Relacja identyczności

[Jakub Gurak]

W pewnych miejscach wykorzystałem takie fakty jak: identyczność na sumie dwóch zbiorów rozłącznych jest sumą identyczności, oraz identyczność na przekroju dwóch zbiorów jest przekrojem identyczności. Pomyślałem i udowodniłem do kolekcji, że identyczność na różnicy dwóch zbiorów jest różnicą identyczności. Przedstawię teraz (być może nie najprostszy) dowód, a potem prosty z tego wniosek, że identyczność na różnicy symetrycznej dwóch zbiorów jest różnicą symetryczną identyczności.

Przypominam, jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, to przez relację identyczności w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) rozumiemy: \(\displaystyle{ I_X=\left\{ \left( x,x\right)\Bigl | \ \ x\in X \right\}. }\)

Na początek odnotujmy oczywiste fakty:

1. Identyczność na sumie dwóch zbiorów rozłącznych \(\displaystyle{ X,Y}\) jest sumą identyczności: \(\displaystyle{ I_{X\cup Y}= I_X\cup I_Y.}\)
2. Identyczność na przekroju dwóch zbiorów jest przekrojem identyczności.
3. \(\displaystyle{ I_\emptyset=\emptyset.}\)
4. Jeśli \(\displaystyle{ X\subset Y}\), to \(\displaystyle{ I_X\subset I_Y.}\)
5. Jeśli zbiory \(\displaystyle{ X,Y}\) są rozłączne, to \(\displaystyle{ (X\cup Y) \setminus Y=X.}\)

Wykażemy teraz, że identyczność na różnicy dwóch zbiorów jest różnicą identyczności:

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą zbiorami.

Wtedy \(\displaystyle{ X=(X \setminus Y)\cup (X\cap Y)}\), i zbiory \(\displaystyle{ X \setminus Y}\) oraz \(\displaystyle{ X\cap Y}\) są rozłączne. Ponieważ identyczność na sumie dwóch zbiorów rozłącznych jest sumą identyczności, więc otrzymujemy:

\(\displaystyle{ I_X=I_{(X \setminus Y) \cup (X\cap Y) }=I_{X \setminus Y} \cup I_{X\cap Y}.}\)

Niewątpliwie mamy:

\(\displaystyle{ I_{X \setminus Y}\cap I_{X\cap Y}=I_{(X \setminus Y)\cap (X\cap Y)}=I_{\emptyset}=\emptyset}\), gdyż identyczność na przekroju dwóch zbiorów jest przekrojem identyczności.

W takim razie zbiory \(\displaystyle{ I_{X \setminus Y}}\), oraz \(\displaystyle{ I_{X\cap Y}}\) są rozłączne. A zatem

\(\displaystyle{ I_{X \setminus Y}=\left[ I_{X \setminus Y} \cup I_{X\cap Y}\right] \setminus I_{X\cap Y}=I_X \setminus I_{X\cap Y}=I_X \setminus (I_X\cap I_Y)=(I_X \setminus I_X) \cup (I_X \setminus I_Y)=\emptyset \cup \left( I_X \setminus I_Y\right) =I_X \setminus I_Y. \square}\)

Wynika stąd łatwo, że identyczność na różnicy symetrycznej dwóch zbiorów jest różnicą symetryczną identyczności, gdyż:

Różnica symetryczna \(\displaystyle{ X\oplus Y}\) jest równa \(\displaystyle{ \left( X \setminus Y\right) \cup \left( Y \setminus X\right) }\), a więc

\(\displaystyle{ I_{X\oplus Y}=I_{(X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)}=}\) teraz ponieważ zbiory \(\displaystyle{ X \setminus Y}\) i \(\displaystyle{ Y \setminus X}\) są rozłączne, a identyczność na sumie dwóch zbiorów rozłącznych jest sumą identyczności, więc to jest równe \(\displaystyle{ \left( I_{X \setminus Y} \right) \cup \left( I_{Y \setminus X}\right) }\), dalej korzystamy z poprzednio udowodnionego faktu, że identyczność na różnicy dwóch zbiorów jest różnicą identyczności, a więc to jest równe \(\displaystyle{ (I_X \setminus I_Y) \cup (I_Y \setminus I_X)=I_X\oplus I_Y.\square }\)

[Jakub Gurak]

Udowodniłem dzisiaj, bardzo prosto, że jeśli mamy n zbiorów rozłącznych, to identyczność na sumie tych n zbiorów jest sumą identyczności na kolejnych zbiorach. Przedstawie teraz dowód tego intuicyjnego faktu. Najpierw podam dwa lematy.

Lemat 1: jeśli\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B} }\) rodziną zbiorów, to mamy równoważność : zbiór X jest rozłączny z każdym zbiorem \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B} }\) tej rodziny, dokładnie wtedy gdy, \(\displaystyle{ X}\) jest rozłączny z \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) sumą tej rodziny.

Dowód:    

Zauważmy, że jeśli rodzina \(\displaystyle{ \mathbb {B}}\) jest pusta to równoważność zachodzi, (\(\displaystyle{ \bigcup\emptyset =\emptyset}\)).Dalej więc załóżmy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb {B}}\) jest niepusta. Załóżmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest rozłączny z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Przypuśćmy nie wprost, że pewien element \(\displaystyle{ x\in X \cap \left( \bigcup\mathbb{B}\right) }\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in X,x \in\bigcup\mathbb{B}.}\) Z ostatniego \(\displaystyle{ x \in A,}\) gdzie \(\displaystyle{ A\in\mathbb {B} }\), a zatem \(\displaystyle{ x \in X \cap A}\), zatem zbiory X,A nie są rozłączne. Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A \in\mathbb {B}}\), a z założenia X jest rozłączny z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {B}}\), więc otrzymujemy sprzeczność.

