ B_1\subset B_2}\) lub \(\displaystyle{ B_2\subset B_1.}\)

Na mocy poprzedniego dowodu, otrzymujemy \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1}\). Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ B_1}\) jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A_1}\), tzn. \(\displaystyle{ B_1=A'_1=X \setminus A_1,}\) podobnie \(\displaystyle{ B_2=A'_2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\) lub \(\displaystyle{ A_2\subset A_1}\), to naturalnie jest rozważyć dwa przypadki. Jeśli \(\displaystyle{ A_1\subset A_2}\), to \(\displaystyle{ B_1=A'_1\supset A'_2=B_2}\), tak więc \(\displaystyle{ B_1\supset B_2}\), i teza zachodzi.
Jeśli \(\displaystyle{ A_2\subset A_1}\), to \(\displaystyle{ B_2=A'_2\supset A'_1=B_1}\), czyli \(\displaystyle{ B_2\supset B_1}\), i teza zachodzi. \(\displaystyle{ \square}\)

Przejdźmy dalej, niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a pary jego podzbiorów \(\displaystyle{ (A,B);(C,D)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X.}\)
Pokażemy, że para zbiorów \(\displaystyle{ (A \cup C, B \cap D)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). (Tzn. jako pierwszy zbiór pary to suma klas dolnych tych dwóch przekrojów, a jako drugi zbiór przekrój klas górnych, i taka para zbiorów tworzy przekrój Dedekinda).

DOWÓD:

Niewątpliwie, jest to para podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\). Aby wykazać, że ta para zbiorów tworzy przekrój Dedekinda należy po pierwsze wykazać, że \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest zbiorem niepustym. Ale para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda , skąd możemy wnioskować, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty. A zatem tym bardziej zbiór \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest niepusty. Należy teraz wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ A \cup C \neq X.}\) Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A \cup C=X}\). Stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ C\supset X \setminus A=B}\), gdyż \(\displaystyle{ B}\) jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A}\). Również zbiór \(\displaystyle{ D}\) jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ C}\), ponieważ \(\displaystyle{ C\supset B}\), to \(\displaystyle{ D=C'\subset B'=A}\). A więc \(\displaystyle{ D\subset A, B\subset C}\). Niech \(\displaystyle{ b\in B \neq \left\{ \right\}}\) , wtedy \(\displaystyle{ b\in C}\). Niech \(\displaystyle{ d\in D \neq \left\{ \right\}}\). Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (C,D)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), więc każdy element zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ D}\), a więc \(\displaystyle{ b<d}\). Równocześnie ponieważ \(\displaystyle{ D\subset A}\), to \(\displaystyle{ d\in A}\), mamy \(\displaystyle{ b\in B}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ d<b}\), a mamy \(\displaystyle{ b<d}\)-sprzeczność. A zatem \(\displaystyle{ A \cup C \neq X.}\)
Należy teraz wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym \(\displaystyle{ X}\) . Podobnie ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (C,D)}\) tworzy przekrój Dedekinda , to \(\displaystyle{ C}\) jest przedziałem początkowym. Zbiory \(\displaystyle{ A, C}\) są przedziałami początkowymi, to również ich unia (suma) jest przedziałem początkowym, tak więc zbiór \(\displaystyle{ A \cup C}\) jest przedziałem początkowym. Pozostaje wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ B \cap D}\) jest jego dopełnieniem. Niewątpliwie
\(\displaystyle{ X \setminus (A \cup C)= (X \setminus A) \cap (X \setminus C)= B \cap D}\), gdyż dopelnieniem zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest zbiór \(\displaystyle{ B}\), a dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest zbiór \(\displaystyle{ D}\). Tak więc \(\displaystyle{ (A \cup C)'= B \cap D.}\) A zatem, w myśl charakteryzacji przekrojów Dedekinda, para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A \cup C, B \cap D\right)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X. \square}\)

Rozważmy teraz zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) ,i dwa jego przekroje Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A_1,B_1\right) ; (A_2, B_2). }\) Wykażemy, że para zbiorów \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2, B_1 \cup B_2)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). (Tzn. jako pierwszy zbiór pary przekrój klas dolnych tych dwoch przekrojów Dedekinda , a jako drugi zbiór suma klas gornych, i taka para zbiorów tworzy przekrój Dedekinda).


