Pytanie dot. relacji i jej własności

[nequ187erz]

Witam. Zaczynam przygodę z matematyką dyskretną i zastanawiam się nad pewnym aspektem. Otóż mam zbiór \(\displaystyle{ A = \{1,2,3,4\}}\) oraz relację \(\displaystyle{ R = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}}\). Ustaliłem już, że jest zwrotna, no bo dla każdego \(\displaystyle{ x}\) nalezacego do \(\displaystyle{ A}\) para \(\displaystyle{ (x,x)}\) nalezy do tej relacji. Potem wziąłem się za rozważenie symetryczności. Czy myślę dobrze, że relacja ta jest symetryczna? Warunek na symetrycznosc to \(\displaystyle{ (x,y)}\) nalezy do \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ (y,x)}\) nalezy do \(\displaystyle{ R}\). Czy moge potraktować parę \(\displaystyle{ (1,1)}\) z relacji \(\displaystyle{ R}\) jako dwie te pary spełniające ten warunek, czy musiałbym mieć w relacji drugą parę \(\displaystyle{ (1,1)}\) aby relacja była symetryczna? Nie miałbym żadnych wątpliwości, że jest ona symetryczna, gdyby nie to, że wyszło mi też, że jest antysymetryczna. Czy relacja może być symetryczna jak i antysymetryczna???...

[Jan Kraszewski]

Otóż mam zbiór \(\displaystyle{ A = \{1,2,3,4\}}\) oraz relację \(\displaystyle{ R = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}}\). Ustaliłem już, że jest zwrotna, no bo dla każdego \(\displaystyle{ x}\) nalezacego do \(\displaystyle{ A}\) para \(\displaystyle{ (x,x)}\) nalezy do tej relacji. Potem wziąłem się za rozważenie symetryczności. Czy myślę dobrze, że relacja ta jest symetryczna?

Tak.

Warunek na symetrycznosc to \(\displaystyle{ (x,y)}\) nalezy do \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ (y,x)}\) nalezy do \(\displaystyle{ R}\).

Nieprawda, warunek na symetryczność relacji \(\displaystyle{ R}\) mówi co innego: dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in A}\) jeśli para \(\displaystyle{ (x,y)}\) należy do relacji \(\displaystyle{ R}\), to para \(\displaystyle{ (y,x)}\) także do niej należy. W tym warunku jest implikacja, a użyte przez Ciebie słowo "oraz" oznacza koniunkcję.

Czy moge potraktować parę \(\displaystyle{ (1,1)}\) z relacji \(\displaystyle{ R}\) jako dwie te pary spełniające ten warunek, czy musiałbym mieć w relacji drugą parę \(\displaystyle{ (1,1)}\) aby relacja była symetryczna?

Nie bardzo wiem, co masz na myśli, ale zgodnie z poprawną definicją symetryczności pytanie brzmi, czy jeśli para \(\displaystyle{ (1,1)}\) należy do relacji \(\displaystyle{ R}\), to para \(\displaystyle{ (1,1)}\) także do niej należy. Co oczywiście jest prawdą i co oczywiście nie wystarcza do symetryczności, bo warunek ma zachodzić dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in A}\).

Nie miałbym żadnych wątpliwości, że jest ona symetryczna, gdyby nie to, że wyszło mi też, że jest antysymetryczna. Czy relacja może być symetryczna jak i antysymetryczna???...

Może - relacja równości tak ma (a Twoje \(\displaystyle{ R}\) to właśnie relacja równości na zbiorze \(\displaystyle{ A}\)), podobnie jak każdy podzbiór tej relacji (i tylko one).

JK