Relacja podzielnosci - o co tutaj chodzi?

[Krist0f2]

Mam zadanie, zeby wyznaczyc elementy najwieksze, najmniejsze, minimalne i maksymalne dla zbioru z relacja podzielnosci \(\displaystyle{ \{ 1,3,5,7,9,11,13 \}}\).

Zupelnie nie wiem jak to robic a definicje mi kompletnie nic nie mowia. Wyjasni ktos?

[Premislav]

Najmniejszy to będzie, jak się będą przez niego dzieliły bez reszty wszystkie pozostałe, minimalny – jeśli żaden inny niż on sam nie będzie się przezeń dzielił bez reszty, maksymalny – jeśli żaden inny nie będzie się przez niego dzielił bez reszty, największy – jeśli będzie się dzielił bez reszty przez wszystkie pozostałe. Oczywiście jak masz element najmniejszy (tutaj będzie), to masz dokładnie jeden minimalny i właśnie on nim jes, podobnie jak masz element największy (tutaj go nie będzie), to jest dokładnie jeden maksymalny i to też ten największy.

[Krist0f2]

"minimalny – jeśli żaden inny niż on sam nie będzie się przezeń dzielił bez reszty" - tego nie rozumiem. za duzo zaprzeczen.

[Premislav]

Ech, to może pokażę, o co mniej więcej chodzi w tej całej relacji podzielności.

Mamy jakiś skończony podzbiór zbioru liczb naturalnych (może nie musi być skończony, ale kiepska pogoda i nie chce mi się o tym myśleć), na przykład
\(\displaystyle{ \left\{2,3, 5, 25, 33, 48, 96\right\}}\) z relacja podzielności.
Dla liczb \(\displaystyle{ A,\ B}\) z tego zbioru powiemy, że \(\displaystyle{ A\mathbb{\le }B}\) (w sensie naszej relacji podzielności), jeśli
\(\displaystyle{ A}\) dzieli \(\displaystyle{ B}\) bez reszty, czyli na przykład \(\displaystyle{ 5\le 25}\), ponieważ \(\displaystyle{ 25=5\cdot 5}\) czy też
\(\displaystyle{ 48\le 96}\), gdyż \(\displaystyle{ 96=2\cdot 48}\), ale już \(\displaystyle{ \neg\left(25\le 33\right)}\), wszak \(\displaystyle{ 33=1\cdot 25+\red{8}}\) (niezerowa reszta). No i teraz element największy, o ile będzie, to będzie taki, że wszystko się przez niego dzieli, element najmniejszy o ile istnieje, to będzie taki, że nic się przez niego nie dzieli (prócz niego samego), a element minimalny to każdy taki, który przez inny się nie dzieli, maksymalny to taki, który nie jest dzielnikiem żadnego innego.
Czyli na przykład \(\displaystyle{ 96}\) będzie tu jednym z elementów maksymalnych, bo skoro jest większy jako liczba rzeczywista od wszystkich pozostałych, to nie może się dzielić przez żaden z pozostałych. No ale nie będzie elementem największym, bo na przykład
\(\displaystyle{ 33}\) nie jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 96}\), mamy bowiem \(\displaystyle{ 96=2\cdot 33+30}\).
Elementami minimalnymi są w tym moim przykładzie \(\displaystyle{ 2, \ 3, \ 5}\) i żaden z nich nie jest najmniejszym, bo np. tak \(\displaystyle{ 2\nmid 5}\), jak i \(\displaystyle{ 5\nmid 2}\) i podobnie w pozostałych parach, żaden z nich nie dzieli wszystkich pozostałych.

[Krist0f2]

dobra, juz czaje dzieki za poswiecony czas. najwiekszy i najmniejszy od razu zalapalem, ale z tymi dwoma (minimalny i maksymalny) mialem problem.