Element największy zbioru

[mikesz1738]

Witam,

Treść zadania to "Zbadać czy istnieje element największy zbioru \(\displaystyle{ D = \left\{ \sqrt[n]{n} : n \in N_{+}\right\} }\)"

Proszę o wskazanie błędu w moim toku rozumowania.

Z definicji:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N_{+}}\bigvee\limits_{b\in D} \sqrt[n]{n} \le b}\)

\(\displaystyle{ n^{ \frac{1}{n} } \le b}\)

\(\displaystyle{ (n^{ \frac{1}{n} })^{n} \le b^{n} }\)

\(\displaystyle{ n \le b^{n} }\)

\(\displaystyle{ \log_{n}n \le \log_{n}b^{n}}\)

\(\displaystyle{ 1 \le n\log_{n}b}\)

Teraz aby spełnić warunek dla elementu największego należy pokazać, że:

\(\displaystyle{ n\log_{n}b \ge 1}\)

Do spełnienia tego warunku wystarczy żeby było \(\displaystyle{ n \ge 1 \wedge \log_{n}b \ge 1}\)

Ponieważ n należy do liczba naturalnych dodatnich (większych od zera) pierwsza część warunku jest zawsze spełniona. Dalej mam:

\(\displaystyle{ \log_{n}b \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \log_{n}b \ge \log_{n}n}\)

\(\displaystyle{ b \ge n}\)

Czyli w zbiorze D musiałaby istnieć liczba ograniczająca z góry zbiór N+ co (moim zdaniem) jest sprzecznością i świadczyłoby o braku elementu największego.

Zgodnie z odpowiedzią jednak taki element istnieje i \(\displaystyle{ maxD = \sqrt[3]{3} }\)

Pozdrawiam,

Michał

[Janusz Tracz]

Treść zadania to "Zbadać czy istnieje element największy zbioru \(\displaystyle{ D = \left\{ \sqrt[n]{n} : n \in N_{+}\right\} }\)"

W taki razie wystarczy napisać :

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\)

ciąg zbieżny jest ograniczony oraz osiąga swoje kresy.

Z definicji:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N_{+}}\bigvee\limits_{b\in D} \sqrt[n]{n} \le b}\)

A nie zamieniłeś kolejności kwantyfikatorów? Napisałeś, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) istnieje ograniczenie w szczególności można było by brać \(\displaystyle{ b= \sqrt[n]{n} }\) nierówność \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[n]{n}}\) jest spełnią. A Tobie zależny na pokazaniu, że istnieje takie \(\displaystyle{ b\in D}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le b }\), oraz, że jest to najlepsze ograniczenie. Ja proponuję analizę funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{ \frac{1}{x} }}\). Można pokazać, że funkcja to rośnie od zera do \(\displaystyle{ e}\) a potem maleje zatem kandydatami na maksimum funkcji \(\displaystyle{ f}\) obciętej do \(\displaystyle{ \NN}\) są \(\displaystyle{ \sqrt[2]{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3} }\) (oczywiście ostatecznie jedna z tych wartości wygrywa).

[Jan Kraszewski]

Do spełnienia tego warunku wystarczy żeby było \(\displaystyle{ n \ge 1 \wedge \log_{n}b \ge 1}\)

Chcę sobie kupić samochód. Do spełnienia tego warunku wystarczy, że wygram 200 mln złotych w Eurojackpot. Czy fakt, że nie wygrałem powoduje, że na pewno nie kupię samochodu?

Wybrałeś bardzo nieoptymalny warunek wystarczający...

JK

[mikesz1738]

Witam,

1. Bardzo trafna uwaga na temat kolejności kwantyfikatorów,
2. Analiza przebiegu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x ^{\frac{1}{x} } }\) faktycznie pokazuje, że \(\displaystyle{ n^{ \frac{1}{n} } \le b}\) jest spełnione a najmniejszego ograniczenia górnego \(\displaystyle{ b}\) (a co za tym idzie największego elementu badanego zbioru należy szukać dla \(\displaystyle{ n \in <2,3>}\) co przy ograniczeniu \(\displaystyle{ n}\) do liczb naturalnych daje \(\displaystyle{ n=2 \vee n=3}\) a proste podstawienia i porównania pozwalają sprawdzić, że największy element zbioru mamy dla \(\displaystyle{ n = 3}\),
3. Jedna rzecz która mnie zastanawiała - głównie z punktu widzenia toku rozumowania przy tego typu problemach - starałem się jeszcze sprawdzić czy da się to rozwiązać bardziej "wprost", nie badając przebiegu powyższej funcji ale wszelkie przekształcenia z wykorzystaniem własności potęg i logarytmów doprowadzały mnie ostatecznie do postaci (warunku) \(\displaystyle{ n^{ \frac{1}{n} } \le b}\)

Pozdrawiam,

Michał

[Janusz Tracz]

Można indukcyjnie wykazać, że dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ n^3 \le 3^n}\) zatem zrównoważanie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[3]{3} }\). Ponad to dla \(\displaystyle{ n=3}\) zachodzi równość zatem \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3} }\) jest maksimum \(\displaystyle{ \left\{ \sqrt[n]{n}: n\in\NN \right\} }\).

PS wcześniej napisałem, że ciąg zbieżny osiąga kresy jest to prawdziwe ale na gruncie tego zadania nie jest jednak prawdą ogólną, chciałem to jeszcze dodać.

[mikesz1738]

Witam,

Dziękuję za cenne porady.

Pozdrawiam,

Michał