Jak prosto uzasadnić, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\)(rodzina zbiorów) jest nieskończony, to zbiór \(\displaystyle{ \bigcup A}\) jest nieskończony??
Na ważniaku po prostu z tego faktu skorzystano, co zapewne oznacza, że można to prosto uzasadnić, ale nie wiem jak.
Dodano po 27 minutach 4 sekundach:
Dla \(\displaystyle{ A \subset P _{sk}\left( \NN\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ P _{sk}\left( \NN\right) }\) oznacza rodzinę wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych.
Ten fakt jest mi znany, ale mógłbyś wyjaśnić w jaki sposób to wynika, bo nie widzę tego, jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, to również jego nadzbiór \(\displaystyle{ P\left( \bigcup A\right) }\) jest nieskończony, ale dlaczego \(\displaystyle{ \bigcup A}\) jest nieskończony ( nie podoba mi się argument typu, że jeśli zbiór X jest skończony, to \(\displaystyle{ P\left( X\right) }\) jest skończony, bo, choć to prawdziwe, to formalnie chyba nie takie proste, wolę inaczej).
Jakub Gurak pisze: ↑23 cze 2020, o 22:31( nie podoba mi się argument typu, że jeśli zbiór X jest skończony, to \(\displaystyle{ P\left( X\right) }\) jest skończony, bo, choć to prawdziwe, to formalnie chyba nie takie proste, wolę inaczej).
No ale to przecież podstawowy (i prosty) fakt, że jeśli \(\displaystyle{ |X|=n}\), to \(\displaystyle{ |P(X)|=2^n}\). Z jakichś niezbyt zrozumiałych powodów lubisz sobie komplikować życie.
Tak, ale pamiętam, że jak chciałem udowodnić indukcyjnie, w oparciu o definicję skończoności von Neumanna, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, to jego zbiór potęgowy jest również skończony, to nie było łatwo...
