Obraz i przeciwobraz

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
kondzio33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 sty 2021, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Obraz i przeciwobraz

Post autor: kondzio33 »

Niech funkcja \(\displaystyle{ f : \NN^2\to \NN }\) będzie określona wzorem \(\displaystyle{ f((n, k)) = \max\left\{ n,k\right\} }\).
Znajdź \(\displaystyle{ f ^{-1} (\left\{ k\right\} )}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\) i \(\displaystyle{ f((2 \NN) \times \NN)}\)
Czy moglby ktos wyznaczyc przeciwobraz \(\displaystyle{ f ^{-1} }\) I obraz \(\displaystyle{ f((2 \NN) \times \NN)}\)?

Czy moglby tez ktos sprawdzic czy dobrze zapisalem czy funkcja jest surjekcja lub injekcja wedlug mnie:
nie jest injekcja
jest surjekca.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2021, o 22:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http:// matematyka.pl/178502.htm .
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Obraz i przeciwobraz

Post autor: Jan Kraszewski »

kondzio33 pisze: 16 sty 2021, o 21:47 Niech funkcja \(\displaystyle{ f : \NN^2\to \NN }\) będzie określona wzorem \(\displaystyle{ f((n, k)) = \max\left\{ n,k\right\} }\).
Znajdź \(\displaystyle{ f ^{-1} (\left\{ k\right\} )}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\) i \(\displaystyle{ f((2 \NN) \times \NN)}\)
Czy moglby ktos wyznaczyc przeciwobraz \(\displaystyle{ f ^{-1} }\) I obraz \(\displaystyle{ f((2 \NN) \times \NN)}\)?
A jaki masz problem? Stosujesz definicję i wychodzi.
kondzio33 pisze: 16 sty 2021, o 21:47 Czy moglby tez ktos sprawdzic czy dobrze zapisalem czy funkcja jest surjekcja lub injekcja wedlug mnie:
nie jest injekcja
jest surjekca.
Odpowiedzi są poprawne, ale to tylko odpowiedzi bez uzasadnienia.

JK
kondzio33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 sty 2021, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Obraz i przeciwobraz

Post autor: kondzio33 »

Dla przeciwobrazu wyszło mi \(\displaystyle{ k \ge n}\)
A dla tego obrazu nie mam pojęcia, czy mogłby Pan podać mi rozwiązanie tego obrazu? Nie wykorzystam odp by wpisac i zapomniec ale na jej podstawie bede staral sie zrozumiec inne rzeczy.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2021, o 22:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Obraz i przeciwobraz

Post autor: Jan Kraszewski »

kondzio33 pisze: 16 sty 2021, o 22:10 Dla przeciwobrazu wyszło mi \(\displaystyle{ k \ge n}\)
Ale co to miałoby znaczyć? Przeciwobraz to zbiór, a ja tu nie widzę żadnego zbioru.
kondzio33 pisze: 16 sty 2021, o 22:10A dla tego obrazu nie mam pojęcia, czy mogłby Pan podać mi rozwiązanie tego obrazu?
Nie. Mogę Ci pomóc dojść do rozwiązania. Zacznij od napisania definicji obrazu zbioru.

JK
kondzio33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 sty 2021, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Obraz i przeciwobraz

Post autor: kondzio33 »

\(\displaystyle{ f((2\NN) \times \NN) = \{f(n,k) ; (n,k) \in ( 2\NN \times \NN ) }\) czyli odp to bd po prostu zbiór \(\displaystyle{ ( 2\NN \times \NN ) ?}\)
A w przeciwobrazie to będzie zbiór w którym \(\displaystyle{ k}\) jest wieksze rowne od \(\displaystyle{ n}\)? Jesli tak to nie mam pomyslu jak to zapisac.
Ostatnio zmieniony 17 sty 2021, o 11:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http:// matematyka.pl/178502.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Obraz i przeciwobraz

Post autor: a4karo »

kondzio33 pisze: 17 sty 2021, o 09:01
    Jan Kraszewski pisze: 16 sty 2021, o 22:27 \(\displaystyle{ f((2N) × N) = }\) {\(\displaystyle{ f(n,k) ; (n,k) ∈ ( 2N × N ) }\) czyli odp to bd po prostu zbiór \(\displaystyle{ ( 2N × N ) ?}\)
    (...)
    Czyżby JK był w stanie napisać taką bzdurę, czy ktoś próbuje manipulować?

