Granica górna i dolna ciągu zbiorów
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 mar 2020, o 18:26
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}A_n }\) oraz \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n}=\left( \frac{1}{n+1},2+\left( -1\right)^{n+1}\right) }\) .
Ostatnio zmieniony 27 mar 2020, o 17:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 mar 2020, o 18:26
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Tak, na granicę górną mam zbiór \(\displaystyle{ \left(1, \frac{1}{5}\right]}\), a na dolną \(\displaystyle{ (-1,2)}\), ale nie umiem tego wykazać jakoś formalnie
Ostatnio zmieniony 27 mar 2020, o 17:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Ale wiesz, że \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n \subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n}\) ? Co słabo pasuje do Twoich propozycji...
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 mar 2020, o 18:26
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Ajj, spojrzałam nie na ten przykład... Tutaj zarówno dolna, jak i górna granica wyszła mi równa zbiorowi \(\displaystyle{ (0,2)}\).
Ostatnio zmieniony 27 mar 2020, o 18:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
To zła odpowiedź. Ani granica dolna, ani górna tyle nie wynoszą.Karomatematycznie pisze: ↑27 mar 2020, o 18:09Tutaj zarówno dolna, jak i górna granica wyszła mi równa zbiorowi \(\displaystyle{ (0,2)}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 mar 2020, o 18:26
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Granica dolna ciągu \(\displaystyle{ \left( A_n\right) }\) to zbiór tych elementów, które należą do prawie wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) (czyli do wszystkich z wyjątkiem skończenie wielu).
Granica górna ciągu \(\displaystyle{ \left( A_n\right) }\) to zbiór tych elementów, które należą do nieskończenie wielu zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\).
JK
Granica górna ciągu \(\displaystyle{ \left( A_n\right) }\) to zbiór tych elementów, które należą do nieskończenie wielu zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 mar 2020, o 18:26
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Czy poprawną odpowiedzią jest zatem zbiór \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} ,2)}\) zarówno dla granicy dolnej, jak i górnej?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Skąd ten pomysł? [tak jak Pan Znany Ekonomista powiedział]
Żadna liczba nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) nie należy do wszystkich spośród tych zbiorów poza skończoną liczbą, a to dlatego, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ 2+(-1)^{n+1}=1}\) jest prawym końcem przedziału.
Co się stało z lewym krańcem, to już w ogóle nie wiem, ale zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}\in\NN^{+}}\), że gdy tylko \(\displaystyle{ n>n_{0}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{n_{0}+1}<x}\).
Żadna liczba nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) nie należy do wszystkich spośród tych zbiorów poza skończoną liczbą, a to dlatego, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ 2+(-1)^{n+1}=1}\) jest prawym końcem przedziału.
Co się stało z lewym krańcem, to już w ogóle nie wiem, ale zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}\in\NN^{+}}\), że gdy tylko \(\displaystyle{ n>n_{0}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{n_{0}+1}<x}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 mar 2020, o 18:26
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Mogłabym prosić o zweryfikowanie tego przykładu? Wyznaczyć \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}A_n }\) oraz \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n}=\left( \frac{\left(-1\right)^n\cdot n}{n+1},\frac{4n-15}{2n-7}\right) }\) . Tutaj otrzymałam granicę dolną równą zbiorowi \(\displaystyle{ [1,2)}\) a górną \(\displaystyle{ (-1,2)}\).
Ostatnio zmieniony 29 mar 2020, o 13:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
A w poprzednim co Ci wyszło?
Dobrze.Karomatematycznie pisze: ↑29 mar 2020, o 13:06 Wyznaczyć \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}A_n }\) oraz \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n}=\left( \frac{\left(-1\right)^n\cdot n}{n+1},\frac{4n-15}{2n-7}\right) }\) . Tutaj otrzymałam granicę dolną równą zbiorowi \(\displaystyle{ [1,2)}\) a górną \(\displaystyle{ (-1,2)}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 mar 2020, o 18:26
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Granica dolna \(\displaystyle{ (0,1)}\), a górna \(\displaystyle{ (0,3)}\). Mam nadzieję, że też w końcu poprawnie.
Ostatnio zmieniony 29 mar 2020, o 13:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica górna i dolna ciągu zbiorów
Tak, poprawnie.Karomatematycznie pisze: ↑29 mar 2020, o 13:23Granica dolna \(\displaystyle{ (0,1)}\), a górna \(\displaystyle{ (0,3)}\). Mam nadzieję, że też w końcu poprawnie.
JK