DOWÓD:

Po pierwsze, ponieważ \(\displaystyle{ B_1, B_2\subset X}\), więc również \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2\subset X}\), i oczywiście \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2\subset X}\), więc jest to para podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\). Aby wykazać, ze tworzy ona przekrój Dedekinda, nalezy po pierwsze wykazać, że \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest zbiorem niepustym.

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2=\emptyset}\), wtedy \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2)'=\emptyset '=X}\). Równocześnie, ponieważ dopełnienie przekroju dwóch zbiorów jest sumą dopełnień, więc \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2)'=A'_1 \cup A'_2=B_1 \cup B_2.}\) Tak więc \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2=X}\). A zatem musi być \(\displaystyle{ B_1\supset B'_2=A_2}\), a zatem \(\displaystyle{ B'_1\subset A'_2=B_2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ B'_1=A_1}\), to \(\displaystyle{ A_1\subset B_2}\), i mamy też \(\displaystyle{ A_2\subset B_1.}\) Doprowadzimy to do sprzeczności. Niech \(\displaystyle{ a_2 \in A_2 \neq \left\{ \right\}. }\) Niech \(\displaystyle{ a_1 \in A_1 \neq \left\{ \right\} .}\) Wtedy \(\displaystyle{ a_1\in B_2}\), mamy \(\displaystyle{ a_2\in A_2}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A_2,B_2)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc każdy element zbioru \(\displaystyle{ A_2}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B_2}\), a zatem wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a_2<a_1}\). Równoześnie \(\displaystyle{ a_1\in A_1,a_2\in A_2\subset B_1}\), więc \(\displaystyle{ a_2\in B_1}\), poniewąz para zbiorów \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc wnioskujemy, ze \(\displaystyle{ a_1<a_2}\), a mamy też \(\displaystyle{ a_2<a_1}\)-sprzeczność.

Zatem \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest zbiorem niepustym. Należy teraz pokazać, że \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \neq X}\). To jednak jest proste: ponieważ para zbiorow \(\displaystyle{ (A_1, B_1)}\) tworzy przekrój Dedekinda, to \(\displaystyle{ A_1\subsetneq X}\), zatem \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2\subsetneq X}\), więc \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \neq X.}\)
Należy teraz pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest przedziałem początkowym. Ponieważ para zbiorow \(\displaystyle{ (A_1,B_1)}\) jest przekrojem Dedekinda, to zbiór \(\displaystyle{ A_1}\) jest przedziałem początkowym, podobnie \(\displaystyle{ A_2}\) jest przedziałem pocżątkowym, w efekcie ich przekrój \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest przedziałem początkowym. Pozostało pokazać, że \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2=(A_1 \cap A_2)'.}\) Ale \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2)'=A'_1 \cup A'_2=B_1 \cup B_2}\), gdyż dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A_1}\) jest \(\displaystyle{ B_1}\), a dopelnieniem \(\displaystyle{ A_2}\) jest \(\displaystyle{ B_2.}\) Tak więc \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2=\left( A_1 \cap A_2\right)'.}\) Tak więc para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_1 \cap A_2, B_1 \cup B_2 \right)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X.\square}\)

