Łańcuch w P(N) mocy continuum

[Jakub Gurak]

Mam takie zadanie:

Ile elementów posiada największy, pod względem mocy, łańcuch w \(\displaystyle{ (\mathcal{P}(\mathbb{N}),\subset) }\)?

Nie do końca rozumiem rozwiązanie (tzn. nie wiem jak to zadanie dokończyć). Rozwiązanie jest takie, że najpierw tworzymy łańcuch na podzbiorach zbioru liczb wymiernych mocy continuum. W tym celu (to bardzo ciekawa konstrukcja), dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x\in\left[ 0,1\right]}\) definiujemy zbiór \(\displaystyle{ F_x=\left[ 0,x\right] \cap \QQ\subset\QQ}\), i pokazujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=F_x}\) jest różnowartościowa. Jasne. Tylko nie wiem jak to przenieść na podzbiory \(\displaystyle{ \NN}\). Niby można, bo zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, ale chciałbym to zrozumieć dokładniej. Jak to zadanie dokończyć

[Jan Kraszewski]

Bierzesz dowolną bijekcję \(\displaystyle{ \phi:\QQ\to\NN}\) i jeśli \(\displaystyle{ \mathcal L \subseteq P(\QQ)}\) jest Twoim łańcuchem podzbiorów zbioru liczb wymiernych, to \(\displaystyle{ \{\phi[L]:L\in\mathcal L\}}\) jest łańcuchem podzbiorów zbioru liczb naturalnych.

JK

[Jakub Gurak]

A jeszcze spytam, ten łańcuch dalej ma moc continuum

[Jan Kraszewski]

Powinieneś wiedzieć, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest bijekcją, to funkcja \(\displaystyle{ F:P(X)\to P(Y)}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ F(A)=f[A]}\) też jest bijekcją, zatem dla \(\displaystyle{ \mathcal A \subseteq P(X)}\) mamy \(\displaystyle{ \mathcal A\sim F[\mathcal A].}\)

JK