O aksjomacie wyboru

[login1977]

Mamy dany zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN }\) i zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR }\).
Dzięki aksjomatowi wyboru widać że ze zbioru mocy alef zero \(\displaystyle{ \left\{\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\},\left\{ 3\right\}...\right\} }\) można wybrać po jednym zbiorze i utworzyć nowy zbiór być może taki sam. Jakoś nie widzę by było to możliwe dla zbioru mocy continuum \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ x\right\},\left\{ y\right\},\left\{ z\right\}... \right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ x, y, z... \in \RR}\) ponieważ nie widzę sensownej metody wyboru ( chyba że wybieram wszystkie jednocześnie ). Jak wobec tego rozumieć aksjomat wyboru?

[Dasio11]

Jeśli pytasz, dlaczego istnieje selektor rodziny \(\displaystyle{ \{ \{ x \} : x \in \RR \}}\), to takim selektorem jest \(\displaystyle{ \RR}\) i nie potrzeba do tego aksjomatu wyboru.

[Jan Kraszewski]

Dzięki aksjomatowi wyboru widać że ze zbioru mocy alef zero \(\displaystyle{ \left\{\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\},\left\{ 3\right\}...\right\} }\) można wybrać po jednym zbiorze i utworzyć nowy zbiór być może taki sam.

To sformułowanie nie ma sensu. Jeżeli myślisz o istnieniu selektora dla rodziny \(\displaystyle{ \{\{n\}:n\in\NN\}}\) to jego elementy są liczbami, a nie zbiorami. Poza tym istnienie tego selektora nie ma nic wspólnego z Aksjomatem wyboru, bo tym selektorem jest po prostu zbiór \(\displaystyle{ \NN}\).

Jakoś nie widzę by było to możliwe dla zbioru mocy continuum \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ x\right\},\left\{ y\right\},\left\{ z\right\}... \right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ x, y, z... \in \RR}\) ponieważ nie widzę sensownej metody wyboru ( chyba że wybieram wszystkie jednocześnie ).

Selektorem dla rodziny \(\displaystyle{ \{\{x\}:n\in\RR\}}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) i znów nie ma to nic wspólnego z Aksjomatem wyboru.

Jak wobec tego rozumieć aksjomat wyboru?

Nie tak, jak powyżej. Stwierdzenie "nie widzę sensownej metody wyboru" sugeruje, że uważasz, iż powinieneś taką metodę widzieć. Abstrahując od bardzo źle dobranego powyższego przykładu, w ogólnej sytuacji cały "kłopot" z Aksjomatem wyboru polega na tym, że nie masz pojęcia, jak wygląda selektor, którego istnienie zapewnia ten aksjomat. Co więcej, można powiedzieć, że gdybyś w jakiejś sytuacji takie pojęcie miał, to Aksjomat wyboru po prostu nie byłby wtedy potrzebny.

JK

[Jakub Gurak]

Ale jednak w pewnym sensie zgadzam się z autorem. W takim sensie, że różne równoważne fakty aksjomatowi wyboru doskonale się sprawdzają w zbiorach skończonych czy przeliczalnych (np. Twierdzenie Zermelo, twierdzenie o maksymalnym łańcuchu) natomiast w zbiorach większych niż przeliczalne mogą być bardzo kłopotliwe. Myślę, że różne stwierdzenia równoważne aksjomatowi wyboru mają taką wspólną cechę, że wymagają prowadzenia konstrukcji krok po kroku ( w sensie element po elemencie) jednak w zbiorze dowolnej mocy. No niestety, formułując aksjomat wyboru jako jeden z aksjomatów teorii mnogości ZFC wygodniej to było zrobić w ogólności, gdyż gdy byśmy chcieli się ograniczyć do zbiorów co najwyżej przeliczalnych, to pytanie co to znaczy? Aksjomat musi być podany jako podstawa teorii aksjomatycznej, a nie powinien wymagać rozwoju teorii( czyli tutaj konstrukcja zbioru liczb naturalnych von Neumanna, teoria dotycząca funkcji, bijekcji, teoria mocy zbiorów , itd.) Sformułowano ten aksjomat w ogólności: dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych, to wtedy aksjomat wyboru głosi, że istnieje zbiór, który z każdym każdym zbiorem tej rodziny ma dokładnie jeden element wspólny. Oczywiste?? Wybrać po jednym elemencie z każdego zbioru tej rodziny A co jeśli rodzina jest nieprzeliczalna I może w tym leży problem.
Z drugiej jednak strony istnienie w teorii mnogości zbiorów większych niż przeliczalne, nie jest sprawą oczywistą( ja osobiście na pewno nie przyjąłbym takiego aksjomatu, że istnieją zbiory nieprzeliczalne(też pytanie co to znaczy- wiadomo, tak jak rozumiemy ), to że odcinek \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) jest nieprzeliczalny, jest dla mnie wysoce nieoczywistym nieintuicyjnym twierdzeniem , no ale po zrozumieniu dowodu je akceptuje), ale jeszcze raz- pojawienie się w teorii mnogości zbiorów większych niż przeliczalne nie jest celowe. Aksjomat wyboru został wprowadzony w ogólności, wobec czego działa w ogólności , w zbiorach większych niż przeliczalne( również), co prawda może być kłopotliwy, prawda. Rozwój teorii mnogości przyniósł wiele niespodzianek, i nie jest rzeczą prostą. Ale za to ile daje wrażeń.

