Pomoc w zrozumieniu relacji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Mr Joker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 lis 2016, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska

Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Mr Joker »

Witam,
pomoże ktoś zrozumieć na przykładzie? Zależy mi na "obrazowym" pokazaniu

Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) mieszkają w sąsiednim województwie. Podaj i opisz wszystkie relacje dotyczące tego przykładu. Które relacje zachodzą?

Chodzi mi o pomoc w zrozumieniu tego; opis ma wyglądać tak:
SYMETRYCZNA: skoro \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), to \(\displaystyle{ p_2}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc zachodzi relacja symetrii

Z góry bardzo dziękuję za pomoc!
Ostatnio zmieniony 1 kwie 2020, o 22:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: a4karo »

To może najpierw napisz o jaką relację chodzi i na jakim zbiorze jest ona określona. Używasz tutaj słowa "relacja" w znaczeniu "zależność, związek", a w matematyce relacja to coś innego. Symetria jest własnością relacji, a nie własnością pary elementów.


Tak sformułowane zadania ma w ogóle mało sensu: moim sąsiadem jest kolega z bloku a nie znajomy z sąsiedniego województwa, a "relacji" może być mnóstwo: `p_1` ma dłuższy nos, `p_2` ma lepszą brykę ...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Jan Kraszewski »

Mr Joker pisze: 1 kwie 2020, o 22:25Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) mieszkają w sąsiednim województwie. Podaj i opisz wszystkie relacje dotyczące tego przykładu. Które relacje zachodzą?
Polecenie jest mocno nieprecyzyjne. Po pierwsze, nie jest określone, na jakim zbiorze określona jest ta relacja. Po drugie, pytanie "Które relacje zachodzą?" jest bez sensu. Skąd masz ten przykład?

Rozumiem, że chcesz rozważać relację \(\displaystyle{ R}\), określoną np. na zbiorze mieszkańców Polski, zadaną warunkiem

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x\mbox{ i }y\mbox{ mieszkają w sąsiadujących województwach}}\)

i interesuje Cię, jakie własności ma taka relacja. Czy tak?
Mr Joker pisze: 1 kwie 2020, o 22:25Chodzi mi o pomoc w zrozumieniu tego; opis ma wyglądać tak:
SYMETRYCZNA: skoro \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), to \(\displaystyle{ p_2}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc zachodzi relacja symetrii
Oj, nie tak.

JK
Mr Joker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 lis 2016, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Mr Joker »

Jan Kraszewski pisze: 1 kwie 2020, o 22:34
Mr Joker pisze: 1 kwie 2020, o 22:25Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) mieszkają w sąsiednim województwie. Podaj i opisz wszystkie relacje dotyczące tego przykładu. Które relacje zachodzą?
Polecenie jest mocno nieprecyzyjne. Po pierwsze, nie jest określone, na jakim zbiorze określona jest ta relacja. Po drugie, pytanie "Które relacje zachodzą?" jest bez sensu. Skąd masz ten przykład?

Rozumiem, że chcesz rozważać relację \(\displaystyle{ R}\), określoną np. na zbiorze mieszkańców Polski, zadaną warunkiem

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x\mbox{ i }y\mbox{ mieszkają w sąsiadujących województwach}}\)

i interesuje Cię, jakie własności ma taka relacja. Czy tak?
Mr Joker pisze: 1 kwie 2020, o 22:25Chodzi mi o pomoc w zrozumieniu tego; opis ma wyglądać tak:
SYMETRYCZNA: skoro \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), to \(\displaystyle{ p_2}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc zachodzi relacja symetrii
Oj, nie tak.

JK
Dokładnie o taka relację mi chodzi
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Jan Kraszewski »

W takim razie relacja jest symetryczna, bo dla dowolnych dwóch osób \(\displaystyle{ x,y}\) mieszkających na terenie Polski, jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mieszkają w sąsiadujących województwach, to \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x}\) mieszkają w sąsiadujących województwach.

Możesz zastanowić się, dlaczego ta relacja jest przeciwzwrotna, nie jest przechodnia i nie jest spójna. To, że nie jest w żaden sposób antysymetryczna i nie jest zwrotna wynika wtedy z ogólnej teorii, choć można to także pokazać bezpośrednio.

