Relacje na płaszczyźnie

[agataaag]

Określmy na \(\displaystyle{ \RR^2}\) następującą relację \(\displaystyle{ \preceq}\):
\(\displaystyle{ ( x_{1} , y_{1} )\preceq( x_{2} , y_{2} ) \Leftrightarrow (( x_{1} < x_{2} ) \vee (( x_{1} = x_{2} ) \wedge ( y_{1} ≤ y_{2} )))}\)
a) Sprawdzić,że jest to częściowy porządek.
ZWROTNA - TAK, bo:
\(\displaystyle{ ( x_{1}, y_{1}) \preceq( x_{2}, y_{2}) \Leftrightarrow ((( x_{1} < x_{2}) \vee ( x_{1} = x_{2})) \wedge (( x_{1} < y_{1}) \vee ( y_{1} \le y_{2})) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow (( x_{1} \le x_{2}) \wedge (( x_{1} < x_{2}) \vee (( y_{1} \le y_{2})) \Leftrightarrow ( x_{1} < x_{2}) \vee (( x_{1} \le x_{2}) \wedge ( y_{1} \le y_{2}))}\)

PRZECHODNIA - TAK, bo:
\(\displaystyle{ ((a,b)\preceq(c,d) \wedge (c,d)\preceq(e,f)) \Leftrightarrow ((a<b) \vee ((a \le b) \wedge (c \le d)) \wedge ((c<d) \vee (c \le d) \wedge (e \le f) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow ((a<c) \vee ((a \le c) \wedge (b \le d)) \wedge ((c<e) \vee (c \le e) \wedge ( \le f) \Rightarrow (a<e) \vee ((a \le e) \wedge (b \le f) \Leftrightarrow (a,b)\preceq(e,f)
}\)

SŁABO ANTYSYMETRYCZNA - TAK, bo:
\(\displaystyle{
(( x_{1}, y_{1}) \preceq( x_{2}, y_{2})) \wedge ( x_{2}, y_{2}) \preceq( x_{1}, y_{1}) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow (( x_{1} < x_{2}) \vee (( x_{1} \le x_{2}) \wedge ( y_{1} \le y_{2}) \wedge ( x_{2} < x_{1}) \vee (( x_{2} \le x_{1}) \wedge ( y_{2} \le y_{1}))) \Rightarrow x_{1} =x_{2} \wedge y_{1}=y_{2} \Leftrightarrow (x_{1}, y_{1})=(x_{2},y_{2})
}\)


b)Narysować na płaszczyźnie kartezjańskiej zbiór punktów porównywalnych z \(\displaystyle{ (1,2)}\).
Nie wiem czy dobrze myślę, ale czy zbiorem punktów porównywalnych z \(\displaystyle{ (1,2)}\) będzie cały układ? bo musimy sprawdzić dwa przypadki, czyli \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\), czyli wszystkie \(\displaystyle{ x}\) na "lewo" są mniejsze, a na "prawo" większe. Oraz przypadek że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) i \(\displaystyle{ y_{1} \le y_{2}}\) czyli punkty na prostej \(\displaystyle{ x=1}\), powyżej punktu \(\displaystyle{ (1,2)}\) są większe, poniżej mniejsze. Czyli jeśli prosta \(\displaystyle{ y=2}\) to wszystko co powyżej niej jest większe a poniżej mniejsze. Dobrze myślę?

c)Podać przykład zbioru, który ma element największy.
to będzie np. zbiór \(\displaystyle{ \{(1,2),(2,3),(3,4)\}}\) (?)


d) Podać przykład zbioru, który ma jeden element maksymalny, ale nie ma elementu największego.
Niech \(\displaystyle{ A=\{(0,y): y\in\RR\} \cup (1,1)}\)
czyli wtedy punkt \(\displaystyle{ (1,1)}\) jest elementem maksymalnym, ale nie jest największym.

e) Niech \(\displaystyle{ K=\{(x, y)∈ \RR^{2} : x^{2}+ y^{2} ≤1\}.}\) Wyznaczyć elementy minimalne zbioru \(\displaystyle{ K}\). Czy zbiór ten ma element najmniejszy?
Czyli w tym wypadku mamy koło i elementy minimalne będą na krawędzi w trzeciej ćwiartce układu? I nie ma elementu najmniejszego. Zgadza się?

