Udowodniłem dzisiaj, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną dobrych porządków na pewnych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), i \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest łańcuchem względem relacji rozszerzenia, to przekrój \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\) jest dobrym porządkiem w przekroju zbiorów na których są określone te dobre porządki. Przedstawię teraz dowód.
Przypomnę może, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{S}}\) jest rodziną wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), uporządkowaną przez relację rozszerzania, tzn. liniowy porządek jest większy od danego gdy jest jego rozszerzeniem, (formalnie jest to po prostu relacja inkluzji), to jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{B}\subset \mathbb{S}}\) jest niepustym łańcuchem, to przekrój \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\) jest liniowym porządkiem w przekroju zbiorów na których są określone te liniowe porządki, co udowodniłem TUTAJ, W DRUGIM POŚCIE . Przypomnę, że \(\displaystyle{ x \left( \bigcap\mathbb{B}\right) y}\), czyli element \(\displaystyle{ x}\) jest mniejszy od elementu \(\displaystyle{ y}\) względem \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\) ,gdy \(\displaystyle{ x(R)y}\), dla każdego liniowego porządku \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}.}\) Przyjmijmy notację, że jeśli \(\displaystyle{ R\in \mathbb{S}}\) jest liniowym porządkiem na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\), to ten zbiór na którym jest określony ten porządek \(\displaystyle{ R}\), będziemy oznaczać jako \(\displaystyle{ X_R.}\)
Udowodnijmy najpierw prosty lemat, że:
Jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ (X, \le _X); (Y, \le _{Y} )}\) tak, że porządek \(\displaystyle{ \le_Y}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ \le_X}\), to porządek \(\displaystyle{ \le _{Y|X}}\), tzn. \(\displaystyle{ \le _Y\cap (X\times X) }\)(porżądek \(\displaystyle{ \le _Y}\) zawężony do zbioru \(\displaystyle{ X}\)) jest równy porządkowi \(\displaystyle{ \le _X.}\)
DOWÓD LEMATU:
Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ \le _Y \cap \left( X\times X\right)\subset X\times X}\), jak również porządek \(\displaystyle{ \le _X}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) ten porządek jest podzbiorem \(\displaystyle{ X\times X}\). Aby wykazać, że te porządki są równe należy wykazać, że
\(\displaystyle{ x \le _X y \Longleftrightarrow x\left( \le _{Y|X}\right) y}\), dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in X}\).
Aby to wykazać, to niech \(\displaystyle{ x,y\in X.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x \le _X y}\), to ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le _Y}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ \le _X}\), więc \(\displaystyle{ x \le _Y y}\), mamy \(\displaystyle{ x,y\in X}\), więc również \(\displaystyle{ x (\le_ {Y|X} ) y}\), co dowodzi implikacji w jedną stronę. Aby wykazać implikację w drugą stronę, to załóżmy, że:
\(\displaystyle{ x ( \le_{ Y|X}) y}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \le _Y y }\) i \(\displaystyle{ x,y\in X}\). Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ x\not \le_X y. }\) Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, \(\displaystyle{ x,y\in X, x\not \le _X y}\) więc musi być\(\displaystyle{ y \le _X x}\). Ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le _Y}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ \le _X}\), więc \(\displaystyle{ y \le _Y x}\), mamy \(\displaystyle{ x \le _Y y}\), więc z antysymetrii tego porządku otrzymujemy \(\displaystyle{ x=y}\), a więc ze zwrotności \(\displaystyle{ \le _X}\) dostajemy \(\displaystyle{ x \le _X x=y}\)-sprzeczność.\(\displaystyle{ \square}\)
Przejdźmy do właściwego dowodu:
DOWÓD:
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną dobrych porządków na pewnych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), będącą łańcuchem względem relacji rozszerzania, tak jak wyżej. Wykażemy, że \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B}}\) jest dobrym porządkiem w \(\displaystyle{ \bigcap_{ R\in\mathbb{B}} X_R}\), czyli w przekroju zbiorów na których są określone te dobre porządki.
Jesli \(\displaystyle{ \mathbb{B}=\emptyset }\) , to \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}= \bigcap \emptyset=\emptyset}\), a więc jest to porządek pusty, który jest dobry na zbiorze pustym, czyli na \(\displaystyle{ \bigcap_{R\in \emptyset} X_R= \bigcap\emptyset=\emptyset.}\) Załóżmy dalej, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B} }\) jest niepusta.
