Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Post autor: Jakub Gurak »

Mam problem z udowodnieniem tego faktu, czyli jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to istnieje zbiór \(\displaystyle{ Y\supset X}\) oraz liniowy porządek \(\displaystyle{ \le^{*}}\) gesty na \(\displaystyle{ Y}\) będący rozszerzeniem danego porządku \(\displaystyle{ \le. }\)

Wiem, że takie twierdzenie jest, gdyż najogólniej to mamy twierdzenie, że nawet każdy zbiór uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego, więc również każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego (a więc i gęstego, porządek ciągły jest gęsty). Mnie interesuje najbardziej, że każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego. Najpierw jednak chce wykazać , że zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku gęstego (a potem, że każdy porządek gęsty można rozszerzyć do porządku ciągłego- ale to później). Jednak mam kłopot z dowodem( mam pewien pomysł, ale potrzebuje pomocy z dowodem). Oto moja próba:

Niech \(\displaystyle{ (X, \le )}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, który nie jest gęsty (jak jest gęsty, to bierzemy \(\displaystyle{ Y=X, \le^{*} = \le}\), i dowód jest zakończony). Wtedy, zgodnie z charakteryzacją porządków gęstych istniej przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\), który daje skok( zbiór liniowo uporządkowany jednoelementowy i pusty nie ma przekrojów Dedekinda, ale sprawdziłem wtedy równoważność zachodzi, więc jest gęsty, więc gdy porządek nie jest gęsty, to \(\displaystyle{ X}\) ma co najmniej dwa elementy, a wtedy rzeczywiście istnieją przekroje Dedekinda- nie wiem czy to konieczne, ale w zbiorze pustym nie obowiązuje prawo zaprzeczania kwantyfikatorowi ogólnemu).

Wtedy klasa dolna przekroju \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ x}\). Wykorzystamy zbiór \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \cap \QQ}\) z naturalnym porządkiem \(\displaystyle{ \le _{\QQ}.}\) Rozważmy sumę porządkową \(\displaystyle{ A\oplus \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ\right) }\) (na \(\displaystyle{ A}\) porządek \(\displaystyle{ \le}\) ). Formalnie jeszcze trzeba te zbiory urozłącznić ( żeby były rozłączne) . I tak dla dowolnego skoku( formalnie dla dowolnego przekroju Dedekinda dającego skok). I bierzemy sumę wszystkich takich zbiorów. Tylko nie wiem jak pokazać, że będzie to zbiór liniowo uporządkowany gęsty. Nawet nie wiem jak pokazać, że porządek jest liniowy. Gdybym mógł tu wskazać łańcuch porządków gęstych, to suma byłaby porządkiem gęstym, na mocy faktu, który udowodniłem na początku moich ostatnich wakacji. Jednak nie jest łatwo to zrobić- trzeba by to zrobić pewnie krok po kroku , pewnie jakaś indukcja pozaskończona, nie lekko. Może sprawdzić po kolei wszystko, ale pewnie trzeba byłoby się napracować. Jak to zrobić? Proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Post autor: Dasio11 »

Najprościej zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest dowolnym liniowym porządkiem, to \(\displaystyle{ X \times \QQ}\) z porządkiem leksykograficznym jest porządkiem gęstym, w który \(\displaystyle{ X}\) wkłada się jako zbiór par o zerowych drugich współrzędnych. Na rysunku wygląda to tak, że wokół każdego elementu \(\displaystyle{ X}\) wyobrażamy sobie malutki odcinek będący kopią liczb wymiernych, i patrząc z daleka, te odcinki są uporządkowane w taki sposób w jaki oryginalnie uporządkowany był \(\displaystyle{ X}\).
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Post autor: krl »

Można też inaczej. Załóżmy,  że mamy nasz liniowy prządek \(\displaystyle{ (X,\leq)}\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) będzie rodziną (klasą) wszystkich porządków rozszerzających porządek \(\displaystyle{ X}\) o skończenie wiele punktów. Granica Fraissego tej rodziny jest porządkiem gęstym rozszerzającym porządek \(\displaystyle{ (X,\leq)}\).
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Post autor: Jakub Gurak »

A jak udowodnić, że każdy zbiór liniowo uporządkowany gęsty \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) można rozszerzyć do porządku ciągłego \(\displaystyle{ ??}\)

Idea dowodu jest znana, trzeba uzupełnić wszystkie luki (wyznaczone przez przekroje Dedekinda), ale jak to zrobić formalnie :?: Jedną lukę chyba umiem uzupełnić, a więc chyba również mogę uzupełnić skończenie wiele takich luk, ale jak wszystkie uzupełnić, ich może być chyba nawet więcej niż moc danego zbioru \(\displaystyle{ X.}\) Jak to zrobić :?:
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Post autor: Dasio11 »

To zwyczajne uzupełnienie Dedekinda: załóżmy, że \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest porządkiem liniowym. Podzbiór \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) nazywa się przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), jeśli

(i) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ a \in A}\), jeśli \(\displaystyle{ x < a}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\);
(ii) W \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego.

Zbiór \(\displaystyle{ \overline{X}}\) przekrojów Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) wraz relacją inkluzji jest liniowym porządkiem zupełnym. Dodatkowo jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest gęsty, to \(\displaystyle{ \overline{X}}\) też jest gęsty i funkcja \(\displaystyle{ e : X \to \overline{X}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ e(x) = (\leftarrow, x)}\) jest zanurzeniem porządkowym.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Post autor: Jakub Gurak »

Przepraszam, że pytam dopiero po kilku dniach, ale byłem zajęty czym innym.
Dasio11 pisze: 19 lis 2021, o 23:18 Podzbiór \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) nazywa się przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), jeśli

(i) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ a \in A}\), jeśli \(\displaystyle{ x < a}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\);
(ii) ... .
Czy to nie jest definicja przedziału początkowego zbioru liniowo uporządkowanego :?: Chcę się upewnić.
Zbiór \(\displaystyle{ \overline{X}}\) przekrojów Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) wraz relacją inkluzji jest liniowym porządkiem zupełnym.
Domyślam się, że chodzi o zbiór wszystkich takich przekrojów Dedekinda, tak :?: Bo to jest bardzo ważne.

I co to jest zanurzenie porządkowe??- domyślam się, że to jest funkcja, która świadczy o tym, że zbiór \(\displaystyle{ \overline {X} }\) rozszerza zbiór \(\displaystyle{ X}\), ale nie wiem, co to jest :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 23 lis 2021, o 19:44I co to jest zanurzenie porządkowe??
Injekcja zachowująca porządek, czyli izomorfizm porządkowy na swój obraz.

JK
ODPOWIEDZ