Oczywiście argument będzie wyglądał trochę inaczej, gdy zaczniemy formalizować, co to znaczy, że "\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mieszkają w sąsiadujących województwach". Na razie opieramy się na intuicyjnej interpretacji pojęcia "sąsiadujące województwa".

JK
Mr Joker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 lis 2016, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Mr Joker »

Przechodnia
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\). To, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), nie oznacza, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc nie jest przechodnia

Dobrze myślę? A co w przypadku antysymetrii?
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2020, o 17:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Janusz Tracz »

Mr Joker pisze: 2 kwie 2020, o 15:51 Przechodnia
Załóżmy, że p3 jest sąsiadem p2. To, że p3 jest sąsiadem p2, nie oznacza, że p3 jest sąsiadem p1, więc nie jest przechodnia
Za mało założeń zrobiłeś. Trzeba jeszcze założyć, że ustalamy takie \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\) bez tego założenia nie odniósł byś się do definicji.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: a4karo »

Janusz Tracz pisze: 2 kwie 2020, o 16:12
Mr Joker pisze: 2 kwie 2020, o 15:51 Przechodnia
Załóżmy, że p3 jest sąsiadem p2. To, że p3 jest sąsiadem p2, nie oznacza, że p3 jest sąsiadem p1, więc nie jest przechodnia
Za mało założeń zrobiłeś. Trzeba jeszcze założyć, że ustalamy takie \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\) bez tego założenia nie odniósł byś się do definicji.
A czym ma być to `p`?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Janusz Tracz »

Mieszkańcem Polski, to był nieindeksowany skrót odnoszący się jakiegoś \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\).
wytłumaczenie przechodniości:    
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Jan Kraszewski »

Mr Joker pisze: 2 kwie 2020, o 15:51 Przechodnia
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\). To, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), nie oznacza, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc nie jest przechodnia
To jest słuszna intuicja, ale nie uzasadnienie.
Janusz Tracz pisze: 2 kwie 2020, o 16:31
wytłumaczenie przechodniości:    
No to też nie jest uzasadnienie.

Uzasadnienie polega na wskazaniu konkretnych mieszkańców Polski, którzy świadczą o braku przechodniości. Przy czym ja uznałbym za konkretny taki kontrprzykład:

\(\displaystyle{ p_1}\) - mieszkaniec Wrocławia
\(\displaystyle{ p_2}\) - mieszkaniec Opola
\(\displaystyle{ p_3}\) - mieszkaniec Katowic

JK
Mr Joker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 lis 2016, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Mr Joker »

A co w przypadku antysymetrii?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Jan Kraszewski »

Jak definiujesz antysymetrię?

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: a4karo »

Janusz Tracz pisze: 2 kwie 2020, o 16:31 Mieszkańcem Polski, to był nieindeksowany skrót odnoszący się jakiegoś \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\).
wytłumaczenie przechodniości:    
Twoje uzasadnienie byłoby wadliwe, gdyby Polska składała się z dwóch lub trzech ułożonych w "serek" województw
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Janusz Tracz »

Jan Kraszewski pisze: 2 kwie 2020, o 18:00
Janusz Tracz pisze: 2 kwie 2020, o 16:31
wytłumaczenie przechodniości:    
No to też nie jest uzasadnienie.
Słowa ustalamy takich są tu bez sensu. Znacznie bardziej pasuje wskazujemy takich \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\), że... Dziękuję za tą uwagę.
a4karo pisze:Twoje uzasadnienie byłoby wadliwe, gdyby Polska składała się z dwóch lub trzech ułożonych w "serek" województw
Ja patrzyłem na mapę polski jak na graf planarny gdzie każde województwo to wierzchołek takiego grafu. Wtedy nie ma możliwości, że jakiś mieszkaniec mieszka jednocześnie w dwóch województwach.

EDIT: literówka, dziękuję JK.
Mr Joker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 lis 2016, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska

Re: Pomoc w zrozumieniu relacji

Post autor: Mr Joker »

Jan Kraszewski pisze: 2 kwie 2020, o 18:48 Jak definiujesz antysymetrię?

JK
właśnie dobre pytanie, pytam właśnie dlatego, by obrazowo to zrozumieć
ODPOWIEDZ