Ponieważ jest to rodzina złożona z porządków dobrych, a więc liniowych, i jest to niepusty łańcuch względem relacji rozszerzania, więc \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B}}\) jest liniowym porządkiem w w \(\displaystyle{ \bigcap_{ R\in \mathbb{B}} X_R}\), czyli w przekroju zbiorów na których są określone te liniowe porządki, na mocy przytoczonego faktu do którego dowodu odsyłałem. Aby wykazać, ze jest to dobry porządek należy wykazać, że każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{ R\in \mathbb{B} } X_R}\) ma element najmniejszy. Niech więc
\(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \bigcap_{R\in \mathbb{B} } X_R}\) będzie niepustym podzbiorem. Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy, względem \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\). Ustalmy porządek \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B} \neq \left\{ \right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \bigcap_{S\in\mathbb{B}} X_S\subset X_R}\), a \(\displaystyle{ (X_R,R)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym (bo \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\)), więc z definicji zbioru dobrze uporządkowanego wynika, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ x}\) względem \(\displaystyle{ R}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A}\). Element \(\displaystyle{ x}\) będzie również najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\). Aby to wykazać, to niech \(\displaystyle{ y\in A}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ x\left( \bigcap\mathbb{B}\right) y}\). Aby to wykazać, to niech \(\displaystyle{ S\in\mathbb{B}}\) będzie dobrym porządkiem. Pokażemy, że \(\displaystyle{ x(S)y}\), (to wystarczy gdyż \(\displaystyle{ \mathbb{B} \neq \left\{ \right\} }\)). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\) oraz \(\displaystyle{ y\in A}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), więc \(\displaystyle{ x(R) y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ R,S\in\mathbb{B}}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest łańcuchem względem relacji rozszerzania, więc \(\displaystyle{ R}\) rozszerza \(\displaystyle{ S}\) lub \(\displaystyle{ S}\) rozszerza \(\displaystyle{ R}\). Jeśli \(\displaystyle{ S}\) rozszerza \(\displaystyle{ R}\), to również \(\displaystyle{ x(S)y}\), co należało pokazać. W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ R}\) rozszerza \(\displaystyle{ S}\), na mocy lematu \(\displaystyle{ R_{|X_S}=S}\) czyli porządek \(\displaystyle{ R}\) zawężony do zbioru \(\displaystyle{ X_S}\) jest porządkiem \(\displaystyle{ S}\), ponieważ \(\displaystyle{ x,y\in A\subset \bigcap_{T\in\mathbb{B} } X_T\subset X_S}\), a więc \(\displaystyle{ x,y\in X_S}\), i mamy \(\displaystyle{ x(R)y}\), więc wnioskujemy ,że \(\displaystyle{ x(R_{|X_S} ) y}\), a ponieważ ten ostatni porządek jest równy porządkowi \(\displaystyle{ S}\), więc \(\displaystyle{ x(S)y}\).\(\displaystyle{ \square}\) Wystarczy dowód pozbierać aby go zakończyć.
Wiemy, że suma łańcucha liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest liniowym porządkiem na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\). Jednak suma łańcucha dobrych porządków nie musi być dobrym porządkiem.
Aby to uzasadnić, to rozważmy poniższy ciąg dobrych porządków na podzbiorach \(\displaystyle{ \NN.}\)
Są to porządki liniowe na zbiorach skończonych i dobre, gdyż w każdym niepustym skończonym podzbiorze zbioru liniowo uporządkowanego jest element najmniejszy, łatwo to przez indukcję można udowodnić, a stad łatwo wynika, że będą to dobre porządki. I oczywiście tworzą łańcuch.
Wtedy \(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n\in\NN} \le_n\right) =(\ldots,3,2,1,0)}\), więc w takim zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\) nie ma (podobnie jak w \(\displaystyle{ \ZZ_{-}}\) z naturalnym porządkem ) nie ma elementu najmniejszego, a więc nie jest to dobry porządek na \(\displaystyle{ \NN.}\)
Wynika stąd również, że również suma łańcucha, względem rozszerzenia przez dodanie elementów mniejszych, suma takiego łańcucha dobrych porządków nie musi być dobrym porządkiem. Jednak udowodniłem wczoraj, że suma łańcucha- względem rozszerzenia przez dodanie elementów większych- suma takiego łańcucha dobrych porządków jest dobrym porządkiem. Przedstawię teraz dowód tego faktu.
Przypomnę może najpierw prosty fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów, a \(\displaystyle{ X}\) zbiorem (być może spoza tej rodziny, po prostu dowolnym zbiorem), to zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest rozłączny z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest rozłączny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) tej rodziny, to można łatwo udowodnić, i to nam się przyda.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) rodziną wszystkich dobrych porządków na pewnych zbiorach \(\displaystyle{ Y\subset X}\). Przyjmijmy notację, że jeśli \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\) jest dobrym porządkiem, to przez \(\displaystyle{ X_R}\) będziemy oznaczać zbiór na którym jest określony dobry porządek \(\displaystyle{ R}\).
