Klasy abstrakcji w relacji na liczbach naturalnych

[kebuk]

Załóżmy, że dwie liczby naturalne z przedziału \(\displaystyle{ [2, 150]}\) są równoważne, gdy mają
te same dzielniki pierwsze (np. \(\displaystyle{ 20}\) ma dzielniki pierwsze \(\displaystyle{ 2, 5}\)).
a) Jak wyglada klasa abstrakcji liczby \(\displaystyle{ 60}\)?
b) Ile klas abstrakcji wyznacza ta relacja?

a) \(\displaystyle{ 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}\) - dzielniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ 60}\) to: \(\displaystyle{ 2, 3, 5.}\)
Liczba \(\displaystyle{ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 }\) jest równoważna z \(\displaystyle{ 60}\).
Czy klasą abstrakcji danej liczby będzie zbiór dzielników pierwszych liczby czy zbiór liczb równoważnych z tą liczbą?

Zakładając tę drugą wersję - czy klasa abstrakcji liczby \(\displaystyle{ 60}\) to będzie zbiór wszystkich liczb zaczynając od \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5}\) a kończąc na \(\displaystyle{ 2 ^{a} \cdot 3 ^{b} \cdot 5 ^{c}}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) muszą być takie, żeby utworzona przez nie liczba spełniała przedział \(\displaystyle{ [2, 150]}\)?

Wtedy dla b) ilość klas abstrakcji to byłaby liczba wszystkich zbiorów o takich samych dzielnikach, albo dla drugiej wersji - każda liczba z zadanego przedziału miałaby klasę abstrakcji, więc byłaby to ilość liczb.

Jak poprawnie rozwiązać to zadanie?
Proszę o pomoc i pokierowanie na poprawny tok rozumowania lub ewentualne rozwiązanie.

[Jan Kraszewski]

a) \(\displaystyle{ 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}\) - dzielniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ 60}\) to: \(\displaystyle{ 2, 3, 5.}\)
Liczba \(\displaystyle{ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 }\) jest równoważna z \(\displaystyle{ 60}\).
Czy klasą abstrakcji danej liczby będzie zbiór dzielników pierwszych liczby czy zbiór liczb równoważnych z tą liczbą?

Zgodnie z definicją - oczywiście to drugie.

Zakładając tę drugą wersję - czy klasa abstrakcji liczby \(\displaystyle{ 60}\) to będzie zbiór wszystkich liczb zaczynając od \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5}\) a kończąc na \(\displaystyle{ 2 ^{a} \cdot 3 ^{b} \cdot 5 ^{c}}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) muszą być takie, żeby utworzona przez nie liczba spełniała przedział \(\displaystyle{ [2, 150]}\)?

Przedziału się nie spełnia, tylko do niego należy. Ale intuicję masz słuszną: w klasie abstrakcji liczby \(\displaystyle{ 60}\) będą te liczby z przedziału \(\displaystyle{ [2,150]}\), które dokładnie trzy dzielniki pierwsze: \(\displaystyle{ 2,3,5}\). Będą to zatem na pewno wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 30}\) i - jak nietrudno sprawdzić (jak?) - wszystkie wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 30}\) z przedziału \(\displaystyle{ [2,150]}\) będą pasować (pierwsza "niepasująca" wielokrotność \(\displaystyle{ 30}\) to \(\displaystyle{ 210}\), czyli poza naszym zainteresowaniem).

Wtedy dla b) ilość klas abstrakcji to byłaby liczba wszystkich zbiorów o takich samych dzielnikach, albo dla drugiej wersji - każda liczba z zadanego przedziału miałaby klasę abstrakcji, więc byłaby to ilość liczb.

Ani to, ani to. Rozważamy drugą wersję, ale liczba klas abstrakcji to NIE JEST liczba możliwych reprezentantów - sam już zauważyłeś, że \(\displaystyle{ 30}\) i \(\displaystyle{ 60}\) są w tej samej klasie i nie możesz liczyć jej podwójnie.

Klas abstrakcji będzie tyle, ile różnych "zestawów" dzielników pierwszych liczb z rozważanego przedziału. I to trzeba niestety porachować... Nie wiem, czy jest szybszy sposób niż wypisanie tych "zestawów".

JK