Moc continuum

[Adam99]

Udowodnić, że zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ f \in \left\{ 0,1\right\} ^{\NN} : ( \forall n \in \NN) f(2n)=0\right\} }\)
jest mocy continuum.

Pokazałem, że zbiór jest mocy co najwyżej continuum, ale mam problem z funkcją, która pokazywałaby, że jest mocy większej niż continuum.

[Jan Kraszewski]

Pokazałem, że zbiór jest mocy co najwyżej continuum, ale mam problem z funkcją, która pokazywałaby, że jest mocy większej niż continuum.

Większej?!

Niech \(\displaystyle{ \left\{ f \in \left\{ 0,1\right\} ^{\NN} : ( \forall n \in \NN) f(2n)=0\right\}=\mathcal A }\)

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ F:\mathcal A\to \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}}\) zadaną wzorem \(\displaystyle{ F(f)(n)=f(2n+1).}\)

Druga wersja: rozważ funkcję \(\displaystyle{ G: \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}\to\mathcal A}\) zadaną wzorem
\(\displaystyle{ G(f)(n)= \begin{cases} f(k)&\text{gdy }n=2k+1\text{ dla pewnego }k\in\NN\\ 0&\text{ w przeciwnym wypadku}.\end{cases} }\)

Zadanie dodatkowe: sprawdź, że \(\displaystyle{ F^{-1}=G.}\)

JK

[Jakub Gurak]

Oznaczmy tą rodzinę funkcji przez \(\displaystyle{ \mathbb{X}.}\)

Rozważmy zbiór funkcji:

\(\displaystyle{ \mathbb{X}_1=\left\{ 0,1\right\} ^{2 \NN+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ 2\NN+1=\left\{ 2n+1\Bigl| \ \ \ n\in \NN \right\} }\) jest zbiorem liczb nieparzystych.

Łatwo wskazać funkcję różnowartościową z \(\displaystyle{ 2^{\NN}=\left\{ 0,1\right\} ^{\NN}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{X} _1}\):

\(\displaystyle{ \alpha \left( f\right)=g}\), która funkcji \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\}}\) przypisuję funkcję \(\displaystyle{ g:2\NN+1 \rightarrow \left\{ 0,1\right\}}\), daną jako:

jeśli \(\displaystyle{ f(n)=y}\), to (wtedy i tylko wtedy), gdy: \(\displaystyle{ g(2n+1)=y}\), czyli jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) liczbie naturalnej przypisuję \(\displaystyle{ y}\)( \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\)), to tą samą wartość \(\displaystyle{ y}\) przypisuję również przypisana funkcja \(\displaystyle{ g}\) liczbie nieparzystej \(\displaystyle{ 2n+1.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( f\right) = \alpha (f')}\), gdzie \(\displaystyle{ f,f'\in2^{\NN}}\), wtedy przypisane funkcje oznaczmy jako \(\displaystyle{ g, g'}\); wtedy \(\displaystyle{ g(2n+1) =g'(2n+1)}\) dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\). Niech \(\displaystyle{ n\in\NN.}\) Wtedy \(\displaystyle{ g(2n+1)=g'(2n+1)}\) oznaczmy tą wartość jako \(\displaystyle{ y}\). Wtedy z definicji funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ y=f(n)=f'(n)}\), co wobec dowolności \(\displaystyle{ n}\) oznacza, że \(\displaystyle{ f=f'}\), a więc funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.

Skoro \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa, to zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{X}_1}\) jest co najmniej mocy jak continuum, a zatem nasz zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) również( wystarczy uzupełnić zerami na pozycjach parzystych i otrzymać zbiór równoliczny z \(\displaystyle{ \mathbb{X}_1}\)). Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{X}\subset\left\{ 0,1\right\} ^{\NN}}\) , to \(\displaystyle{ |\mathbb{X}| \le \left| \left\{ 0,1\right\} ^{\NN} \right| }\). Twierdzenie Cantora-Bernsteina powoduje, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) jest mocy continuum. \(\displaystyle{ \square }\)

[Adam99]

Większej?!

... lub równej. Dwa słowa, a różnica duża.
Dziękuję Wam za pomoc.