Rozważmy relację na \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), że jeden dobry porządek jest większy od danego, gdy jest jego rozszerzeniem przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych, formalnie:
\(\displaystyle{ \left( \le_{1}\right) \sqsubseteq \left( \le_{2}\right) \Longleftrightarrow\left( \le_{2} \hbox{ rozszerza } \le_{1}\right) \wedge \Bigl ( x \in X _{ \le _{1} },y \in X _{ \le _{2} } \setminus X _{ \le _{1} } \Longrightarrow x \le _{2}y\Bigr) .}\)
Można dość łatwo wykazać , że jest to relacja porządku, co udowodniłem tutaj ( a właściwie podobny fakt dla podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) dobrze uporządkowanych- tu rozważamy same relacje dobrego porządku), a więc \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}, \sqsubseteq \right)}\) jest zbiorem uporządkowanym. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset \mathbb{B}}\) będzie dowolnym łańcuchem, pokażemy, że relacja \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest dobrym porządkiem.
Dowód:\(\displaystyle{ }\)
Uzasadnijmy najpierw, że relacja \(\displaystyle{ \le := \bigcup\mathbb{D}}\) jest porządkiem liniowym w \(\displaystyle{ \bigcup_{R\in\mathbb{D}} X_R}\), czyli w sumie zbiorów na których są określone te dobre porządki.
W tym celu stosujemy fakt o sumie liniowych porządków, o którym mowa jest również w tym linku. Rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest rodziną dobrych porządków, a więc i liniowych, więc stosujemy fakt o sumie liniowych porządków, jeśli \(\displaystyle{ S_1,S_2 \in\mathbb{D}}\), to \(\displaystyle{ S_1,S_2}\) są liniowymi porządkami, a ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), więc \(\displaystyle{ S_1\sqsubseteq S_2}\) lub \(\displaystyle{ S_2\sqsubseteq S_1}\). Ponieważ porządek \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\)- jest to rozszerzenie przez dodanie elementów większych, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ S_2}\) rozszerza \(\displaystyle{ S_1}\) lub \(\displaystyle{ S_1}\) rozszerza \(\displaystyle{ S_2. }\) Pokazaliśmy zatem, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jeden jest rozszerzeniem drugiego, a zatem ten fakt o sumie liniowych porządków daje, że \(\displaystyle{ \le := \bigcup \mathbb{D}}\) jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ \bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R}\), czyli w sumie zbiorów na których są określone te liniowe porządki.
Aby wykazać, że \(\displaystyle{ \le}\) jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ Y:=\bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R, }\) należy wykazać, że każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy. Niech zatem \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset Y}\) będzie niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ Y}\). Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy.
Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ \mathbb{D} \neq \left\{ \right\}}\), że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) musi być niepusta - w przeciwnym razie \(\displaystyle{ \bigcup_{R\in \left\{ \right\} } X_R= \bigcup \left\{ \right\} =\left\{ \right\},}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jako podzbiór zbioru pustego musiałby być pusty- sprzeczność.
Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem sumy \(\displaystyle{ \bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest niepusta ,to \(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ B:=X_R}\), i gdzie \(\displaystyle{ R\in \mathbb{D}}\)- czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) przecina pewien zbiór \(\displaystyle{ X_R}\) (gdzie \(\displaystyle{ R\in \mathbb{D}}\)). Gdyby bowiem byłoby \(\displaystyle{ A \cap X_R=\emptyset}\), dla każdego dobrego porządku \(\displaystyle{ R\in\mathbb{D} }\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) byłby rozłączny z każdym zbiorem \(\displaystyle{ X_R}\), gdzie \(\displaystyle{ R\in \mathbb{D}}\), więc również \(\displaystyle{ A}\) byłby rozłączny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R}\), więc istnieje \(\displaystyle{ a\in A\subset \bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R}\),a więc \(\displaystyle{ a\in A \cap \left( \bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R\right)}\)- sprzeczność.
