przeciwsymetria należenia

[foundofmath]

Formuły \(\displaystyle{ x \notin x, x \in y \Rightarrow y \notin x}\) języka teorii mnogości są twierdzeniami teorii mnogości jednakże wszystkie znane mi dowody tych twierdzeń opierają się na aksjomacie regularności i aksjomacie pary w taki sposób, że w ramach zredukowania postawionej kontrfaktycznej hipotezy do absurdu konstruowany jest odpowiedni zbiór pomocniczo. Skąd ta jednomyślność w koncepcie skoro wystarczy sam aksjomat regularności (z aksjomatów stricte mnogościowych, a nie logicznych z równością)?

[Dasio11]

Skąd ta jednomyślność w koncepcie skoro wystarczy sam aksjomat regularności (z aksjomatów stricte mnogościowych, a nie logicznych z równością)?

Nie wystarczy.

[foundofmath]

Dlaczego nie wystarczy?

[Dasio11]

Bo potrafię zbudować model spełniający aksjomat regularności, w którym rzeczone twierdzenia nie zachodzą.

A z ciekawości: dlaczego myślisz, że aksjomat regularności wystarczy?

[foundofmath]

A z ciekawości: dlaczego myślisz, że aksjomat regularności wystarczy?

Ponieważ jestem w stanie wywnioskować syntaktycznie obie formuły z samego tylko aksjomatu regularności \(\displaystyle{ \forall x ((\exists z \ (z \in x))\Rightarrow (\exists u(u\in x \wedge (\neg(\exists z (z \in x \wedge z \in u) )) )) )}\), posługując się aparaturą logiczną.

[Dasio11]

Jeśli przedstawisz ten dowód w jakiejś strawnej postaci (najlepiej jako rozumowanie semantyczne), gotów jestem zadeklarować chęć przejrzenia go w celu znalezienia błędu, lub w przypadku jego poprawności - wycofać się z twierdzenia, że mam model obalający Twą tezę. Jednak uprzedzam z góry, że dowodu ponaddwudziestolinijkowego czysto syntaktycznego nie podejmuję się sprawdzać, możesz natomiast zrobić to samodzielnie, sprawdzając po kolei prawdziwość wszystkich zdań w modelu, który mam na myśli: \(\displaystyle{ |M| = \{ \varnothing, a, b \}}\) oraz \(\displaystyle{ {\in}^M = \{ (\varnothing, a), (\varnothing, b), (a, a), (a, b), (b, a) \}}\).

[foundofmath]

Tak, masz oczywiście rację, a co do mojego "dowodu" to omyłkowo użyłem niewłaściwego spójnika, co było dalej mechanicznie powielane. Nie umiem tego wywieść z samego aksjomatu regularności.