Rozważmy teraz dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ (X, \le)}\) oraz drugi zbiór \(\displaystyle{ Y\subset X}\) z liniowym porządkiem \(\displaystyle{ \le _Y}\) , tak aby zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X, \le )}\) rozszerzał zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( Y, \le _Y\right).}\) Rozważmy przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) w \(\displaystyle{ X}\), ale tylko taki, ze \(\displaystyle{ A \cap Y}\) jest zbiorem niepustym, i \(\displaystyle{ B \cap Y }\) jest zbiorem niepustym. Wykażemy, że wtedy para zbiorow \(\displaystyle{ (A \cap Y, B \cap Y)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ Y}\).
Dowód:    
Ogólnym przykładem przekroju Dedekinda może być suma porządkowa dwóch niepustych zbiorów liniowo uporządkowanych. Tzn. jesli \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) ; \left( B, \le _B\right)}\) są niepustymi zbiorami liniowo uporządkowanymi na zbiorach rozłącznych, wtedy suma porżądkowa jest liniowym porządkiem w \(\displaystyle{ A \cup B}\), i wtedy para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ A \cup B}\), faktu którego dowód można znaleźć również w tym linku.

:lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Przekroje Dedekinda zbioru liniowo uporządkowanego

Post autor: Jakub Gurak »

Dzisiaj udowodniłem, że każdym zbiorze liniowo uporządkowanym podobnym do zbioru liczb naturalnych z naturalnym porządkiem, wtedy każdy przekrój Dedekinda daje skok. Udowodniłem też, że w każdym skończonym zbiorze liniowo uporządkowanym każdy przekrój daje skok. Zauważyłem też, że w każdym zbiorze dobrze uporządkowanym żaden przekrój Dedekinda nie daje luki. Również zauważyłem, że w dłuższych zbiorach dobrze uporządkowanych, niż zbiór liczb naturalnych, może istnieć przekrój który nie daje skoku. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Przypomnę może najpierw, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le )}\), przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok, gdy w \(\displaystyle{ A}\) jest element największy, i w \(\displaystyle{ B}\) jest element najmniejszy. Na 'rozcięciu' tych dwóch zbiorów jest więc skok.

Przypomnę może, że zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X, \le )}\) nazywamy zbiorem dobrze uporządkowanym, gdy każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy.

Przypomnę może, ze jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le_X\right)}\) zbiorem dobrze uporządkowanym ,a \(\displaystyle{ \left( Y, \le_Y\right) }\) zbiorem liniowo uporządkowanym do niego podobnym, to \(\displaystyle{ \left( Y, \le_Y\right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.

Przypomnę może, że w zbiorze liniowo uporządkowanym każdy skończony niepusty podzbiór ma element najmniejszy i największy.

Przypomnę jeszcze, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le)}\) przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje lukę, jeśli w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego, i w \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu najmniejszego.

Przejdźmy do rozwiązań:

Niech \(\displaystyle{ (X, \le)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \NN}\) z naturalnym porządkiem \(\displaystyle{ \le_\NN}\). Wtedy, ponieważ \(\displaystyle{ \NN}\) jest dobrze uporządkowany przez naturalny porządek, to również podobny do niego zbiór \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest dobrze uporządkowany. Pokażemy, że tutaj każdy przekrój Dedekinda daje skok.

