Charakteryzacja sigma-ciała na zbiorze przeliczalnym

[matmatmm]

Mam problem z dowodem następującej własności:

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{F}\subset 2^{\Omega}}\) będzie sigma-ciałem, gdzie \(\displaystyle{ \Omega}\) jest zbiorem przeliczalnym. Udowodnić, że istnieje rodzina przeliczalna \(\displaystyle{ \mathcal{F}_0\subset \mathcal{F}}\) złożona ze zbiorów niepustych, parami rozłącznych i taka, że dla każdego \(\displaystyle{ A\subset\Omega:}\)

\(\displaystyle{ A\in\mathcal{F} \iff \bigvee_{\mathcal{A}\subset \mathcal{F}_0}A=\bigcup \mathcal{A}}\)

W szczególności \(\displaystyle{ \Omega=\bigcup \mathcal{F}_0}\). Ponadto dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathcal{F}}\) rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest wyznaczona jednoznacznie.

Odnośnie dowodu, to próbowałem zdefiniować \(\displaystyle{ \mathcal{F}_0}\) jako rodzinę wszystkich atomów, gdzie zbiór \(\displaystyle{ F}\) nazywamy atomem, gdy \(\displaystyle{ F\in\mathcal{F}, F\neq \emptyset}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ B\in\mathcal{F}}\), jeśli \(\displaystyle{ B\subset F}\), to \(\displaystyle{ B=\emptyset}\) lub \(\displaystyle{ B=F}\). Wiem, że nazwa "atom" funkcjonuje w matematyce, chociaż nie jestem pewien, czy właśnie w tym sensie.

Udało mi się pokazać, że atomy są parami rozłączne i rodzina atomów jest przeliczalna (użyłem pewnika wyboru, nie wiem czy da się bez niego). Problem jest z dowodem równoważności (nawet dla \(\displaystyle{ A=\Omega}\)). Jednoznaczność rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) też potrafię pokazać. Będę wdzięczny za wskazówki.

[Dasio11]

Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ \Omega}\) jest sumą atomów, dalej jest już łatwo. Ustalmy więc dowolny \(\displaystyle{ a \in \Omega}\) i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ [a] = \bigcap \{ F \in \mathcal{F} : a \in F \}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ [a] \in \mathcal{F}}\), przedstawiając ten zbiór jako przekrój przeliczalnej rodziny elementów \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała. Dla każdego \(\displaystyle{ b \in \Omega \setminus [a]}\) wybierzmy \(\displaystyle{ F_b \in \mathcal{F}}\) spełniający \(\displaystyle{ a \in F_b, b \notin F_b}\). Wtedy

\(\displaystyle{ [a] = \bigcap_{b \in \Omega \setminus [a]} F_b}\)

jest obiecanym przedstawieniem. Jest też oczywiste, że \(\displaystyle{ [a]}\) jest atomem zawierającym \(\displaystyle{ a}\), tak jak trzeba.

[matmatmm]

\(\displaystyle{ [a] = \bigcap_{b \in \Omega \setminus [a]} F_b}\)

Pewnie jest to oczywiste, ale nie widzę dowodu zawierania z prawej na lewą.

[Dasio11]

Próbowałeś przez kontrapozycję?

[matmatmm]

Tak. Teraz się udało. Dzięki.