Funkcja ciągła.

[Ziomxxd]

Nie umiem poradzić sobie z takim zadaniem. Z góry dziękuje za pomoc i wskazówki.

Funkcja \(\displaystyle{ f : P(B) \rightarrow P(B)}\) jest ciągła. Powiemy, że zbiór \(\displaystyle{ x \subseteq B}\) jest dobry, gdy \(\displaystyle{ f (x) \subseteq x}\).
Udowodnić, że iloczyn dowolnej rodziny zbiorów dobrych jest dobry i że suma dowolnej
skierowanej rodziny zbiorów dobrych jest dobra.

[Jakub Gurak]

Co to jest funkcja ciągła w tym kontekście Co to jest rodzina skierowana??

[Ziomxxd]

Funkcja ciągła to taka co zachowuje kresy zbiorów skierowanych. Czyli jeśli \(\displaystyle{ X \subset A}\) jest skierowany to \(\displaystyle{ f(\sup(X)) = \sup(f(X))}\) a rodzina skierowana to tak jak zbiór skierowany.

[Dasio11]

Zacznij od dowodu, że \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, tzn. dla dowolnych \(\displaystyle{ B_1 \subseteq B_2 \subseteq B}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(B_1) \subseteq f(B_2)}\). Potem dowód jest standardowy - zapisz założenia i tezę, ustal to co trzeba i powinno wyjść. Na rozgrzewkę możesz rozwiązać przypadek gdy rodzina składa się z dwóch zbiorów.

[Ziomxxd]

Ta cześć jest dla mnie jasna i umiem ja zrobić ale nie wiem jak potem przejść do dowolnej rodziny

[Jakub Gurak]

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie niepustą rodziną zbiorów dobrych. Pokażemy, że również \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb {B}}\) jest zbiorem dobrym. Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb {B}}\); wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest dobry. Niewątpliwie, z własności przekroju \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb {B}\subset A }\), więc również z monotoniczności funkcji f, otrzymujemy \(\displaystyle{ f\left( \bigcap\mathbb {B} \right) \subset f\left( A\right) \subset A}\)- gdyż zbiór A jest dobry. A zatem \(\displaystyle{ f\left( \bigcap\mathbb {B}\right) \subset A, }\), i to dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A\in\mathbb {B}}\), więc również ten zbiór \(\displaystyle{ f\left( \bigcap\mathbb {B}\right) }\) zawiera się w ich przekroju, czyli \(\displaystyle{ f\left( \bigcap\mathbb {B} \right) \subset \bigcap\mathbb {B} }\), co oznacza, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb {B}}\) jest dobry.\(\displaystyle{ \square}\)