    Swoją drogą, skróty, których używasz "odp to bd" wyglądają mało poważnie.
    Jan Kraszewski
    Administrator
    Administrator
    Posty: 34123
    Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
    Płeć: Mężczyzna
    Lokalizacja: Wrocław
    Podziękował: 3 razy
    Pomógł: 5192 razy

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: Jan Kraszewski »

    a4karo pisze: 17 sty 2021, o 11:11Czyżby JK był w stanie napisać taką bzdurę, czy ktoś próbuje manipulować?
    Czyżby a4karo wszędzie widział spiski? :P
    To po prostu nowy user, który nie umie poprawnie użyć opcji "Cytuj", nie umie też użyć opcji "Odpowiedz" (bo tak naprawdę odpowiada, a nie cytuje), z \(\displaystyle{ \LaTeX}\)em też ma pewne problemy. Pewnie w końcu zrozumie, jak to działa...
    kondzio33 pisze: 17 sty 2021, o 09:01 \(\displaystyle{ f((2\NN) \times \NN) = \{f(n,k) ; (n,k) \in ( 2\NN \times \NN ) }\)
    OK, definicję masz dobrą, ale...
    kondzio33 pisze: 17 sty 2021, o 09:01 czyli odp to bd po prostu zbiór \(\displaystyle{ ( 2\NN \times \NN ) ?}\)
    ...zupełnie jej nie rozumiesz, bo (zgadnięta?) odpowiedź nie ma sensu. Matematyka to nie zgaduj-zgadula. Masz definicję, więc po pierwsze ją zrozum (w szczególności zrozum, jakiego zbioru podzbiorem jest Twój obraz \(\displaystyle{ f((2\NN) \times \NN)}\) i dlaczego proponowana odpowiedź \(\displaystyle{ 2\NN \times \NN}\) w związku z tym nie ma sensu), potem nie zgaduj, tylko wykorzystaj tę definicję - użyj znanego wzoru funkcji \(\displaystyle{ f}\), skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego. Na końcu zaś zrozum, co z tego wyszło i podaj odpowiedź.
    kondzio33 pisze: 17 sty 2021, o 09:01A w przeciwobrazie to będzie zbiór w którym \(\displaystyle{ k}\) jest wieksze rowne od \(\displaystyle{ n}\)? Jesli tak to nie mam pomyslu jak to zapisac.
    Przeciwobraz też ma swoją definicję, więc należy ją wykorzystać, bo stwierdzenie "zbiór w którym \(\displaystyle{ k}\) jest wieksze rowne od \(\displaystyle{ n}\)" dokładnie nic nie oznacza.

    JK
    kondzio33
    Użytkownik
    Użytkownik
    Posty: 9
    Rejestracja: 16 sty 2021, o 18:35
    Płeć: Mężczyzna
    wiek: 22

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: kondzio33 »

    Jan Kraszewski pisze: 17 sty 2021, o 11:40...zupełnie jej nie rozumiesz, bo (zgadnięta?) odpowiedź nie ma sensu. Matematyka to nie zgaduj-zgadula. Masz definicję, więc po pierwsze ją zrozum (w szczególności zrozum, jakiego zbioru podzbiorem jest Twój obraz \(\displaystyle{ f((2\NN) \times \NN)}\) i dlaczego proponowana odpowiedź \(\displaystyle{ 2\NN \times \NN}\) w związku z tym nie ma sensu), potem nie zgaduj, tylko wykorzystaj tę definicję - użyj znanego wzoru funkcji \(\displaystyle{ f}\), skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego. Na końcu zaś zrozum, co z tego wyszło i podaj odpowiedź.
    Jestem osobą która uczy sie definicji na przykładach, zebym zrozumiał tę potrzebuje wyniku a wtedy wydedukuje jak do tego doszło i będę wiedział jak robić inne przykłady, robie te zadania dla siebie, dodatkowo nie na żadną uczelnie i jeśli nie chce Pan powiedzieć mi jaka będzie odpowiedź i najlepiej ją uzasadnić to niestety.. Inaczej nie zrozumiem, nikt mi tego nie tlumaczyl jestem samoukiem.
    Ostatnio zmieniony 17 sty 2021, o 20:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
    Powód: Poprawa wiadomości.
    Jan Kraszewski
    Administrator
    Administrator
    Posty: 34123
    Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
    Płeć: Mężczyzna
    Lokalizacja: Wrocław
    Podziękował: 3 razy
    Pomógł: 5192 razy

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: Jan Kraszewski »

    Zacznij od opanowania podstaw obsługi forum, bo na razie muszę edytować każdy Twój post - swoją wypowiedź wysyłasz jako cytat mojej wypowiedzi (co zbulwersowało a4karo...), teraz cytat mojej wypowiedzi wysyłasz jako cytat swojej wypowiedzi...

    Jeżeli masz funkcję \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) oraz podzbiór dziedziny \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), to obrazem zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) nazywamy podzbiór przeciwdziedziny \(\displaystyle{ f(A) \subseteq Y}\), zdefiniowany jako

    \(\displaystyle{ f(A)=\{f(x):x\in A\}}\)

    (lub równoważnie \(\displaystyle{ f(A)=\{y\in Y:(\exists x\in A)y=f(x)\}}\), ale do rachunków wygodniejsza jest ta pierwsza definicja).