Wobec czego zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie może być rozłączny z każdym zbiorem \(\displaystyle{ X_R}\), gdzie \(\displaystyle{ R \in \mathbb{D}}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest niepusta, więc otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A \cap X_R \neq \left\{ \right\}}\) , dla pewnego \(\displaystyle{ R\in \mathbb{D}}\)- zbiór \(\displaystyle{ A}\) pewien zbiór \(\displaystyle{ X_R}\) przecina, oznaczmy go jako \(\displaystyle{ B:=X_R.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ R\in \mathbb{D}\subset \mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ R}\) jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ B=X_R}\), ponieważ \(\displaystyle{ B\supset A \cap B \neq \left\{ \right\} }\), i ponieważ \(\displaystyle{ (B=X_R, R)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, więc zbiór \(\displaystyle{ A\cap B}\), jako niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ B}\), ma element najmniejszy \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A, x\in B}\). Element \(\displaystyle{ x}\) będzie najmniejszy również w całym \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}=: \le.}\) Aby to pokazać, to weźmy \(\displaystyle{ y\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x \le y}\). Rozważmy teraz dwa przypadki:
Jeśli \(\displaystyle{ y\in B}\), to \(\displaystyle{ y\in A \cap B}\), ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ A \cap B }\) względem \(\displaystyle{ R}\), więc \(\displaystyle{ x(R)y}\), więc tym bardziej (\(\displaystyle{ R\in\mathbb{D}, \le := \bigcup\mathbb{D}}\)) , więc \(\displaystyle{ x \le y.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y\not\in B}\), to ponieważ \(\displaystyle{ y\in A\subset \bigcup_{R\in \mathbb{D}} X_R}\), to \(\displaystyle{ y\in X_S}\), dla pewnego dobrego porządku \(\displaystyle{ S\in\mathbb{D}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ R,S\in\mathbb{D}}\), a zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), więc \(\displaystyle{ R\sqsubseteq S}\) lub \(\displaystyle{ S\sqsubseteq R.}\)
Druga relacja zajść nie może, gdyż, w przeciwnym razie, ponieważ jest to rozszerzenie przez dodanie elementów większych, więc otrzymalibyśmy, że porządek \(\displaystyle{ R}\) rozszerzałby porządek \(\displaystyle{ S}\) ,więc również \(\displaystyle{ X_R\supset X_S}\) ( łatwo pokazać, że porządek rozszerzający musi być określony na nadzbiorze zbioru na którym jest określony porządek dany), więc \(\displaystyle{ X_R\supset X_S \ni y}\), wiec \(\displaystyle{ y\in X_R= B}\), a \(\displaystyle{ y\not\in B}\)- sprzeczność).
Wobec czego pozostaje możliwość \(\displaystyle{ R\sqsubseteq S}\), wtedy \(\displaystyle{ S}\) jest rozszerzeniem \(\displaystyle{ R}\) przez dodanie elementów większych, więc ponieważ \(\displaystyle{ x\in B=X_R, y\not\in B=X_R, y\in X_S}\), więc z definicji \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x(S) y}\), a więc tym bardziej (\(\displaystyle{ S\in \mathbb{D}, \le := \bigcup \mathbb{D}}\)), więc otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x \le y. \square }\) (Wystarczy dowód pozbierać aby go zakończyć).
To może przydać się w dowodzie, że z Lematu Zorna wynika Twierdzenie Zermelo, może niedługo spróbuję przeprowadzić dokładnie taki dowód.
W sobotę wieczorem przeprowadziłem właśnie taki dokładny dowód, który pokazuje, że przy założeniu aksjomatu wyboru (równoważnie- przy założeniu lematu Zorna) można udowodnić twierdzenie Zermelo, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować. Przedstawię teraz pełny dowód tego faktu ( dowód będzie dość dokładny, aby każdy zainteresowany mógł mieć łatwy do niego dostęp), tylko ten dowód będzie zwinięty do kilku lematów- i dlatego mi się on podoba- nie będzie on rozwlekły tak jak na ważniaku, tylko będzie on zwinięty do kilku lematów; co prawda udowodnionych wcześniej lematów oczywiście nie będę ponownie udowadniał, ale całą resztę to ją dokładnie udowodnię. Przedstawię teraz pełny dowód tego faktu:
Lemat 1. Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), to relacja taka, że liniowy porządek jest większy od danego, gdy jest jego rozszerzeniem i to przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych, taka relacja jest relacją porządku, i jeśli weźmiemy dowolny niepusty łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset \mathbb{B}}\), to zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest liniowym porządkiem i jest to supremum tej rodziny liniowych porządków \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\), co udowdniłem TUTAJ, W PIERWSZYM POŚCIE.
Przypomnijmy, taki prosty fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem uporządkowanym, a \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest jego podzbiorem uporządkowanym przez porządek \(\displaystyle{ \le}\) zawężony do elementów podzbioru \(\displaystyle{ Y}\), i jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset Y}\), i ma on supremum \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{X} A,}\) względem porządku \(\displaystyle{ \le }\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to jeśli \(\displaystyle{ \bigvee_\limits{X} A\in Y}\), to \(\displaystyle{ \bigvee_\limits{X} A = \bigvee_\limits{Y} A;}\) czyli, o ile, to supremum, należy do podzbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ Y}\), to to supremum, jest również supremum liczonego zbioru, ale względem porządku na podzbiorze uporządkowanym- jest to prosty fakt. Podobny fakt można sformułować i udowodnić dla infimum zbiorów. \(\displaystyle{ }\)
Przypomnijmy, jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, a \(\displaystyle{ a}\) jest elementem spoza tego zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ a\not\in X}\), to zbiór \(\displaystyle{ Y:=X \cup \left\{ a\right\}}\) jest dobrze uporządkowany przez relację \(\displaystyle{ \le \cup \left( Y \times \left\{ a\right\} \right)}\), czyli przez porządek \(\displaystyle{ \le}\) z dodanym jednym elementem \(\displaystyle{ a}\) jako największym.
