Relacja częściowego porządku, elementy minimalne.

[pawlo392]

Rozważmy w zbiorze liczb wymiernych dodatnich taką relację. \(\displaystyle{ \frac{x}{y} \prec \frac{a}{b} \iff \frac{x}{y},\frac{a}{b} \text{są nieskracalne}\ \land \ y=b \ \land \frac{x}{y} \le \frac{a}{b}.}\).

Według mnie elementem minimalnym będzie ułamek którego licznik jest równy jeden, a konkretnie \(\displaystyle{ x=1}\). Gdyż oczywiście 0 nie rozważamy. Jeśli chodzi o elementy maksymalne to wydaje mi się, że ich nie ma, gdyż zawsze możemy znaleźć ułamek większy, spełniający założenia relacji.

[a4karo]

A zauważyłeś, że `{-1}/{-3}` jest nieskracalnym ułamkiem dodatnim?

[pawlo392]

Racja, umknęło mi to. Zatem, wygląda mi na to, iż nie ma tutaj ani elementów minimalnych ani maksymalnych.

[Dasio11]

Ta relacja nie jest dobrze określona, bo zgodnie z definicją zachodzi jednocześnie \(\displaystyle{ \frac{3}{5} \prec \frac{3}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{6}{10} \not \prec \frac{6}{10}}\), co oczywiście jest niemożliwe.

[pawlo392]

Ta relacja nie jest dobrze określona, bo zgodnie z definicją zachodzi jednocześnie \(\displaystyle{ \frac{3}{5} \prec \frac{3}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{6}{10} \not \prec \frac{6}{10}}\), co oczywiście jest niemożliwe.

Dokładna treść zadnia brzmi : W zbiorze liczb dodatnich wymiernych definiujemy relację częściowego porządku \(\displaystyle{ \frac{x}{y} \prec \frac{a}{b} }\) gdy \(\displaystyle{ \frac{x}{y}, \ \frac{a}{b}}\) są nieskracalne, \(\displaystyle{ y=b}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x}{y} \le \frac{a}{b}}\). Wyznaczyć elementy maksymalne i minimalne.

[Jan Kraszewski]

To sformułowanie jest niezręczne (a formalnie - jak pokazano - niepoprawne). Nieskracalność ułamków nie powinna być fragmentem definicji relacji. Lepiej zdefiniować tę relację na zbiorze par liczb naturalnych dodatnich, takich że w współrzędne w każdej parze są względnie pierwsze.

JK