Suma porządkowa a przekroje Dedekinda

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Suma porządkowa a przekroje Dedekinda

Post autor: Jakub Gurak »

No nic, trzeba w końcu coś podziałać. Ale ten post będzie jednak raczej krótki.

Napiszę o prostym związku jaki dostrzegłem między sumą porządkową dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych, a przekrojami Dedekinda.

Przypominam, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nazywamy parę \(\displaystyle{ (A,B)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), która jest dowolnym "rozcięciem" zbioru \(\displaystyle{ X}\). Nie wiem czy muszę podawać ścisłą definicję- chyba to nie będzie konieczne.

Teraz przypomnę definicję, że przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) (w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) ) daje skok, gdy w \(\displaystyle{ A}\) jest element największy oraz w \(\displaystyle{ B}\) jest element najmniejszy. Na rozcięciu tych dwóch zbiorów jest więc skok.

Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) (w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) ) daję lukę, gdy w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego oraz w \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu najmniejszego. Na rozcięciu tych dwóch zbiorów jest więc luka.

Przypominam, że jeśli \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) ; \left( B, \le _{B} \right) }\) są zbiorami liniowo uporządkowanymi, oraz zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne , to na zbiorze \(\displaystyle{ A \cup B}\) liniowym porządkiem jest suma porządkowa \(\displaystyle{ \le _{A} \cup \le _{B} \cup \left( A \times B\right)}\), czyli na zbiorach \(\displaystyle{ A,B}\) porządek jest taki jak w wejściowych zbiorach \(\displaystyle{ A,B}\), a do tego każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\), tą sumę porządkową będziemy oznaczać jako \(\displaystyle{ \le _{A\oplus B}. }\)

Wczoraj też przypomniałem sobie dlaczego istotne jest aby te zbiory były rozłączne.

MOJE SPOSTRZEŻENIE:

Jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right); \left( B, \le _{B} \right) }\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne( wtedy zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest liniowo uporządkowany przez sumę porządkową \(\displaystyle{ \le _{A\oplus B} }\)), i wtedy para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ A \cup B}\). Jest to oczywiste. :lol:

Co więcej, przekrój ten daje skok, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy (względem porządku \(\displaystyle{ \le_{A}}\) na \(\displaystyle{ A}\), element największy w całym \(\displaystyle{ A}\)) oraz zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy (względem \(\displaystyle{ \le _{B} }\)) .

Podobnie, przekrój ten daję lukę, dokładnie wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego (względem porządku \(\displaystyle{ \le_{A}}\) na \(\displaystyle{ A}\) ) oraz zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu najmniejszego (względem porządku \(\displaystyle{ \le _{B}}\) ) . Również te dwa fakty są oczywiste. :lol: :D
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Suma porządkowa a przekroje Dedekinda

Post autor: Jakub Gurak »

Wczoraj udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ (X,\le)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to dla \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), mamy równoważność:

para \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym i różnym od \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ B}\) jego dopełnieniem, tzn. \(\displaystyle{ B=A'=X\setminus A.}\)

Chciałem udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest dowolną niepustą rodziną przekrojów Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to para zbiorów:

\(\displaystyle{ \left( \bigcup_{ (A,B)\in\mathbb{B} } A, \bigcap_{ (A,B)\in\mathbb{B}} B \right), }\)

tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X.}\)

tzn. jako pierwsza współrzędna pary suma klas dolnych przekrojów Dedekinda tej rodziny, a drugi zbiór to przekrój klas górnych przekrojów Dedekinda tej rodziny. Niestety to się nie udało. Łatwo, mając naszą charakteryzacje podać kontrprzykład. Przedstawię teraz rezultaty:

Przypomnę może, że jeśli \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nazywamy parę \(\displaystyle{ (A,B)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że

1.\(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}, B \neq \left\{ \right\}.}\)
2.\(\displaystyle{ A \cup B=X. }\)
3. jeśli \(\displaystyle{ a\in A}\), \(\displaystyle{ b\in B}\), to \(\displaystyle{ a<b}\) (UWAGA :!: nierówność jest silna).