DOWÓD TEGO FAKTYU::
Zauważmy najpierw, że tak określona relacja jest sumą porządkową zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X\oplus \left\{ a\right\}}\). Zauważmy, że zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \left\{ a\right\}}\) są rozłączne ( bo \(\displaystyle{ a\not\in X}\)). A zatem suma porządkowa takich dwóch liniowych porządków na zbiorach rozłącznych jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ X \cup \left\{ a\right\}.}\)
Aby wykazać, że taka suma porządkowa jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ Y= X\cup \left\{ a\right\}}\) należy wykazać, że każdy niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ Y}\) ma element najmniejszy. Niech zatem \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset Y}\) będzie takim zbiorem. Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy. Rozważmy dwa przypadki:
Jeśli \(\displaystyle{ A \cap X \neq \left\{ \right\}}\) . Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ A \cap X\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, więc z definicji zbioru dobrze uporządkowanego wynika, że zbiór \(\displaystyle{ A \cap X}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ b\in A \cap X}\) względem \(\displaystyle{ \le }\). Oczywiście, ten sam element będzie elementem najmniejszym w całym zbiorze \(\displaystyle{ A}\), gdyż pozostały element \(\displaystyle{ a}\), ponieważ jest to element największy w rozpatrywanym porządku, więc oczywiście nie wpłynie on na element najmniejszy zbioru \(\displaystyle{ A.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A \cap X=\left\{ \right\}}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ Y= X \cup \left\{ a\right\}}\), to musi być \(\displaystyle{ A= \left\{ a\right\}}\), a wtedy element \(\displaystyle{ a}\), jako jedyny element \(\displaystyle{ A}\), jest jego elementem najmniejszym (i największym ).
A zatem relacja \(\displaystyle{ \le \cup \left( Y \times \left\{ a\right\}\right) }\) jest dobrym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ Y= X \cup \left\{ a\right\}. \square }\)
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zakładamy Lemat Zorna i pokazujemy twierdzenie Zermelo.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem.
Jeśli \(\displaystyle{ X=\emptyset}\), to porządek pusty \(\displaystyle{ R=\emptyset}\) jest porządkiem liniowym (gdyż własności liniowego porządku mają być spełnione dla dowolnych elementów danego zbioru, czyli w tym wypadku dla dowolnych elementów zbioru pustego, a każde zdanie postaci \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x,y\in\emptyset } \alpha \left( x,y\right)}\) jest prawdziwe). I \(\displaystyle{ R}\) jest dobrym porządkiem na zbiorze pustym, gdyż każdy niepusty podzbiór zbioru pustego (a nie ma takich, gdyż jedynym podzbiorem zbioru pustego jest on sam), a więc formalnie każdy taki podzbiór ma element najmniejszy. A więc jest to dobry porządek na zbiorze pustym i zbiór pusty da się dobrze uporządkować.
Jeśli \(\displaystyle{ X \neq \left\{ \right\}}\), jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest niepusty, to rozważmy rodzinę wszystkich dobrych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{A}= \left\{ R\subset X \times X\Bigl| \ \ R \hbox{ jest dobrym porządkiem na pewnym zbiorze } Y\subset X\right\}.}\)
Ponieważ porządek pusty jest dobrym porządkiem na zbiorze pustym, czyli na podzbiorze \(\displaystyle{ \emptyset\subset X}\), więc ten porządek pusty \(\displaystyle{ \emptyset \in \mathbb{A}}\), a więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest niepusta (dla niedowiarków- przecież \(\displaystyle{ \emptyset \not\in\emptyset}\), bo zbiór pusty nie ma żadnych elementów).
Tą rodzinę dobrych porządków uporządkujmy taką relacją \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\), taką, że dobry porządek jest większy od danego dobrego porządku, gdy jest jego rozszerzeniem i to przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych.
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ R\subset X \times X\Bigl| \ \ R \hbox{ jest porządkiem liniowym na pewnym zbiorze } Y\subset X\right\}.}\)
i uporządkujmy tą rodzinę taką relacją \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), tzn. taką relacją, że liniowy porządek jest większy od danego, gdy jest jego rozszerzeniem, i to przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych.
Na mocy Lematu 1, taka relacja jest relacją porządku, a więc para \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}, \sqsubseteq \right)}\) jest zbiorem uporządkowanym.
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset\mathbb{B}}\) (każdy dobry porządek jest porządkiem liniowym), więc również rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest zbiorem uporządkowanym przez \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\), (każdy podzbiór zbioru uporządkowanego jest zbiorem uporządkowanym ).
Do zbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A},\preccurlyeq\right) }\) stosujemy lemat Zorna.
W tym celu ustalmy dowolny niepusty łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset \mathbb{A}}\). (Ograniczeniem górnym pustego łańcucha może być dowolny element \(\displaystyle{ R\in \mathbb{A} \neq \left\{ \right\}}\) ).
