Znajdź zbiór i funkcje o podanych aksjomatach

[xxDorianxx]

Mam problem z następującym zadaniem i prosiłbym o jakieś wskazówki.
Znajdź najmniejszy niepusty zbiór \(\displaystyle{ D}\) oraz funkcje \(\displaystyle{ s: D \rightarrow D}\) i \(\displaystyle{ +: D^2 \rightarrow D}\) tak, aby
\(\displaystyle{ 0 \in D}\) oraz następujące aksjomaty były prawdziwe:

\(\displaystyle{ \forall_{x} \hspace{0.2cm} 0 \neq s\left( x\right) }\)
\(\displaystyle{ \forall_{y \neq 0} \exists_{x} \hspace{0.2cm} y=s\left( x\right) }\)
\(\displaystyle{ \forall_{x} \hspace{0.2cm} x+0=x}\)
\(\displaystyle{ \forall_{x} \forall_{y} \hspace{0.2cm} x+s\left( y\right)=s\left( x+y\right) }\)

[Dasio11]

Wskazówka: szukaj zbioru dwuelementowego.

[xxDorianxx]

Zatem, niech \(\displaystyle{ D=\left\{ 0,p\right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{N}}\) oraz sobie definiuje funkcje:
\(\displaystyle{ s(x)=p}\) dla dowolnego argumentu.
\(\displaystyle{ +:=max\left\{ x,y\right\} }\) dla dowolnych argumentów
Teraz pokazuje, że każdy z aksjomatów zachodzi i to będzie wszytko?

[Jan Kraszewski]

Zatem, niech \(\displaystyle{ D=\left\{ 0,p\right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{N}}\)

A nie prościej wziąć \(\displaystyle{ D=\left\{ 0,1\right\} }\)?

oraz sobie definiuje funkcje:
\(\displaystyle{ s(x)=p}\) dla dowolnego argumentu.
\(\displaystyle{ +:=max\left\{ x,y\right\} }\) dla dowolnych argumentów

Raczej \(\displaystyle{ +(x,y)=\max\left\{ x,y\right\} }\).

Teraz pokazuje, że każdy z aksjomatów zachodzi i to będzie wszytko?

Prawie. Do tego krótkie uzasadnienie, dlaczego \(\displaystyle{ D}\) nie może być jednoelementowy.

JK

[xxDorianxx]

Bardzo dziękuje za pomoc. Zadanie całkowicie jasne!