Niech para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) będzie przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \NN}\), to istnieje podobieństwo \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow X.}\) Ustalmy je. Zauważmy, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty, i jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ b\in B}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jako podobieństwo jest bijekcją, więc jest 'na' zbiór X, więc \(\displaystyle{ b=f(n)}\), dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\NN.}\) Pokażemy teraz, że \(\displaystyle{ A=\stackrel{ \rightarrow }{f} (n)=\stackrel{ \rightarrow }{f} \left\{ m\in\NN: \ m< _{\NN} n \right\} .}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\in\stackrel { \rightarrow }{f} (n)}\), to \(\displaystyle{ x=f(m)}\), gdzie \(\displaystyle{ m< _{\NN} n.}\) Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ x\in A}\), więc przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\), wtedy ponieważ \(\displaystyle{ A \cup B=X}\) (para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\)) , więc musi być \(\displaystyle{ x\in B}\) elementem \(\displaystyle{ B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b\in B }\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ b=f(n) \le x=f(m)}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, więc również \(\displaystyle{ n \le _{\NN} m}\), a \(\displaystyle{ m< _{\NN} n}\)-sprzeczność. A zatem musi \(\displaystyle{ x}\) być elementem \(\displaystyle{ A}\)- \(\displaystyle{ x\in A}\), co dowodzi inkluzji w jedną stronę. Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ x\in A}\), wtedy oczywiście \(\displaystyle{ x\in X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, więc jest 'na', więc \(\displaystyle{ x=f(m)}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in\NN.}\) Ja teraz stwierdzam, że \(\displaystyle{ m< _{\NN} n.}\) Gdyby bowiem było przeciwnie,czyli \(\displaystyle{ m \ge _{\NN} n}\), to nie może być \(\displaystyle{ m=n}\), bo \(\displaystyle{ A \ni x=f(m)}\), a \(\displaystyle{ b=f(n)\not\in A}\), gdyż \(\displaystyle{ b\in B}\), a zbiory \(\displaystyle{ A,B }\) są rozłączne. Zatem musi być \(\displaystyle{ m> _{\NN} n}\), a wtedy z podobieństwa \(\displaystyle{ A \ni x=f(m) \ge f(n)=b\in B}\), tak więc \(\displaystyle{ x \ge b}\), lecz ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), więc każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), mamy \(\displaystyle{ x\in A, b\in B}\), a zatem \(\displaystyle{ x<b}\)- sprzeczność. A zatem musi być \(\displaystyle{ m<n}\). A zatem \(\displaystyle{ x=f(m)\in \stackrel{ \rightarrow }{f}(n).}\)
A zatem \(\displaystyle{ A=\stackrel { \rightarrow }{f}(n)}\), ponieważ liczba naturalna von Neumanna \(\displaystyle{ n}\) jest zbiorem skończonym, więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jako obraz zbioru skończonego jest zbiorem skończonym, również \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym, skoro \(\displaystyle{ A}\) jest skończonym niepustym podzbiorem zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy. Ponieważ również zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy, więc przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok.\(\displaystyle{ \square }\)

Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest skończonym zbiorem liniowo uporządkowanym, to każdy przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok.
Mamy bowiem, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym, i jako podzbiór zbioru skończonego \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym, ponieważ jest skończonym niepustym podzbiorem zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\), zatem \(\displaystyle{ A}\) ma element największy, podobnie zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy, zatem przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok. \(\displaystyle{ \square}\)

Zauważmy, że wychodzi na to, że te dwa twierdzenia dotyczą zbiorów dobrze uporządkowanych (każdy skończony zbiór liniowo uporządkowany jest dobrze uporządkowany). Jednak nie zawsze w zbiorze dobrze uporządkowanym- może istnieć przekrój nie dający skoku. Aby to pokazać:

Rozważmy zbiór liczb naturalnych z naturalnym porządkiem (dobrym), oraz jeden element \(\displaystyle{ T\not\in \NN}\) , rozważmy \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\} }\), z porządkiem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) , który polega na dodaniu do \(\displaystyle{ \NN}\) ze zwykłym porządkiem \(\displaystyle{ \le}\) tego jednego elementu \(\displaystyle{ T}\), jako największego. Ponieważ \(\displaystyle{ \left( \NN, \le\right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to \(\displaystyle{ \left( \NN \cup \left\{ T \right\},\sqsubseteq\right) }\) również jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Rozważmy parę zbiorów \(\displaystyle{ \left( \NN,\left\{ T\right\} \right)}\). Wykażemy, ze tworzy ona przekrój Dedekinda. W tym celu należy wykazać, że \(\displaystyle{ \NN}\) jest niepustym i rożnym od \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}}\) przedziałem początkowym ,a \(\displaystyle{ \left\{ T\right\}}\) jest jego dopełnieniem do \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}.}\) Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ \NN}\) jest przedziałem początkowym, reszta jest oczywista. W tym celu niech \(\displaystyle{ n\in\NN}\), i niech \(\displaystyle{ m\in \NN \cup \left\{ T\right\} }\), będzie takim elementem, że \(\displaystyle{ m\sqsubseteq n}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ m\in\NN}\). Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ m \neq T.}\) Ale gdyby było \(\displaystyle{ m=T}\), to \(\displaystyle{ T\sqsubseteq n}\), ponieważ \(\displaystyle{ T}\) jest największy, to \(\displaystyle{ n\sqsubseteq T}\), a zatem \(\displaystyle{ T=n\in\NN}\)- sprzeczność. Zatem musi \(\displaystyle{ m\in\NN}\), i \(\displaystyle{ \NN}\) jest przedziałem początkowym. A zatem para zbiorów \(\displaystyle{ \left( \NN,\left\{ T\right\} \right)}\) tworzy przekrój Dedekinda, ponieważ w \(\displaystyle{ \NN}\) nie ma elementu największego, to przekrój \(\displaystyle{ \left( \NN,\left\{ T\right\}\right) }\) nie daje skoku, niestety. \(\displaystyle{ \square }\)

