Zbiory równoliczne

[dosmiko]

Cześć,
czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć albo w inny sposób pomóc w zadaniach z dowodami na równoliczność zbiorów?
Treść zadania: Określając odpowiednią bijekcję, udowodnić, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równoliczne.
a) \(\displaystyle{ A = \NN, B = \NN \cup \left\{ -1 \right\} }\)
b) \(\displaystyle{ A = (0, 1), B = (a, b), a < b }\)
c) \(\displaystyle{ A = \left\{ (x, y) \in \RR^{2} : x^{2} + y^{2} = 1 \right\} }\)
\(\displaystyle{ B = \left\{ (x, y) \in \RR^{2} : x^{2} + y^{2} = 4 \right\} }\)
d) \(\displaystyle{ A = \left\{ f \in \NN^{\NN}: \forall n \in \NN (f(n) \le f(n+1)) \right\} }\)
\(\displaystyle{ B = \left\{ f \in \NN^{\NN}: \forall n \in \NN (f(n) < f(n+1)) \right\} }\)

Zrobiłem przykład a) w ten sposób, że rozpisałem sobie początkowe elementy zbiorów
\(\displaystyle{ A:\ 0\ 1\ 2\ 3\ 4...\\
B:\ -1\ 0\ 1\ 2\ 3\ 4...}\)
I wyznaczyłem funkcję \(\displaystyle{ f(n) = n-1, n \in \NN }\)
Nie wiem jednak co zrobić z kolejnymi przykładami. Nie wiem jak znaleźć tą bijekcję. Jest na to jakiś sposób, czy robi się to czysto intuicyjnie?
Co oznacza \(\displaystyle{ \NN^{\NN}}\). To zbiór elementów postaci \(\displaystyle{ \left\{( n_{a_1}, n_{a_2}, n_{a_3}, ..., n_{a_n}), ( n_{b_1}, n_{b_2}, n_{b_3}, ..., n_{b_n}), (...)\right\}}\) ?
Z góry dziękuję za pomoc.

[a4karo]

a) ok
b, c narysuj sobie te zbiory, to bijekcje zobaczysz od razu. .
`\NN^{\NN} ` to zbiór ciągów o wyrazach innych lub, jeżeli wolisz, zbiór funkcji określonych na zbiorze liczb naturalnych, przyjmujących wartości w liczbach naturalnych.

[dosmiko]

Czy w b) będzie to \(\displaystyle{ f(x, y) = (x, x+1)}\)? Szczerze. Nie wiem. Wydaję się to być proste, ale po prostu tego nie rozumiem. W d) narysowałem sobie te wykresy. No i mam dwa okręgi. jeden o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), a drugi o promieniu \(\displaystyle{ 2}\), ale nic z tego nie mogę dalej wywnioskować :/

[a4karo]

C) to poprowadź promienie ze środka.
B) napisz funkcje linowa, która w zerze ma wartość `a` a w jedynce `b`.

[Jan Kraszewski]

Czy w b) będzie to \(\displaystyle{ f(x, y) = (x, x+1)}\)? Szczerze. Nie wiem. Wydaję się to być proste, ale po prostu tego nie rozumiem.

Zanim zaczniesz pisać wzory bijekcji, powinieneś najpierw zrozumieć, jakiej funkcji szukasz, a nie losowo wypisywać wzory. Bo jeżeli funkcja z przedziału w przedział ma być funkcją dwóch zmiennych...

W d) narysowałem sobie te wykresy. No i mam dwa okręgi. jeden o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), a drugi o promieniu \(\displaystyle{ 2}\), ale nic z tego nie mogę dalej wywnioskować :/

Przypomnij sobie ze szkoły termin "jednokładność".

JK

[dosmiko]

Nie mam pojęcia jak zrobić ten przykład c). Nie wiem jak mam wykorzystać jednokładność w tym zadaniu.
Myślałem, że to będzie funkcja postaci \(\displaystyle{ f(x) = (x, \sqrt{4 - x^{2}}), x \in [0, 1] }\)

W podpunkcie b, myślałem, że są to punkty, a nie przedziały. Z drugiej strony, skoro są to przedziały, to po co tam warunek \(\displaystyle{ a < b }\)?
Nie można po prostu zapisać \(\displaystyle{ f(x) = x, x \in A }\)?