Jeśli więc \(\displaystyle{ \mathbb{D} \neq \left\{ \right\}}\), to kandydatem na ograniczenie górne jest (jak zwykle) zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}.}\) Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem dobrych porządków względem rozszerzenia przez dodanie elementów większych, więc na mocy dowodu z postu powyżej zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest dobrym porządkiem na sumie zbiorów na których są określone te dobre porządki. Ponieważ takie zbiory są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), to również ich suma jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), a więc ten dobry porządek \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest określony na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}\in \mathbb{A}. }\)
Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset \mathbb{B},}\) i zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest niepustym łańcuchem, a zatem, na mocy Lematu 1 , zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest supremum rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D},}\) względem zbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}, \sqsubseteq \right)}\), ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}\in \mathbb{A}}\), a zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \preccurlyeq\right)}\) jest podzbiorem zbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), a zatem, na mocy przytoczonego faktu dla supremum zbiorów: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}= \bigvee\limits_{\left( \mathbb{A},\preccurlyeq \right) } \mathbb{D}}\), czyli suma rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest jej supremum, względem zbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A},\preccurlyeq \right)}\), a więc w szczególności jest jej ograniczeniem górnym- tego łańcucha, i z dowolności wyboru takiego łańcucha otrzymujemy, że każdy łańcuch w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \preccurlyeq\right)}\) ma ograniczenie górne.
Stosując lemat Zorna otrzymujemy element maksymalny \(\displaystyle{ R\in \mathbb{A}}\) w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \preccurlyeq \right). }\)
Ponieważ \(\displaystyle{ R\in \mathbb{A}}\), to \(\displaystyle{ R}\) jest dobrym porządkiem na pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ X_R\subset X}\), zbioru \(\displaystyle{ X.}\) Jeśli zatem \(\displaystyle{ X_R=X}\), to ten dobry porządek na zbiorze \(\displaystyle{ X_R=X,}\) świadczy o tym, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) da się dobrze uporządkować.
Pozostaje wykluczyć przypadek przeciwny. Jeśli byłoby \(\displaystyle{ X_R \neq X}\), to ponieważ \(\displaystyle{ X_R\subset X}\), więc \(\displaystyle{ X\not \subset X_R}\), a zatem, na podstawie definicji inkluzji i prawa zaprzeczania ograniczonemu kwantyfikatorowi ogólnemu: otrzymujemy pewien element \(\displaystyle{ x\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x\not\in X_R}\).
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B:= X_R \cup \left\{ x\right\}\subset X,}\) wraz z porządkiem \(\displaystyle{ R'= R \cup \left( B \times \left\{ x\right\} \right)}\)- czyli jest to porządek \(\displaystyle{ R}\) z dodanym jednym elementem \(\displaystyle{ x,}\) jako największym. Ponieważ \(\displaystyle{ R}\) jest dobrym porządkiem, więc również porządek \(\displaystyle{ R'}\), na mocy przytoczonego faktu, jest dobrym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ B\subset X}\), a zatem \(\displaystyle{ R' \in \mathbb{A}.}\)
Mamy \(\displaystyle{ R \neq R'}\),
bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ R=R'}\), to ponieważ \(\displaystyle{ R}\) jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ X_R}\), czyli w szczególności jest liniowym porządkiem, a więc \(\displaystyle{ R}\) jest relacją zwrotną na \(\displaystyle{ X_R}\), i podobnie \(\displaystyle{ R'}\) jest relacją zwrotną na \(\displaystyle{ B}\), a zatem:
i ponieważ \(\displaystyle{ B=X_R \cup \left\{ x\right\}}\), to \(\displaystyle{ X_R \cup \left\{ x\right\} = X_R}\), skąd możemy wnioskować (na podstawie zasady równości zbiorów), że: \(\displaystyle{ x\in X_R}\)- sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ R \neq R'}\), i pokażemy, że: \(\displaystyle{ R\prec R'. }\) Ponieważ porządek \(\displaystyle{ R'}\) jest nadzbiorem porządku \(\displaystyle{ R}\), więc porządek \(\displaystyle{ R'}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ R}\); i jest to rozszerzenie przez dodanie jednego elementu \(\displaystyle{ x}\) większego od wszystkich zastanych, a zatem, z definicji porządku \(\displaystyle{ \preccurlyeq,}\) otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ R \prec R'}\) (i \(\displaystyle{ R \neq R');}\) i mamy \(\displaystyle{ R' \in\mathbb{A}}\), a \(\displaystyle{ R}\) był elementem maksymalnym w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A},\preccurlyeq \right) }\), a więc nie ma w \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) elementów od niego silnie większych. Otrzymaliśmy więc sprzeczność, która kończy rozumowanie.\(\displaystyle{ \square}\)
A zatem, przy założeniu aksjomatu wyboru (równoważnie przy założeniu lematu Zorna), prawdziwe jest twierdzenie Zermelo, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować.