Przypuśćmy teraz, że pewien zbiór \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) przecina zbiór X. Wtedy \(\displaystyle{ X \cap A \neq \left\{ \right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A\in \mathbb {B}}\), to \(\displaystyle{ A\subset\bigcup\mathbb {B} }\), a zatem \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq X \cap A \subset X \cap \bigcup\mathbb {B}}\), a więc \(\displaystyle{ X \cap\bigcup\mathbb {B} \neq\left\{ \right\}}\), a więc zbiory \(\displaystyle{ X, \bigcup\mathbb {B}}\) nie są rozłączne.\(\displaystyle{ \square. }\)

Lemat 2. Jeśli mamy \(\displaystyle{ \left( n+1\right) }\) zbiorów rozłącznych \(\displaystyle{ X _{1},X _{2}, \ldots,X_n, X _{n+1} }\) to ostatni zbiór \(\displaystyle{ X _{n+1}}\) jest rozłączny z sumą pozostałych \(\displaystyle{ X _{1} \cup X _{2} \cup \ldots\cup X _{n}.}\)

Dowód:

Zbiór \(\displaystyle{ X _{n+1}}\) jest rozłączny że zbiorami \(\displaystyle{ X _{1},X _{2},\ldots, X _{n} }\) , więc na mocy poprzedniego lematu jest również rozłączny z \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ X _{1},X_2,\ldots, X_n \right\}=X _{1} \cup X _{2} \cup \ldots \cup X _{n}.\square}\)

Przejdźmy do naszego faktu, rozważmy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów rozłącznych \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots,X_n }\), i udowodnijmy, ze identyczność na sumie tych n zbiorów \(\displaystyle{ I _{\left( X _{1} \cup X _{2} \cup \ldots \cup X _{n} \right) } }\) jest sumą identyczności \(\displaystyle{ \left( I _{X _{1} } \right)\cup\left( I _{X _{2} }\right)\cup\ldots \left( I _{X_n} \right) }\).

Dowód łatwo można przeprowadzić przez indukcje(wystarczy tylko wykorzystać lemat 2, oraz przypadek twierdzenia dla \(\displaystyle{ n=2}\), I oczywiście założenie indukcyjne), łatwo to można udowodnić, ale już idę spać.

[Jan Kraszewski]

Udowodniłem dzisiaj, bardzo prosto, że jeśli mamy n zbiorów rozłącznych, to identyczność na sumie tych n zbiorów jest sumą identyczności na kolejnych zbiorach. Przedstawie teraz dowód tego intuicyjnego faktu.

Czasem mam wrażenie, że poświęcasz dużo czasu żeby skomplikować rzeczy proste.

Suma dowolnej rodziny relacji równości na dowolnych zbiorach jest relacją równości na sumie tych zbiorów, a dowód jest natychmiastowy i nie wymaga takich wygibasów.

JK

[Jakub Gurak]

Mógłby Pan dać wskazówkę jak ten dowód Pan przeprowadza? Rzeczywiście wygląda na to, teraz widzę, że identyczność na sumie dwóch zbiorów jest sumą identyczności, dla dowolnych dwóch zbiorów, nawet nie rozłącznych- tylko jak to najprościej udowodnić, czy w ten sposób, że elementowi \(\displaystyle{ x\in X}\) przypisać parę \(\displaystyle{ (x,x)}\), i skorzystać z faktu, że obraz sumy dwóch zbiorów jest sumą obrazów, w ten sposób, czy jak

[Jan Kraszewski]

Jeśli \(\displaystyle{ R_i=\{\left\langle x,x\right\rangle:x\in A_i \}}\) dla \(\displaystyle{ i\in I}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I}R_i=\left\{ \left\langle x,x\right\rangle:x\in \bigcup_{i\in I}A_i\right\}}\). Oba zawierania są oczywiste, wystarczy przeczytać, co znaczą (daruję sobie zapisywanie tego).

JK

[Jakub Gurak]

A czy można w poniższy sposób udowodnić, że identyczność na sumie dwóch zbiorów jest sumą identyczności:

Określić najpierw funkcję \(\displaystyle{ f:X \cup Y \rightarrow \left( X \cup Y\right) \times (X \cup Y)}\) jako:

\(\displaystyle{ f(x)=\left( x,x\right)}\) , i wtedy

\(\displaystyle{ I_{X \cup Y} =\left\{ \left( x,x\right) | x\in X \cup Y\right\} =\stackrel { \rightarrow }{f} \left( X \cup Y\right) = \stackrel { \rightarrow }{f}\left( X\right) \cup \stackrel { \rightarrow }{f}\left( Y\right)=\left\{ \left( x,x\right) |x\in X\right\} \cup \left\{ \left( x,x\right)| x\in Y \right\} =I_X \cup I_Y.\square }\)

Dobrze , można tak

[Jan Kraszewski]

Można, tylko po co? Czy naprawdę do pokazania równości

\(\displaystyle{ \left\{ \left( x,x\right) : x\in X \cup Y\right\} =\left\{ \left( x,x\right) :x\in X\right\} \cup \left\{ \left( x,x\right): x\in Y \right\} }\)

potrzebujesz jeszcze dodatkowo definiować funkcję? Ja tam jestem zwolennikiem brzytwy Ockhama.

JK