Na koniec podam fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to żaden przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daje luki.

Dowód: Mamy bowiem \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}}\) , oraz \(\displaystyle{ B\subset X}\); ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, zatem \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy, a stąd wnioskujemy, że przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daje luki.\(\displaystyle{ \square}\) :lol:

:D
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Przekroje Dedekinda zbioru liniowo uporządkowanego

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, że jeśli \(\displaystyle{ (X, \le _X)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), i \(\displaystyle{ \left( Y, \le_Y\right)}\) jest niepustym zbiorem liniowo uporządkowanym, to w iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym, para zbiorów \(\displaystyle{ (A \times Y,B \times Y)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X \times Y}\). Co więcej udowodniłem, że przekrój ten daje skok, dokładnie wtedy, gdy przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) w \(\displaystyle{ X}\) daje skok, i \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy i największy. W dowodzie wykorzystałem dwa lematy, które udowodniłem. Ale nie chciało mi się analogicznie udowadniać drugiego lematu. Za to wykorzystałem to co udowodniłem (pierwszy lemat) oraz prawo zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ (X\otimes Y) ^{-1} =X^{-1}\otimes Y^{-1}}\), które udowodniłem tutaj, na końcu . Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Lemat 1. Jeśli \(\displaystyle{ (X, \le _X ), (Y, \le _Y )}\) są niepustymi zbiorami liniowo uporządkowanymi, a \(\displaystyle{ C}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), to w \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym, mamy, że \(\displaystyle{ C \times Y}\) ma element największy, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ C}\) ma element największy w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ma element największy.
Dowód:    
Lemat 2. Jeśli \(\displaystyle{ (X, \le _X ), (Y, \le _Y )}\) są niepustymi zbiorami liniowo uporządkowanymi, a \(\displaystyle{ C}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), to w \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym, mamy, że \(\displaystyle{ C \times Y}\) ma element najmniejszy, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy.

(Pewnie można analogicznie, ale mi się nie chciało powtarzać rozumowania). Wykorzystamy udowodniony Lemat 1, oraz prawo zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ (A\otimes B) ^{-1}=A ^{-1} \otimes B^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ \otimes}\) oznacza porządek leksykograficzny a \(\displaystyle{ ^{-1}}\) porządek odwrotny.

Dowód:

\(\displaystyle{ C \times Y}\) ma element najmniejszy względem \(\displaystyle{ X\otimes Y}\), \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) zbiór \(\displaystyle{ C \times Y}\) ma element największy względem \(\displaystyle{ \left( X\otimes Y\right) ^{-1}= X^{-1}\otimes Y^{-1}}\), dalej stosujemy udowodniony lemat 1( możemy, gdyż porządek odwrotny do danego liniowego na \(\displaystyle{ X}\) jest liniowy na tym samym zbiorze \(\displaystyle{ X}\), porządek odwrotny do danego liniowego na \(\displaystyle{ Y}\) jest liniowy na \(\displaystyle{ Y}\), zatem \(\displaystyle{ X}\) z tym porządkiem odwrotnym jest zbiorem liniowo uporządkowanym, i \(\displaystyle{ Y}\) z prządkiem odwrotnym jest zbiorem liniowo uporządkowanym, możemy zatem rozważać ich porządek leksykograficzny na \(\displaystyle{ X \times Y}\)), stosując ten lemat 1, otrzymujemy, że ta ostatnia wypowiedź zachodzi, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ C}\) ma element największy względem \(\displaystyle{ \le _{X} ^{-1}}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ma element największy względem \(\displaystyle{ \le _{Y} ^{-1}}\), a to zachodzi, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy względem \(\displaystyle{ \le_X}\) , i \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy, względem \(\displaystyle{ \le _Y. \square}\) :lol:

Wykażemy teraz, zgodnie z zapowiedzią, poniższy fakt:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), niech \(\displaystyle{ \left( Y, \le_Y\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy w iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A \times Y, B \times Y\right) }\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X \times Y}\)( czyli jest to rozcięcie w \(\displaystyle{ X \times Y}\)).

Dowód:

Wykażemy to z definicji (aby znaleźć definicję przekroju Dedekinda- w pierwszym poście tego wątku jest link, i tam, w drugim poście, jest definicja przekroju Dedekinda).

Dowód:

Mamy \(\displaystyle{ A\subset X, B\subset X}\), więc \(\displaystyle{ A \times Y\subset X \times Y, B \times Y\subset X \times Y}\), więc jest to para podzbiorów \(\displaystyle{ X \times Y.}\)

Należy teraz pokazać, po pierwsze, że \(\displaystyle{ (A \times Y) \cup \left( B \times Y\right)= X \times Y}\), to jednak jest proste, gdyż \(\displaystyle{ (A \times Y) \cup \left( B \times Y\right)= \left( A \cup B\right) \times Y=}\) i ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ A \cup B=X}\), tak więc to jest równe \(\displaystyle{ (X \times Y).}\)

Weźmy teraz \(\displaystyle{ (a,y_1)\in A \times Y; (b,y_2) \in B\times Y}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ \left( a,y_1\right)<_l (b,y_2)}\) -(silną nierówność). Mamy \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), więc każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ a<_X b}\), (w szczególności \(\displaystyle{ a \neq b}\)), a zatem \(\displaystyle{ (a,y_1)<_l (b,y_2). }\)

Pozostaje wykazać, ze zbiory \(\displaystyle{ A \times Y, B \times Y}\) są niepuste. Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem w \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym, istnieje więc \(\displaystyle{ a\in A}\), mamy \(\displaystyle{ Y \neq \left\{ \right\} }\), istnieje więc \(\displaystyle{ y\in Y}\), wtedy \(\displaystyle{ (a,y )\in A \times Y}\), a więc jest to zbiór niepusty, Podobnie uzasadniamy, że \(\displaystyle{ B \times Y}\) jest zbiorem niepustym.

A zatem para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A \times Y, B \times Y\right)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X \times Y.}\)


Wykażemy ze ten przekrój \(\displaystyle{ \left( A \times Y, B \times Y\right) }\) daje skok, wtedy i tylko wtedy, gdy przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) w \(\displaystyle{ X}\) daje skok, i \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy i największy.

Dowód:

Mamy bowiem na mocy lematu 1 i lematu 2:

Przekrój \(\displaystyle{ \left( A \times Y, B \times Y\right)}\) daje skok, \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) zbiór \(\displaystyle{ A \times Y}\) ma element największy i \(\displaystyle{ B \times Y}\) ma element najmniejszy, \(\displaystyle{ \mathop{\stackrel {A \neq \left\{ \right\} } {\Longleftrightarrow} } _{B \neq \left\{ \right\} } }\) (zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ma element największy ) i ( \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy i \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy ), \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) ( zbiór \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy i ma element największy ) i ( \(\displaystyle{ A}\) ma element największy w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\)), \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok w \(\displaystyle{ X,}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy i największy. \(\displaystyle{ \square}\)

Na koniec zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ (X, \le ^{-1} )}\) (jest to zbiór liniowo uporządkowany) para zbiorów \(\displaystyle{ (B,A)}\) tworzy przekrój Dedekinda, łatwo to z definicji można sprawdzić, ale już muszę iść spać.