    Wobec tego jeśli masz funkcję \(\displaystyle{ f:\NN^2\to\NN}\) określoną wzorem \(\displaystyle{ f((n,k))=\max\{n,k\}}\), to \(\displaystyle{ f((2 \NN) \times \NN)}\) jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) i dlatego Twoja odpowiedź nie ma sensu.

    A zastosowanie definicji nie polega tylko na jej zapisaniu, ale też na odczytaniu. Skoro \(\displaystyle{ f((2\NN) \times \NN) = \{f(n,k) : (n,k) \in ( 2\NN \times \NN ) \}}\), to mamy

    \(\displaystyle{ f((2\NN) \times \NN) = \{f(n,k) : (n,k) \in ( 2\NN \times \NN ) \}=\blue{\{\max\{n,k\}:n\in 2\NN\land k\in\NN\}}=...}\)

    Teraz pozostaje Ci zrozumieć niebieską część i w miejsce kropek wpisać odpowiedź.

    JK
    kondzio33
    Użytkownik
    Użytkownik
    Posty: 9
    Rejestracja: 16 sty 2021, o 18:35
    Płeć: Mężczyzna
    wiek: 22

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: kondzio33 »

    Czyli odpowiedzią będzie zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN }\) ?
    Ostatnio zmieniony 17 sty 2021, o 21:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
    Powód: Po co cytujesz cały post, który masz tuż wyżej?
    Jan Kraszewski
    Administrator
    Administrator
    Posty: 34123
    Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
    Płeć: Mężczyzna
    Lokalizacja: Wrocław
    Podziękował: 3 razy
    Pomógł: 5192 razy

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: Jan Kraszewski »

    Tak.

    Teraz zapisz z definicji przeciwobraz \(\displaystyle{ f ^{-1} (\left\{ k\right\} )}\) i postępuj podobnie.

    JK
    a4karo
    Użytkownik
    Użytkownik
    Posty: 22173
    Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
    Płeć: Mężczyzna
    Lokalizacja: Bydgoszcz
    Podziękował: 38 razy
    Pomógł: 3748 razy

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: a4karo »

    kondzio33 pisze: 17 sty 2021, o 21:30 Czyli odpowiedzią będzie zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN }\) ?
    To zależy. Przy umowie, że `0\in \NN` - tak. A przy założeniu, że zero nie jest liczbą naturalna odpowiedź będzie inna.
    kondzio33
    Użytkownik
    Użytkownik
    Posty: 9
    Rejestracja: 16 sty 2021, o 18:35
    Płeć: Mężczyzna
    wiek: 22

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: kondzio33 »

    a4karo pisze: 17 sty 2021, o 21:42 To zależy. Przy umowie, że `0\in \NN` - tak. A przy założeniu, że zero nie jest liczbą naturalna odpowiedź będzie inna.
    Zakładam, że \(\displaystyle{ 0 \in \NN }\)
    Jan Kraszewski
    Administrator
    Administrator
    Posty: 34123
    Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
    Płeć: Mężczyzna
    Lokalizacja: Wrocław
    Podziękował: 3 razy
    Pomógł: 5192 razy

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: Jan Kraszewski »

    a4karo pisze: 17 sty 2021, o 21:42To zależy. Przy umowie, że `0\in \NN` - tak. A przy założeniu, że zero nie jest liczbą naturalna odpowiedź będzie inna.
    Słusznie.

    Dla mnie tak bardzo zero jest naturalne, że zapomniałem o to zapytać...

    JK
    kondzio33
    Użytkownik
    Użytkownik
    Posty: 9
    Rejestracja: 16 sty 2021, o 18:35
    Płeć: Mężczyzna
    wiek: 22

    Re: Obraz i przeciwobraz

    Post autor: kondzio33 »

    Jan Kraszewski pisze: 17 sty 2021, o 21:34 Teraz zapisz z definicji przeciwobraz \(\displaystyle{ f ^{-1} (\left\{ k\right\} )}\) i postępuj podobnie.
    Z def to \(\displaystyle{ f^{-1}\left( n,k\right) \Leftrightarrow \left\{ \left( n,k\right) \in \NN^{2} : max\left( n,k\right) \in \left\{ k\right\} \right\}}\)
    Mam pomysł lecz nie wiem jak to zapisać, chodzi mi o to, że argument na pierwszej pozycji jest mniejszy niz ten na drugiej np. \(\displaystyle{ \left( 0 \times
    \NN\right)}\)
    itp, lecz moj pomysł nie sprawdza się, bo np dla n=3, k=4 tez jest ok, a tego nie uwzglednilem. Jeśli dobrze myślę ma Pan jakiś pomysł jak to zapisac (pytanie retoryczne :mrgreen: )
    ODPOWIEDZ