[Janusz Tracz]

W podpunkcie z okręgami. Zauważ, że masz dwa okręgi o promieniach \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) i tych samych środkach. Wyobraź sobie, że ten mniejszy zaczynasz nadmuchiwać jak balon. I ten mniejszy okrąg urośnie i sklei się z tym większym. Odwzorowanie małego okręgu na duży poprzez takie nadmuchanie jest bijekcją.

Dodano po 2 minutach 32 sekundach:

po co tam warunek \(\displaystyle{ a < b }\)?

żeby faktycznie był to przedział (z definicji). Tu też można sobie wyobrazić jak taki odcinek \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) }\) rozciągamy aż dostaniemy \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\). Analogicznie jak z nadmuchiwaniem okręgów.

[dosmiko]

Rozumiem o co Panu chodzi, ale nie wiem jak mam to zapisać w postaci bijekcji. Mógłby mi Pan to rozpisać? Może wtedy mi się "rozjaśni".

[Jan Kraszewski]

Nie mam pojęcia jak zrobić ten przykład c). Nie wiem jak mam wykorzystać jednokładność w tym zadaniu.
Myślałem, że to będzie funkcja postaci \(\displaystyle{ f(x) = (x, \sqrt{4 - x^{2}}), x \in [0, 1] }\)

Przecież to nie ma sensu - mówiłem, najpierw zrozum, potem pisz. Masz zdefiniować funkcję z podzbioru płaszczyzny w podzbiór płaszczyzny, a Ty definiujesz funkcję, której dziedziną jest przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\). Jaki to ma związek z zadaniem?

W podpunkcie b, myślałem, że są to punkty, a nie przedziały.

Przecież to nie miałoby sensu. Mówisz przecież o równoliczności zbiorów - punkty nie są zbiorami!

Z drugiej strony, skoro są to przedziały, to po co tam warunek \(\displaystyle{ a < b }\)?

Zgodnie z definicją masz \(\displaystyle{ (a,b)=\{x\in\RR:x>a\land x<b\}}\). Założenie \(\displaystyle{ a < b }\) jest po to, żeby przedział był niezdegenerowany (czyli niepusty).

Nie można po prostu zapisać \(\displaystyle{ f(x) = x, x \in A }\)?

Jeszcze raz - najpierw pomyśl... Naprawdę uważasz, że funkcja zadana wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x}\), której dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ A=(0,1)}\) przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\)? Przecież o liczbach \(\displaystyle{ a,b}\) wiesz tylko, że \(\displaystyle{ a<b}\). A gdyby \(\displaystyle{ a=17, b=30}\) to co?

Rozumiem o co Panu chodzi, ale nie wiem jak mam to zapisać w postaci bijekcji. Mógłby mi Pan to rozpisać? Może wtedy mi się "rozjaśni".

Jeśli chodzi o przedziały, to wybierz sobie najpierw kilka konkretnych przedziałów: \(\displaystyle{ (0,2), (3,4), (17, 30)}\) i spróbuj znaleźć funkcje liniowe, które są bijekcjami pomiędzy tymi przedziałami a przedziałem \(\displaystyle{ (0,1)}\). A potem postaraj się uogólnić to na dowolny przedział \(\displaystyle{ (a,b).}\)

Jeśli chodzi o okręgi - wiesz, jakim wzorem zadawana jest jednokładność? Przypomnij sobie. I pamiętaj, że te okręgi są podzbiorami płaszczyzny, czyli szukasz funkcji, której argumentami i wartościami są punkty na płaszczyźnie, czyli pary liczb: \(\displaystyle{ f:A\to B, f(x,y)=(...,...)}\).

JK

[dosmiko]

W porządku. Chyba już zrozumiałem. Dziękuję za cierpliwość.
Jeszcze dla pewności.. wyszło mi:
\(\displaystyle{ b) }\) Tak jak Pan podpowiedział, na przykładach wyznaczyłem sobie bijekcje pomiędzy tymi zbiorami. Zauważyłem zależność na rysunkach i ze wzoru na prostą przechodząca przez dwa punkty wyznaczyłem: \(\displaystyle{ f(x)=(b-a)x + a, x \in A }\)
W podpunkcie \(\displaystyle{ c) }\) natomiast wiedząc, że \(\displaystyle{ x^{'} = kx }\) oraz \(\displaystyle{ y^{'} = ky }\) wiedząc też, że promień drugiego okręgu jest dwa razy większy od pierwszego, dostajemy, że \(\displaystyle{ k = 2 }\). Mamy zatem wszystko do naszej funkcji, więc: \(\displaystyle{ f(x, y) = (2x, 2y), x,y \in A }\).

[a4karo]

ok