Potrzebuję wykorzystać fakt, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane ciągłe (a więc i gęste) :\(\displaystyle{ (X, \le _X); \left( Y, \le_Y\right) }\) takie, że porządek \(\displaystyle{ \le _X}\) jest rozszerzeniem porządku \(\displaystyle{ \le _Y}\), oraz gdy mamy dwa punkty \(\displaystyle{ a,b\in X\cap Y}\) oraz element pośredni \(\displaystyle{ c \in X}\) pośredni, czyli taki, że \(\displaystyle{ a<_X c <_ X b}\), to \(\displaystyle{ c\in Y.}\)
Albo inaczej, wystarczy mi nawet tylko fakt, że pomiędzy dwoma elementami \(\displaystyle{ x\in X\cap Y, y\in X}\) istnieje element pośredni \(\displaystyle{ z\in Y}\), czyli taki, że \(\displaystyle{ x<_X z<_X y.}\)
Ważne aby ten element był w \(\displaystyle{ Y=X\cap Y}\), co z gęstości nie wynika, więc jak to najprościej pokazać
Proszę o pomoc, gdyż pracuję nad dowodem, że przekrój łańcucha liniowych porządków ciągłych jest liniowym porządkiem ciągłym.
