Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

[Jan Kraszewski]

A jeśli wpływa, to dlaczego Pan odrzucił \(\displaystyle{ n}\) pierwszych składników Czegoś tu nie rozumiem.

To wróć do swojego posta:

niech \(\displaystyle{ n}\) będzie najmniejszym numerem dla którego \(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right).}\)

JK

[Jakub Gurak]

Czyli dla każdego \(\displaystyle{ k<n, }\) mamy \(\displaystyle{ a(k) =b(k)}\), tak

[Jan Kraszewski]

A jak inaczej chciałbyś rozumieć stwierdzenie

niech \(\displaystyle{ n}\) będzie najmniejszym numerem dla którego \(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right).}\)

?

JK

[Jakub Gurak]

No najmniejsze \(\displaystyle{ n}\), gdzie ciągi \(\displaystyle{ a,b}\) się różnią co do wartości.

Chodzi Panu o to, że gdyby dla \(\displaystyle{ k< n}\) byłoby \(\displaystyle{ a\left( k\right) \neq b\left( k\right) ,}\) to \(\displaystyle{ k}\) byłoby mniejsze od \(\displaystyle{ n}\), i \(\displaystyle{ a\left( k\right) \neq b\left( k\right) , }\) a \(\displaystyle{ n}\) jest najmniejszą taką liczbą- sprzeczność. O to chodzi

[a4karo]

Jakub, nie szukaj wszędzie sprzecznosci. Po prostu myśl. Matematyka na poziomie jest prosta.

[Jakub Gurak]

To chyba dobrze, że zadaje pytania, od tego się robi dobre rozumienie.

I matematyka nie jest prosta, żaden poważny matematyk tak nie powie.

[a4karo]

fakt, matematyka nie jest prosta. W tym, co napisałem powyżej zabrakło słowa "tym". Matematyka na tym poziomie jest prosta.

[Jan Kraszewski]

To chyba dobrze, że zadaje pytania, od tego się robi dobre rozumienie.

Możesz oczywiście zadawać, ale to wygląda tak, jakbyś bał się samodzielnie rozumować.

Skoro bierzesz najmniejszy indeks dla którego wyrazy ciągów się różnią, to oczywiste jest, że wyrazy o mniejszych indeksach są równe. To nie jest matematyka wyższa. A Ty robisz z tego problem, który wymaga oddzielnego dowodu...

JK

[Jakub Gurak]

No więc kontynuując:

\(\displaystyle{ 0= \sum_{k \in \NN} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \sum_{k<n} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }+ \sum_{k \ge n} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \sum_{k<n} \frac{b\left( k\right)-b\left( k\right) } {2 ^{k+1} }+ \sum_{k \ge n} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \\ =\sum_{k<n} 0+ \frac{b\left( n\right) - a\left( n\right) }{2 ^{n+1} } + \sum_{k \ge n'=n+1} \frac{b \left( k\right) - a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } \stackrel {a(n)=0,b(n)=1 }{=} 0+ \frac{1}{2 ^{n+1} }+ \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) - a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \frac{1}{2 ^{n+1} } + \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } \ge }\), co możemy oszacować (gdyż \(\displaystyle{ a\left( k\right) \in \left\{ 0,1\right\} }\)), więc to jest większe lub równe od:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} } + \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) -1}{2 ^{k+1} } }\), i dalej, ponieważ \(\displaystyle{ b \left( k\right) \in\left\{ 0,1\right\},}\) więc to jest większe lub równe niż:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} }+ \sum_{k \ge n'} \frac{0-1}{2 ^{k+1} } = \frac{1}{2 ^{n+1} }-\left( \frac{1}{2 ^{n+2} }+ \frac{1}{2 ^{n+3} }+\ldots \right)= \frac{1}{2 ^{n+1} }- \frac{1}{2 ^{n+1} }=0.}\)

No więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} }+ \sum_{k \ge n'} \frac{b \left( k \right)-1 }{2 ^{k+1} } =0.}\)

I podobnie drugie wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) może nie będę przepisywał go.

A więc w końcu mogę się zgodzić.