:lol:

Dodano po 12 godzinach 25 minutach 19 sekundach:
Jakub Gurak pisze: 2 maja 2021, o 00:38Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), niech \(\displaystyle{ \left( Y, \le_Y\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy w iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A \times Y, B \times Y\right) }\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X \times Y}\)( czyli jest to rozcięcie w \(\displaystyle{ X \times Y).}\)
Zapomniałem założenia, że \(\displaystyle{ Y}\) ma być zbiorem niepustym. :?
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Przekroje Dedekinda zbioru liniowo uporządkowanego

Post autor: Jakub Gurak »

Mamy też drugą charakteryzację przekrojów Dedekinda: W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\), para jego podzbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda, dokładnie wtedy, gdy drugi zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepustą i różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) resztą, a pierwszy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest jego dopełnieniem (do zbioru \(\displaystyle{ X}\)), co udowodniłem TUTAJ.

Udowodniłem przedwczoraj, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ (X, \le _X); (Y, \le _Y)}\), wtedy możemy chyba na iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y}\) rozważać porządek leksykograficzny, i jeśli mamy dowolny przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\), to również zbiór \(\displaystyle{ A \times Y}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym. Podobnie jeśli mamy iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\); \(\displaystyle{ \left( Y, \le _Y\right), }\) oraz gdy mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) będący przedziałem początkowym, to również zbiór \(\displaystyle{ A \times Y}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym. I podobny fakt udowodniłem dla reszty.
Udowodniłem też przedwczoraj, że gdy mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ (X,R); (Y,S)}\) takie, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) rozszerza zbiór \(\displaystyle{ Y}\), oraz dowolny przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\), to zbiór \(\displaystyle{ A \cap Y}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ X \cap Y}\) względem porządku \(\displaystyle{ R \cap S}\), czyli przekroju tych dwóch liniowych porządków. Podobne dwa fakty udowodniłem dla przedziałów początkowych i reszt. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Definicję tych pojęć (przedziału, przedziału początkowego i reszty) można znaleźć TUTAJ, W PRZEDOSTATNIM POŚCIE.

Przypomnę może jeszcze, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ (X,R);(Y,S)}\) takie, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) rozszerza zbiór \(\displaystyle{ Y}\), to przekrój \(\displaystyle{ R \cap S}\) jest relacją liniowego porządku w \(\displaystyle{ X \cap Y}\), tak naprawdę to jest to po prosty zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (Y,S)}\)- czyli jest to po prostu krótszy z tych dwóch liniowych porządków. Łatwo to można udowodnić.

Przejdźmy do naszych faktów.

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) ; \left( Y, \le _{Y}\right)}\) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Rozważmy iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X \times Y}\), z porządkiem leksykograficznym \(\displaystyle{ \le _{l}.}\) Rozważmy jeszcze dowolny przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\)( względem oczywiście zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X}\right)}\) ). Wykażemy, że również zbiór \(\displaystyle{ A \times Y}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym.
DOWÓD TEGO FAKTU:    
Wykażemy podobny fakt dla przedziałów początkowych.
tzn. .::    
DOWÓD TEGO FAKTU:    
Wykażemy podobny fakt dla reszty, tzn. jeśli mamy iloczyn kartezjański dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych, iloczyn \(\displaystyle{ X \times Y}\) z porządkiem leksykograficznym, i jeśli mamy dowolną resztę \(\displaystyle{ A\subset X}\), to również zbiór \(\displaystyle{ A \times Y}\) jest resztą w \(\displaystyle{ X \times Y.}\)

