kres i wartość największa zbioru

[mikesz1738]

Witam,

W zadaniu należy sprawdzić istnienie oraz ewentualnie wyznaczyć kres górny i największy element zbioru:

\(\displaystyle{ A=\left\{ \frac{7}{10}, \frac{77}{100}, \frac{777}{1000}, ... \right\} }\)

Każdy element zbioru ma postać \(\displaystyle{ \frac{a}{b} }\)gdzie \(\displaystyle{ a,b \in N}\) i \(\displaystyle{ a < b }\) więc \(\displaystyle{ \frac{a}{b} < 1}\) więc mamy \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{a\in A} a < 1}\) tak więc zbiór jest ograniczony z góry i posiada kres górny.

Wypisując kilka początkowych wyrazów zbioru w postaci dziesiętnej \(\displaystyle{ 0.7, 0.77, 0.777}\) widać, że dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a_{n}}\) element kolejny \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) jest od niego większy więc w zbiorze tym nie ma elementu największego..

Nie wiem natomiast jak wyznaczyć kres górny. Jedyne co udało mi się zrobić to zapisać wzór ogólny na dowolny element zbioru A:

\(\displaystyle{ A=\left\{ 7 \cdot \frac{ 10^{n-1} + 10^{n-2} + 10^{n-3} + ... + 10^{0} }{10^{n}} , n = 1,2,3,...\right\}}\)

W jaki sposób podejść do wyznaczenia kresu górnego?

Pozdrawiam,

Michał

[a4karo]

Wsk: `0.1111111...=1/9`

[Janusz Tracz]

Można powiedzieć, że każdy kolejny wyraz ma o jedną siódemkę więcej w swoim zapisie. Więc kresem górnym będzie taka liczba która ma nieskończenie wiele \(\displaystyle{ 7}\).