[Jan Kraszewski]

Ale jednak w pewnym sensie zgadzam się z autorem. W takim sensie, że różne równoważne fakty aksjomatowi wyboru doskonale się sprawdzają w zbiorach skończonych czy przeliczalnych (np. Twierdzenie Zermelo, twierdzenie o maksymalnym łańcuchu)

Dla rodzin skończonych aksjomat wyboru jest zbędny.

Sformułowano ten aksjomat w ogólności: dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych, to wtedy aksjomat wyboru głosi, że istnieje zbiór, który z każdym każdym zbiorem tej rodziny ma dokładnie jeden element wspólny. Oczywiste?? Wybrać po jednym elemencie z każdego zbioru tej rodziny A co jeśli rodzina jest nieprzeliczalna I może w tym leży problem.

Problem nie leży w wybieraniu po jednym elemencie z każdego zbioru rodziny, jakiejkolwiek duża by ona była - to da się zrobić zawsze bez aksjomatu wyboru. Problem polega na tym, by te wybrane elementy tworzyły zbiór.

JK

[login1977]

Powinno być: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \left\{ 1\right\} \right\},\left\{ \left\{ 2\right\} \right\}... \right\} }\),
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \left\{ x\right\} \right\},\left\{ \left\{ y\right\} \right\}... \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ 1,2,... \in \NN}\) , \(\displaystyle{ x,y,... \in \RR}\)
ale to chyba nic nie zmieni.

[Jan Kraszewski]

Nie, nie zmieni. Tak samo wskazanie selektorów nie wymaga aksjomatu wyboru:

\(\displaystyle{ \{\{n\}:n\in\NN\}}\) i \(\displaystyle{ \{\{x\}:x\in\RR\}}\).

JK

[login1977]

\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\},... \right\} ,\left\{ \left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\},... \right\} ...\right\} }\),
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \left\{x \right\},\left\{ y\right\},... \right\} ,\left\{ \left\{ z\right\},\left\{ t\right\},... \right\} ...\right\} }\)
A dla takich rodzin wymaga?

[Jan Kraszewski]

A mógłbyś porządnie opisać te rodziny? Formalny opis nie używa kropeczek.

JK

[login1977]

Ogólnie to tak:
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \left\{ k _{n} \right\}:k _{n} \in\NN, n \in \NN \right\} \right\} }\)
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \left\{ x _{n} \right\}: x_{n} \in \RR, n \in \NN \right\} \right\} }\)

Dodano po 5 minutach 16 sekundach:
W drugim przypadku to nie wiem czy ma sens np. indeksowanie liczbami rzeczywistymi.

[Jan Kraszewski]

Przykro mi, ale te opisy są niepoprawne. Po pierwsze, obie rodziną są jednoelementowe (co zapewne nie było Twoim celem). Po drugie, opis

\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ k _{n} \right\}:k _{n} \in\NN, n \in \NN \right\} }\)

jest niedobry, zarówno formalnie, jak i praktycznie - nie wiadomo, o co tak naprawdę Ci chodzi. W drugim przykładzie jest dokładnie tak samo.

JK

[login1977]

To pewnie też źle ale na wszelki wypadek napiszę:
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ k_{n} \right\} ^{i} : k _{n} \in \NN, n \in \NN, i \in \NN \right\} }\)

Dodano po 2 minutach 20 sekundach:
Czy mógłbym prosić o poprawny zapis bez kropeczek?

[Jan Kraszewski]

To pewnie też źle ale na wszelki wypadek napiszę:
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ k_{n} \right\} ^{i} : k _{n} \in \NN, n \in \NN, i \in \NN \right\} }\)

Jeszcze gorzej. Co to jest \(\displaystyle{ \left\{ k_{n} \right\} ^{i}}\) ?

Czy mógłbym prosić o poprawny zapis bez kropeczek?

Ale ja nie wiem, co Ty masz na myśli. Właśnie dlatego uczy się studentów poprawnego opisu zbiorów, żeby potem potrafili poprawnie opisać to, co mają na myśli.

JK

[login1977]

Miałem na myśli \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę naturalną w \(\displaystyle{ i}\)-tym zbiorze liczb \(\displaystyle{ k_{n} }\).

[Jan Kraszewski]

Dalej nie wiem, jakie rodziny zbiorów masz na myśli.

JK