Surjekcja

[agataaag]

Cześć, mam pytanie odnośnie udowadniania, że funkcja jest surjekcją. Czy żeby to udowodnić wystarczy pokazać, że granice w \(\displaystyle{ \pm \infty }\) dążą do \(\displaystyle{ \pm \infty }\) i że funkcja jest ciągła na \(\displaystyle{ \RR}\)?

[Jan Kraszewski]

Twoje pytanie jest zadane niestarannie. W ogólności to oczywiście nie wystarczy, bo nie każda funkcja jest funkcją z \(\displaystyle{ \RR}\) w \(\displaystyle{ \RR}\). Domyślam się jednak, że taką funkcję masz właśnie na myśli, co wszelakoż należało wyraźnie napisać. Wtedy jednak też nie wystarczy

pokazać, że granice w \(\displaystyle{ \pm \infty }\) dążą do \(\displaystyle{ \pm \infty }\) i że funkcja jest ciągła na \(\displaystyle{ \RR}\)?

bo po pierwsze granice do niczego nie dążą, to wartości funkcji mogą dążyć do granicy, a po drugie - ważniejsze - znów niestarannie sformułowałaś zasadę. Czy dla funkcji \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR, f(x)=x^2}\) jest ona spełniona? W zasadzie tak...

Natomiast jeżeli o funkcji \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}\) (bądź \(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}\)) oraz wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to istotnie jest ona surjekcją, gdyż ma ona własność Darboux, co w połączeniu z informacjami o granicach pozwala nam pokazać, że przyjmuje jako wartości wszystkie liczby rzeczywiste.

JK

[agataaag]

Właśnie taką funkcję miałam na myśli, dziękuję ślicznie za wytłumaczenie!