Wielomiany

[Szwanceneger]

Dobry wieczór. Jaki jest najprostszy sposób by wykazać, że zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych jest przeliczalny?

[Premislav]

Wielomianów ustalonego stopnia o współczynnikach całkowitych jest przeliczalnie wiele, bo zbiór wielomianów stopnia \(\displaystyle{ k\in \NN}\) o współczynnikach całkowitych daje się łatwo zanurzyć w \(\displaystyle{ \ZZ^{k+1}}\) (czyli iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów przeliczalnych), a potem sumujesz po wszystkich stopniach i korzystasz z tego, że suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym (dowodu nie pamiętam, co należało dowieść… ale to naprawdę klasyczny fakt, na pewno dowodzony u Guzickiego i Zakrzewskiego w Wykładach ze wstępu do matematyki, w książce p. Rasiowej, w Kraszewskim – musiałbym się przejść do drugiego mieszkania, żeby sprawdzić – i w ogóle wszędzie).