Łatwo jest pokazać imlikację odwrotną, tzn. z twierdzenia Zermelo wynika aksjomat wyboru:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Aby pokazać aksjomat wyboru przy pomocy twierdzenia Zermelo, to niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną zbiorów niepustych i rozłącznych.
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\). Na podstawie twierdzenia Zermelo zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) da się dobrze uporządkować; niech więc \(\displaystyle{ \le}\) będzie dobrym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\). Zbiór mający po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem \(\displaystyle{ A\in \mathbb{B}}\) otrzymamy stosując aksjomat wybierania. Tzn. definiujemy zbiór \(\displaystyle{ S}\), jako:\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ S= \left\{ z\in \bigcup\mathbb{B}: \ \ \bigvee\limits_{A\in\mathbb{B}} \left( z\in A \hbox{ i } z \hbox{ jest elementem najmniejszym zbioru } A \hbox{ względem dobrego porządku } \le \right) \right\}. }\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych, i każdy taki zbiór \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) (z własności sumy) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) (i jest niepusty) , a suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest dobrze uporządkowana przez \(\displaystyle{ \le}\), a zatem, z definicji dobrego porządku, każdy taki zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy, względem \(\displaystyle{ \le . }\)
Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\). Wykażemy, że przekrój \(\displaystyle{ A \cap S}\) jest jednoelementowy.
Wtedy \(\displaystyle{ A\subset \bigcup \mathbb{B},}\) i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych, więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty. Ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest dobrze uporządkowana przez \(\displaystyle{ \le}\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ z\in A.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\), więc \(\displaystyle{ z\in \bigcup\mathbb{B} }\), i ponieważ element \(\displaystyle{ z}\) jest najmniejszy w zbiorze \(\displaystyle{ A}\), więc stąd możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ z\in S}\), i \(\displaystyle{ z\in S \cap A.}\)
Weźmy teraz elementy \(\displaystyle{ z_1, z_2\in A \cap S}\) i pokażmy, że \(\displaystyle{ z_1=z_2.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ z_1\in A,S}\) i \(\displaystyle{ z_2\in A,S}\). Ponieważ \(\displaystyle{ z_1\in S}\), to \(\displaystyle{ z_1\in A_1}\), dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A_1\in\mathbb{B}}\), i takiego, że element \(\displaystyle{ z_1}\) jest najmniejszy w nim. Ponieważ \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) i \(\displaystyle{ A_1\in\mathbb{B}}\), i \(\displaystyle{ z_1\in A \cap A_1}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, więc z warunku rozłączności otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A=A_1.}\) Podobnie dla elementu \(\displaystyle{ z_2,}\) otrzymujemy, z definicji zbioru \(\displaystyle{ S,}\) otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ z_2\in A_2,}\) dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A_2\in \mathbb{B}}\), takiego, że element \(\displaystyle{ z_2}\) jest najmniejszy w nim; i w podobny sposób otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A_2=A}\). A zatem \(\displaystyle{ A_1=A_2,}\) i w tym zbiorze \(\displaystyle{ A}\) element \(\displaystyle{ z_1}\) jest najmniejszy, i element \(\displaystyle{ z_2}\) jest najmniejszy w zbiorze \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ, w danym zbiorze, może istnieć tylko jeden element najmniejszy, więc \(\displaystyle{ z_1=z_2.}\)
Wobec czego przekrój \(\displaystyle{ A\cap S}\) jest jednoelementowy,
i, z dowolności wyboru zbioru \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B},}\) otrzymujemy że: zbiór \(\displaystyle{ S}\) ma po dokładnie jednym elemencie wspólnym, z każdym zbiorem \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\), co oznacza prawdziwość aksjomatu wyboru.\(\displaystyle{ \square}\)
Udowodniłem wczoraj, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz mamy przeliczalną (równoliczną ze zbiorem liczb naturalnych) rodzinę \(\displaystyle{ \left( X _{n}, \le _{n} \right) _{n \in \NN}, }\) rodzinę zbiorów dobrze uporządkowanych na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X,}\) na zbiorach rozłącznych (czyli dla \(\displaystyle{ n \neq m}\) zbiory \(\displaystyle{ X _{n} }\) I \(\displaystyle{ X _{m} }\) są zawsze rozłączne), to na sumie tych zbiorów \(\displaystyle{ S:= \bigcup_{n \in \NN} X _{n} }\), wtedy odpowiednik sumy porządkowej dla przeliczalnie wielu zbiorów, tzn. relacja \(\displaystyle{ \le _{S}, }\) dana jako:
\(\displaystyle{ x \le _{S}y \Longleftrightarrow \left( x,y \in X _{n}, \hbox{ dla pewnego } n \in \NN,\hbox { i } x \le _{n} y\right) \hbox{ lub } \left( x \in X _{n}, y \in X _{m}, \hbox { gdzie } n<m \right), }\)
taka suma porządkowa jest dobrym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S.}\)
Przedstawię teraz szkic dowodu tego faktu ( tym razem podam jedynie szkic dowodu, bo ten fakt jest chyba znany, a też dlatego, że piszę teraz z tabletu, więc szkoda żebym męczył się z pisaniem żmudnych wzorów, których prawdopodobnie i tak nikt nie będzie czytał).