(*)W poleceniu była uwaga, że nie wszystkie punkty mają możliwość rozwiązania. I tutaj pytanie, których i dlaczego nie możemy rozwiązać?
Prosiłabym o sprawdzenie i ewentualną wskazówkę które podpunkty są źle rozwiązane.

[Jan Kraszewski]

ZWROTNA - TAK, bo:
\(\displaystyle{ ( x_{1}, y_{1}) \preceq( x_{2}, y_{2}) \Leftrightarrow ((( x_{1} < x_{2}) \vee ( x_{1} = x_{2})) \wedge (( x_{1} < y_{1}) \vee ( y_{1} \le y_{2})) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow (( x_{1} \le x_{2}) \wedge (( x_{1} < x_{2}) \vee (( y_{1} \le y_{2})) \Leftrightarrow ( x_{1} < x_{2}) \vee (( x_{1} \le x_{2}) \wedge ( y_{1} \le y_{2}))}\)

Ale co to ma być? Napisałaś dużo znaczków bez śladu komentarza. Niby dlaczego z tych znaczków miałoby wynikać, że ta relacja jest zwrotna?

PRZECHODNIA - TAK, bo:
\(\displaystyle{ ((a,b)\preceq(c,d) \wedge (c,d)\preceq(e,f)) \Leftrightarrow ((a<b) \vee ((a \le b) \wedge (c \le d)) \wedge ((c<d) \vee (c \le d) \wedge (e \le f) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow ((a<c) \vee ((a \le c) \wedge (b \le d)) \wedge ((c<e) \vee (c \le e) \wedge ( \le f) \Rightarrow (a<e) \vee ((a \le e) \wedge (b \le f) \Leftrightarrow (a,b)\preceq(e,f)}\)

Znów to samo - dużo znaczków, śladu komentarza. Nie bardzo wiadomo, co robisz, bo definicję porządku stosujesz niepoprawnie. Potem wykonujesz jakieś przekształcenia - nie wiadomo, na jakiej podstawie itd.

SŁABO ANTYSYMETRYCZNA - TAK, bo:
\(\displaystyle{
(( x_{1}, y_{1}) \preceq( x_{2}, y_{2})) \wedge ( x_{2}, y_{2}) \preceq( x_{1}, y_{1}) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow (( x_{1} < x_{2}) \vee (( x_{1} \le x_{2}) \wedge ( y_{1} \le y_{2}) \wedge ( x_{2} < x_{1}) \vee (( x_{2} \le x_{1}) \wedge ( y_{2} \le y_{1}))) \Rightarrow x_{1} =x_{2} \wedge y_{1}=y_{2} \Leftrightarrow (x_{1}, y_{1})=(x_{2},y_{2})}\)

Jak wyżej.

b)Narysować na płaszczyźnie kartezjańskiej zbiór punktów porównywalnych z \(\displaystyle{ (1,2)}\).
Nie wiem czy dobrze myślę, ale czy zbiorem punktów porównywalnych z \(\displaystyle{ (1,2)}\) będzie cały układ? bo musimy sprawdzić dwa przypadki, czyli \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\), czyli wszystkie \(\displaystyle{ x}\) na "lewo" są mniejsze, a na "prawo" większe. Oraz przypadek że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) i \(\displaystyle{ y_{1} \le y_{2}}\) czyli punkty na prostej \(\displaystyle{ x=1}\), powyżej punktu \(\displaystyle{ (1,2)}\) są większe, poniżej mniejsze. Czyli jeśli prosta \(\displaystyle{ y=2}\) to wszystko co powyżej niej jest większe a poniżej mniejsze. Dobrze myślę?