Co to oznacza, no wtedy obydwa te szeregi mają tą samą sumę, równą \(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n+1} }. }\) No nie wiem

[a4karo]

Cóż, na razie sprawdziłeś, że to, co napisałem jest prawdą Masz zatem ciąg: nierówności:

\(\displaystyle{ 0=A\geq B\geq C\geq 0}\)
(teraz mi sie nie chce przepisywać)

Co z tego wynika? Kiedy to zachodzi?

Dodano po 3 godzinach 30 minutach 53 sekundach:
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Dopiero teraz przypatrzyłem się dokładnie jak przerobiłeś moje nierównośći

No więc kontynuując:

\(\displaystyle{ 0= \sum_{k \in \NN} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \sum_{k<n} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }+ \sum_{k \ge n} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \sum_{k<n} \frac{b\left( k\right)-b\left( k\right) } {2 ^{k+1} }+ \sum_{k \ge n} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \\ =\sum_{k<n} 0+ \frac{b\left( n\right) - a\left( n\right) }{2 ^{n+1} } + \sum_{k \ge n'=n+1} \frac{b \left( k\right) - a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } \stackrel {a(n)=0,b(n)=1 }{=} 0+ \frac{1}{2 ^{n+1} }+ \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) - a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \frac{1}{2 ^{n+1} } + \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } \ge }\), co możemy oszacować (gdyż \(\displaystyle{ a\left( k\right) \in \left\{ 0,1\right\} }\)), więc to jest większe lub równe od:

Po co nowy byt `n'`?

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} } + \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) -1}{2 ^{k+1} } }\), i dalej, ponieważ \(\displaystyle{ b \left( k\right) \in\left\{ 0,1\right\},}\) więc to jest większe lub równe niż:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} }+ \sum_{k \ge n'} \frac{0-1}{2 ^{k+1} } = \frac{1}{2 ^{n+1} }-\left( \frac{1}{2 ^{n+2} }+ \frac{1}{2 ^{n+3} }+\ldots \right)= \frac{1}{2 ^{n+1} }- \frac{1}{2 ^{n+1} }=0.}\)

No więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} }+ \sum_{k \ge n'} \frac{b \left( k \right)-1 }{2 ^{k+1} } =0.}\)

No to akurat nie jest prawdą. Chyba że...
Jakie drugie wyrażenie?

I podobnie drugie wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) może nie będę przepisywał go.

A więc w końcu mogę się zgodzić.

Co to oznacza, no wtedy obydwa te szeregi mają tą samą sumę, równą \(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n+1} }. }\) No nie wiem

[Jakub Gurak]

Masz zatem ciąg: nierówności:

\(\displaystyle{ 0=A\geq B\geq C\geq 0.}\)

Mamy nawet wprost \(\displaystyle{ C=0}\).

Co z tego wynika? Kiedy to zachodzi?

\(\displaystyle{ B=0}\) (i oczywiście \(\displaystyle{ A=0=C}\)).

Po co nowy byt "n' "?

Tak oznaczyłem następnik \(\displaystyle{ n}\)- \(\displaystyle{ n+1}\), żeby skrócić zapis pod symbolem \(\displaystyle{ \sum .}\)

[a4karo]

Ale to znaczy również, że nierówności są równościami. Wróć do nich i zbadaj kiedy zachodzą równości (czyli zrób to, o co proszę od dwóch dni).

[Jakub Gurak]

\(\displaystyle{ \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } =\frac{-1}{2 ^{n+1} }= \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) -1}{2 ^{k+1} }.}\)

Pewnie oczekuje Pan bardziej semantycznej odpowiedzi, ale ja nie wiem, dla mnie te szeregi mają tylko tą samą sumę, ale nie wiem, z szeregów nie jestem dobry.

Może jakaś wskazówka

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{2 ^{k+1} } =\frac{1}{2 ^{n+1} }}\)

JK

[a4karo]

No to niech tymi rozwinięciami będą `b=.001010010010010101...` i `a=.00010101010..`
Wyznacz `n`
Oblicz sześć pierwszych sum częściowych szeregów
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } }}\)
i
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) -1}{2 ^{k+1} }.}}\)



Wydają Ci się równe?

Czyżby mi się wydawało, że uważasz szeregi za jakieś magiczne zapisy??? Przecież ich sumy to zwykłe liczby: jak dodasz mniejsze kawałki to suma będzie mniejsza, dodasz większe - to większa. Jak w życiu