Najpierw objaśnie to twierdzenie:
MOJA WIZJA:
Ponieważ dowolny zbiór dobrze uporządkowany (nawet nieprzeliczalny ), dobry porządek na tym zbiorze polega na wymienieniu po jednym elemencie zbioru, poczynając od najmniejszego, rosnąco wymieniamy po jednym elemencie zbioru aż wymienimy wszystkie, to popatrzmy na taki zbiór dobrze uporządkowany ( mocno upraszczając, formalnie rzecz biorąc, nasze twierdzenie ) jako na skończony zbiór liniowo uporządkowany (skończony zbiór liniowo uporządkowany jest dobrze uporządkowany ). I jak ułożymy na osi liczb naturalnych takie zbiory skończone, jeden za drugim, ułożymy przeliczalnie wiele takich zbiorów, to otrzymamy zbiór typu zbioru liczb naturalnych- zbiór, niewątpliwie, dobrze uporządkowany.
Oto:
SZKIC DOWODU TEGO FAKTU:
Ponieważ dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X _{n}, \le _{n} \right) }\) jest dobrze uporządkowany (a więc I liniowo ), to suma porządkową \(\displaystyle{ \le _{S} }\) jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ S= \bigcup_{n \in \NN} X _{n}, }\) na mocy Lematu, który udowodniłem TUTAJ, W PRZEDOSTATNIM MOIM POŚCIE.
Najpierw przesuńmy indeksy liczb naturalnych o \(\displaystyle{ 1}\), tzn. dla \(\displaystyle{ n \in \NN _{+}, }\) niech:
\(\displaystyle{ A _{n}=X _{n-1}. }\)
I niech dalej:
\(\displaystyle{ B _{n}= A _{1} \cup A _{2} \cup \ldots \cup A _{n}. }\)
który to zbiór porządkujemy sumą porządkową \(\displaystyle{ \left( \le _{1}\oplus \le _{2}\oplus \ldots \oplus \le _{n}\right) . }\)
Ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A _{1}, A _{2}, \ldots, A _{n} }\) są dobrze uporządkowane, to ten zbiór \(\displaystyle{ B _{n} }\) jest dobrze uporządkowany przez tą sumę porządkową (łatwo jest pokazać, że jak mamy skończoną ilość zbiorów dobrze uporządkowanych, to na sumie tych zbiorów odpowiednia suma porządkową jest dobrym porządkiem, można to łatwo indukcyjnie udowodnić ), a zatem zbiór \(\displaystyle{ B _{n} }\) jest dobrze uporządkowany przez tą sumę porządkową, oznaczmy ten porządek jako \(\displaystyle{ \le _{n} ^{B}. }\)
Wykazujemy, że rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ B _{n} \right\} _{n \in \NN _{+} } }\) tworzy łańcuch, względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\)- czyli względem rozszerzenia przez dodanie elementów większych (w tym celu wykazujemy najpierw Lemat mówiący, że jak mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane, na zbiorach rozłącznych, to suma tych dwóch zbiorów ze sumą porządkową, rozszerza, przez dodanie elementów większych, rozszerza pierwszy składnik tej sumy; a następnie wykazujemy, że dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ n,m,}\) takich, że \(\displaystyle{ n<m,}\) mamy: \(\displaystyle{ \left( B _{n}, \le _{n} ^{B} \right) \sqsubseteq \left( B _{m}, \le _{m} ^{B} \right) }\) -wykazujemy to indukcyjnie, korzystając z przechodniości porządku \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\)); i stąd łatwo wynika, że rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ B _{n} \right\} _{n \in \NN _{+} }, }\) tworzy łańcuch, względem tego rozszerzenia \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\).
Ponieważ jest to łańcuch dobrych porządków, względem tego rozszerzenia przez dodanie elementów większych, więc, na mocy powyższych postów, para zbiorów \(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n \in \NN _{+} } B _{n}, \bigcup_{n \in \NN _{+} } \le _{n} ^{B} \right), }\) tworzy zbiór dobrze uporządkowany.
Ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le _{S} ^{*} }\) jest dobrym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\), więc również porządek \(\displaystyle{ \le _{S}, }\) jako ten sam porządek, jest dobrym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S.\square}\)
(Wystarczy dowód pozbierać aby go zakończyć).
).