Może można z definicji, mi się zachciało, jak zwykle, rozważać porządki odwrotne, oraz prawo, że porządek odwrotny do leksykograficznego na iloczynie kartezjańskim dwóch zbiorów jest porządkiem leksykograficznym porządków odwrotnych, tzn. mamy prawo zbiorów liniowo uporządkowanych: \(\displaystyle{ \left( A\otimes B\right) ^{-1}=A ^{-1}\otimes B ^{-1}.}\)

Przejdźmy do tego ciekawego dowodu:

Dowód (zachowując oznaczenia z twierdzenia):

Zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą, więc \(\displaystyle{ A}\) w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1}\right) }\) jest przedziałem początkowym. Mamy, że \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1}\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, \(\displaystyle{ \left( Y, \le ^{-1}_Y\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym (porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze) , i \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ (X, \le_X ^{-1})}\), stosując zatem fakt udowodniony powyżej otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ A \times Y}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X \times Y}\), względem \(\displaystyle{ \le _{\left( X ^{-1}\otimes Y ^{-1}\right) } }\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ A \times Y}\) jest resztą względem porządku doń odwrotnego, czyli względem \(\displaystyle{ \le _{\left( X ^{-1} \otimes Y ^{-1} \right) ^{-1} } = \le _{\left[ \left( X ^{-1} \right) ^{-1} \otimes \left( Y ^{-1}\right) ^{-1}\right] } = \le _{\left( X\otimes Y\right) }= \le _l. \square }\) :lol:

Przejdziemy teraz do dowodów z przekrojami dwóch liniowych porządków. Będziemy potrzebowali \(\displaystyle{ }\)jednego lematu.
Lemat:    
Nim to udowodnimy przypomnijmy prosty fakt, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) ; \left( Y, \le _Y\right)}\) takie, że porządek \(\displaystyle{ \le _{Y}}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ \le _X}\), to porządek rozszerzający \(\displaystyle{ \le _Y}\) zawężony do zbioru \(\displaystyle{ X}\), gdzie jest określony porządek dany jest mu równy, tzn. \(\displaystyle{ \left( \le_Y \right) _{|X} = \le _X.}\) Jest to prosty fakt.
Dowód lematu:    
Przypomnijmy jeszcze (raczej prosty) fakt, że jeśli mamy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) oraz podzbiór \(\displaystyle{ Y\subset X}\) liniowo uporządkowany (przez porządek \(\displaystyle{ \le}\) zawężony do zbioru \(\displaystyle{ Y}\), będziemy dalej ten porządek oznaczać jako \(\displaystyle{ \le _Y}\)), oraz gdy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest dowolnym przedziałem w \(\displaystyle{ X}\), to przekrój \(\displaystyle{ A \cap Y}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ Y}\)( czyli zawężenie przedziału do podzbioru liniowo uporządkowanego jest przedziałem w tym podzbiorze). Podobne fakty zachodzą dla przedziałów początkowych i reszt, tzn. zawężenie przedziału początkowego do podzbioru liniowo uporządkowanego jest przedziałem początkowym w tym podzbiorze, i zawężenie reszty do podzbioru liniowo uporządkowanego jest resztą w tym podzbiorze- są to proste fakty.

Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ (X,R);(Y,S)}\) są zbiorami liniowo uporządkowanymi takimi, że \(\displaystyle{ (X,R)}\) rozszerza \(\displaystyle{ (Y,S)}\), a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem, to \(\displaystyle{ A \cap Y}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ X \cap Y}\) względem liniowego porządku \(\displaystyle{ R \cap S}\)( tak naprawdę, względem po prostu zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ (Y,S)}\), czyli krótszego z tych dwóch liniowych porządków).
Dowód tego faktu::    
Wykażemy podobny fakt dla przedziałów początkowych.
Ukryta treść:    
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Podobny fakt udowodnimy dla reszty.
Ukryta treść:    
Dowód (nie :!: analogiczny):    
:lol:
ODPOWIEDZ