Antysymetryczność

[MariaCurie]

Mam problem z tym jak sprawdzić czy relacja
\(\displaystyle{ R = \left\{ (x, y) \in \ZZ^{2}: x=1 \wedge y=-2\right\} }\)
jest antysymetryczna.
Wydaje mi się, że nie jest, ponieważ nie istnieje taka para \(\displaystyle{ (x, y)}\) żeby relację spełniała też para \(\displaystyle{ (y, x)}\), więc warunek antysymetryczności, że "jeśli \(\displaystyle{ (x, y)}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R}\) i jeśli \(\displaystyle{ (y, x)}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R}\)..." nie jest spełniony, bo przecież relacja zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=-2}\).
Jak to formalnie zapisać?

Dodano po 31 minutach 36 sekundach:
Okej, chyba rozumiem, czy ta relacja będzie antysymetryczna, ponieważ jest przeciwsymetryczna?

Dodano po 9 minutach 2 sekundach:
I jeśli dobrze rozgryzłam, że będzie ona antysymetryczna, to jeszcze jedno pytanie - czy będzie przechodnia? Wydaje mi się że nie, ale kolejny raz mam problem z formalnym dowodem dlaczego

[Jan Kraszewski]

Mam problem z tym jak sprawdzić czy relacja
\(\displaystyle{ R = \left\{ (x, y) \in \ZZ^{2}: x=1 \wedge y=-2\right\} }\)

Czyli \(\displaystyle{ R=\{(1,-2)\}.}\)

Wydaje mi się, że nie jest, ponieważ nie istnieje taka para \(\displaystyle{ (x, y)}\) żeby relację spełniała też para \(\displaystyle{ (y, x)}\), więc warunek antysymetryczności, że "jeśli \(\displaystyle{ (x, y)}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R}\) i jeśli \(\displaystyle{ (y, x)}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R}\)..."

Te pary mogą co najwyżej należeć do \(\displaystyle{ R}\).

nie jest spełniony, bo przecież relacja zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=-2}\).

No i co z tego? Jak miałoby to wpływać na brak antysymetrii?

Okej, chyba rozumiem, czy ta relacja będzie antysymetryczna, ponieważ jest przeciwsymetryczna?

Tak, ale to wynika równie dobrze z definicji antysymetrii.

I jeśli dobrze rozgryzłam, że będzie ona antysymetryczna, to jeszcze jedno pytanie - czy będzie przechodnia? Wydaje mi się że nie, ale kolejny raz mam problem z formalnym dowodem dlaczego

Jeżeli uważasz, że nie jest przechodnia, to powinnaś potrafić wskazać kontrprzykład.

JK

[MariaCurie]

Dziękuję za odpowiedź, właśnie nie umiem dobrać kontrprzykładu, z racji że jeśli \(\displaystyle{ xRy}\) to \(\displaystyle{ y}\) nie może być już w relacji z \(\displaystyle{ z}\), bo wtedy \(\displaystyle{ y=-2}\)... więc nie wiem co robić

[Jan Kraszewski]

A może jak nie możesz znaleźć kontrprzykładu, to warto rozważyć opcję, że go nie ma?

JK

[Dasio11]

I spróbować to udowodnić, na przykład: nie wprost.

[MariaCurie]

Okej, przepraszam, ale wydaje mi się, że naprawdę nie potrafię pojąć dlaczego ta relacja miała by być przechodnia.
Jeżeli miałabym udowodnić to przez kontrprzykład to powinnam udowodnić, że jest sprzecznością, że jednocześnie
\(\displaystyle{ (x, y) \in R \wedge (y, z) \in R \wedge (x, z) \notin R }\)
Ale dalej jest to dla mnie sytuacja, której nie umiem dalej rozpisać, ani wywnioskować z tego przechodniości
Będę wdzięczna za dalszą pomoc

[Dasio11]

Jeśli \(\displaystyle{ (x, y) \in R}\), to co możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ?

[MariaCurie]

Mogę powiedzieć, że \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=-2}\)

[Dasio11]

A co jeszcze możesz wywnioskować z pozostałych założeń?

[MariaCurie]

Czy chodzi o to, że powinnam wywnioskować, że skoro
\(\displaystyle{ (y, z) \in R }\) to "z" = -2, a wtedy
\(\displaystyle{ (x, z) \in R }\)
a w założeniach było
\(\displaystyle{ (x, z) \notin R }\)
i tu jest sprzeczność?

[Jan Kraszewski]

Zgadza się.

Nawiasem mówiąc, każda jednolementowa relacja jest przechodnia.

JK

[MariaCurie]

Dziękuję bardzo!