Granica górna i dolna ciągu zbiorów

[Karomatematycznie]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}A_n }\) oraz \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n}=\left( \frac{1}{n+1},2+\left( -1\right)^{n+1}\right) }\) .

[a4karo]

A masz jakieś podejrzenia?

[Karomatematycznie]

Tak, na granicę górną mam zbiór \(\displaystyle{ \left(1, \frac{1}{5}\right]}\), a na dolną \(\displaystyle{ (-1,2)}\), ale nie umiem tego wykazać jakoś formalnie

[Jan Kraszewski]

Ale wiesz, że \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n \subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n}\) ? Co słabo pasuje do Twoich propozycji...

JK

[Karomatematycznie]

Ajj, spojrzałam nie na ten przykład... Tutaj zarówno dolna, jak i górna granica wyszła mi równa zbiorowi \(\displaystyle{ (0,2)}\).

[Jan Kraszewski]

Tutaj zarówno dolna, jak i górna granica wyszła mi równa zbiorowi \(\displaystyle{ (0,2)}\).

To zła odpowiedź. Ani granica dolna, ani górna tyle nie wynoszą.

JK

[Karomatematycznie]

Mogłabym prosić o naprowadzenie do poprawnego rozwiązania?

[Jan Kraszewski]

Granica dolna ciągu \(\displaystyle{ \left( A_n\right) }\) to zbiór tych elementów, które należą do prawie wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) (czyli do wszystkich z wyjątkiem skończenie wielu).

Granica górna ciągu \(\displaystyle{ \left( A_n\right) }\) to zbiór tych elementów, które należą do nieskończenie wielu zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\).

JK

[Karomatematycznie]

Czy poprawną odpowiedzią jest zatem zbiór \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} ,2)}\) zarówno dla granicy dolnej, jak i górnej?

[Premislav]

Skąd ten pomysł? [tak jak Pan Znany Ekonomista powiedział]

Żadna liczba nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) nie należy do wszystkich spośród tych zbiorów poza skończoną liczbą, a to dlatego, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ 2+(-1)^{n+1}=1}\) jest prawym końcem przedziału.
Co się stało z lewym krańcem, to już w ogóle nie wiem, ale zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}\in\NN^{+}}\), że gdy tylko \(\displaystyle{ n>n_{0}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{n_{0}+1}<x}\).

[Karomatematycznie]

Mogłabym prosić o zweryfikowanie tego przykładu? Wyznaczyć \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}A_n }\) oraz \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n}=\left( \frac{\left(-1\right)^n\cdot n}{n+1},\frac{4n-15}{2n-7}\right) }\) . Tutaj otrzymałam granicę dolną równą zbiorowi \(\displaystyle{ [1,2)}\) a górną \(\displaystyle{ (-1,2)}\).

[Jan Kraszewski]

Mogłabym prosić o zweryfikowanie tego przykładu?

A w poprzednim co Ci wyszło?

Wyznaczyć \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}A_n }\) oraz \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}A_n }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n}=\left( \frac{\left(-1\right)^n\cdot n}{n+1},\frac{4n-15}{2n-7}\right) }\) . Tutaj otrzymałam granicę dolną równą zbiorowi \(\displaystyle{ [1,2)}\) a górną \(\displaystyle{ (-1,2)}\).

Dobrze.

JK

[Karomatematycznie]

A w poprzednim co Ci wyszło?

Granica dolna \(\displaystyle{ (0,1)}\), a górna \(\displaystyle{ (0,3)}\). Mam nadzieję, że też w końcu poprawnie.

[Jan Kraszewski]

Granica dolna \(\displaystyle{ (0,1)}\), a górna \(\displaystyle{ (0,3)}\). Mam nadzieję, że też w końcu poprawnie.

Tak, poprawnie.

JK