Nie "cały układ", tylko "cała płaszczyzna", ale tak - Twoje obserwacje i odpowiedź są poprawne. Szkoda tylko, że nie zrozumiałaś, co one znaczą.

c) Podać przykład zbioru, który ma element największy.
to będzie np. zbiór \(\displaystyle{ \{(1,2),(2,3),(3,4)\}}\) (?)

Przykład jest dobry, ale nie wiem, czy to nie szczęśliwy przypadek (to uwaga w kontekście kolejnych podpunktów).

d) Podać przykład zbioru, który ma jeden element maksymalny, ale nie ma elementu największego.
Niech \(\displaystyle{ A=\{(0,y): y\in\RR\} \cup (1,1)}\)
czyli wtedy punkt \(\displaystyle{ (1,1)}\) jest elementem maksymalnym, ale nie jest największym.

Podwójnie źle. Po pierwsze, zapis \(\displaystyle{ A=\{(0,y): y\in\RR\} \cup (1,1)}\) jest niepoprawny, bo nie możesz sumować zbioru z parą uporządkowaną - powinno być \(\displaystyle{ A=\{(0,y): y\in\RR\} \cup \red{\{}(1,1)\red{\}}.}\) Po drugie, ważniejsze, to zły przykład, który wskazuje na to, że nie zrozumiałaś, w jaki sposób ten porządek porządkuje płaszczyznę.

Jest to dobrze znany porządek leksykograficzny, który jest porządkiem liniowym (co można było zauważyć przy rozwiązywaniu podpunktu b)...). Wobec tego w tym porządku pojęcia elementu największego i elementu maksymalnego są tożsame (element jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest największy), czyli ten podpunkt nie ma rozwiązania.

e) Niech \(\displaystyle{ K=\{(x, y)∈ \RR^{2} : x^{2}+ y^{2} ≤1\}.}\) Wyznaczyć elementy minimalne zbioru \(\displaystyle{ K}\). Czy zbiór ten ma element najmniejszy?
Czyli w tym wypadku mamy koło i elementy minimalne będą na krawędzi w trzeciej ćwiartce układu? I nie ma elementu najmniejszego. Zgadza się?

Tak samo źle, z tego samego powodu, co powyżej. Ten zbiór ma element najmniejszy - zastanów się jaki.

JK

[agataaag]

Dziękuję za odpowiedź.
Mam pytanie odnośnie podpunktu D, bo na zajęciach robiliśmy podobny przykład, tylko z inną relacją tzn.
\(\displaystyle{ (x_1,y_1)\preceq(x_2,y_2) \Leftrightarrow (x_1\le x_2)\land(y_1\le y_2)}\)
I wtedy jako przykład, wykładowca zaproponował takie rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ A =\{(x,0) : x\in\RR\}\cup\{(1,1)\}}\) (minimalny-nie ma nic większego niż on (ale mogą być nieporównywalne z nim), największy - większy od wszystkiego innego, czyli \(\displaystyle{ (1,1)}\) jest w \(\displaystyle{ A}\) elementem maksymalnym, ale nie jest największym, w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementów minimalnych ani najmniejszych)
Dlatego w D zasugerowałam się tym, tylko zmieniłam współrzędne.
I w podpunkcie E, robiliśmy tak samo, wyszło nam koło i elementami minimalnymi były punkty znajdujące się na jego krawędzi w 3 ćwiartce i teraz nie za bardzo rozumiem, co w tym przypadku powinno wyjść
Czy mogłabym prosić o wyjaśnienie tych podpunktów? Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Dlatego w D zasugerowałam się tym, tylko zmieniłam współrzędne.

To nie Hogwart, tylko matematyka... Masz zupełnie inny porządek, a Ty zasugerowałaś się tamtym rozwiązaniem? Myślisz, że jak troszkę zmienisz zaklęcie ("tylko zmieniłam współrzędne"), to dostaniesz poprawne rozwiązanie? To tak nie działa - musisz zrozumieć porządek w zadaniu, bo to, że polecenia są takie same nie sprawia, że są to podobne zadania.

I w podpunkcie E, robiliśmy tak samo, wyszło nam koło i elementami minimalnymi były punkty znajdujące się na jego krawędzi w 3 ćwiartce i teraz nie za bardzo rozumiem, co w tym przypadku powinno wyjść

Jak wyżej.

Czy mogłabym prosić o wyjaśnienie tych podpunktów?

W podpunkcie d) wszystko Ci wyjaśniłem - czego nie rozumiesz?
W podpunkcie e) musisz zrozumieć, jak ten porządek porządkuje płaszczyznę - w tym celu cofnij się do podpunktu b). I zapomnij o "poprzednim zadaniu" - nie ma nic gorszego niż próba rozwiązania zadania poprzez naśladowanie bez zrozumienia innego rozwiązania, a to "poprzednie zadanie" nie ma z rozważanym żadnego związku.

JK

[agataaag]

Dlatego w D zasugerowałam się tym, tylko zmieniłam współrzędne.

To nie Hogwart, tylko matematyka... Masz zupełnie inny porządek, a Ty zasugerowałaś się tamtym rozwiązaniem? Myślisz, że jak troszkę zmienisz zaklęcie ("tylko zmieniłam współrzędne"), to dostaniesz poprawne rozwiązanie? To tak nie działa - musisz zrozumieć porządek w zadaniu, bo to, że polecenia są takie same nie sprawia, że są to podobne zadania.

Czy chodzi o to, że moja relacja da się porównać z każdym punktem na całej płaszczyźnie i dlatego nie będzie elementu maksymalnego (największego) w podpunkcie D?

Dodano po 27 minutach 11 sekundach:

e) Niech \(\displaystyle{ K=\{(x, y)∈ \RR^{2} : x^{2}+ y^{2} ≤1\}.}\) Wyznaczyć elementy minimalne zbioru \(\displaystyle{ K}\). Czy zbiór ten ma element najmniejszy?
Czyli w tym wypadku mamy koło i elementy minimalne będą na krawędzi w trzeciej ćwiartce układu? I nie ma elementu najmniejszego. Zgadza się?

Tak samo źle, z tego samego powodu, co powyżej. Ten zbiór ma element najmniejszy - zastanów się jaki.

JK

Czy w podpunkcie E elementem najmniejszym będzie punkt \(\displaystyle{ (-1,0)}\)? Bo spełniony jest wtedy warunek, że \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\)

[Jan Kraszewski]

Czy chodzi o to, że moja relacja da się porównać z każdym punktem na całej płaszczyźnie

To zdanie nie ma sensu (relacja to podzbiór \(\displaystyle{ \RR^2 \times \RR^2}\), punkt to element \(\displaystyle{ \RR^2}\) - co chcesz tu porównywać?), musisz popracować nad poprawnym wyrażaniem swoich spostrzeżeń. Chodziło Ci o to, że dowolne dwa punkty na płaszczyźnie są porównywalne względem tego porządku?

i dlatego nie będzie elementu maksymalnego (największego) w podpunkcie D?

Ale co to pytanie ma wspólnego z podpunktem D? Przecież tam jest inne polecenie.

Przeczytaj jeszcze raz i postaraj się zrozumieć:

Jest to dobrze znany porządek leksykograficzny, który jest porządkiem liniowym (co można było zauważyć przy rozwiązywaniu podpunktu b)...). Wobec tego w tym porządku pojęcia elementu największego i elementu maksymalnego są tożsame (element jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest największy), czyli ten podpunkt nie ma rozwiązania.

Czy w podpunkcie E elementem najmniejszym będzie punkt \(\displaystyle{ (-1,0)}\)?

Tak.

Bo spełniony jest wtedy warunek, że \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\)

JK