Przypomnę może, że jesli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X}\), gdy dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\), dla każdego \(\displaystyle{ y\in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ y<x}\), zachodzi \(\displaystyle{ y\in A}\).

Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, gdy z każdym swoim elementem zawiera także wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), które są od niego mniejsze.

Przejdźmy zatem do dowodu:

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ A,B\subset X.}\)

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Wtedy \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\). Oraz \(\displaystyle{ A \neq X}\) ( gdyby byłoby \(\displaystyle{ A=X}\), to \(\displaystyle{ B=B \cap X= B\cap A}\), i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne, to to jest równe zbiorowi pustemu, tak więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem pustym- i otrzymaliśmy sprzeczność ). zatem \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) i \(\displaystyle{ A \neq X}\). Wykażemy teraz, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym.

Niech \(\displaystyle{ x\in A}\), niech \(\displaystyle{ y\in X}\), będzie takie, że \(\displaystyle{ y<x}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ y\in A}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. Ale ponieważ \(\displaystyle{ y\in X=A\cup B}\) (gdyż zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) tworza przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\)), to \(\displaystyle{ y\in B}\), mamy \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), a więc każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ x<y}\), a mamy \(\displaystyle{ y<x}\)- sprzeczność. Zatem musi być \(\displaystyle{ y\in A}\), i \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ B=A'=X\setminus A.}\) Ale \(\displaystyle{ A'=X \setminus A=(A\cup B) \setminus A= (B\cup A) \setminus A}\) i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne, więc to jest równe \(\displaystyle{ B}\), co należało otrzymać. Kończy to dowód implikacji w jedną stronę.

Aby pokazać implikację w drugą stronę to:

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym, i różnym od \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ B}\) jego dopełnieniem, tzn. \(\displaystyle{ B=A'=X \setminus A.}\) Wykażemy, że para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda. Z założenia \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\), mamy też \(\displaystyle{ A \neq X}\), więc \(\displaystyle{ B=A' \neq \left\{ \right\}.}\) Mamy \(\displaystyle{ A\cup B=A\cup A'=X}\). Niech \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ a<b}\). Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że tak nie jest. Wtedy jednak \(\displaystyle{ a,b\in X}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, więc \(\displaystyle{ b \le a}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ b \le a\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem poczatkowym, więc również \(\displaystyle{ b\in A}\). Tymczasem \(\displaystyle{ b\in B=A'}\), a więc \(\displaystyle{ b\not\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X. \square}\)

Łatwo teraz podać kontrprzykład do naszego faktu:

Rozważmy zbiór liczb naturalnych von Neumanna \(\displaystyle{ (\NN, \le )}\) ze zwykłym porządkiem (liniowym), a za rodzinę przekrojów Dedekinda połóżmy:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ \left( n', \NN \setminus n '\right) \Bigl| \ \ n\in\NN \right\} .}\)

Ponieważ liczba naturalna jest zbiorem liczb naturalnych od niej mniejszych, to jest to rodzina par podzbiorów \(\displaystyle{ \NN}\). I są to przekroje Dedekinda w \(\displaystyle{ \NN}\) w myśl naszej charakteryzacji ( \(\displaystyle{ 0\in n'}\), a więc \(\displaystyle{ n' \neq \left\{ \right\}}\) , oczywiście \(\displaystyle{ n' \neq \NN}\), i zbiór \(\displaystyle{ n'}\) jest przedziałem początkowym \(\displaystyle{ \NN}\), a drugi zbiór od razu otrzymujemy, że jest jego dopelnieniem, wobec czego jest to przekroj Dedekinda w \(\displaystyle{ \NN}\), i otrzymujemy (z dowolności \(\displaystyle{ n}\)), że \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepustą rodziną przekrojów Dedekinda w \(\displaystyle{ \NN}\)). Tymczasem \(\displaystyle{ \bigcup_{(A,B)\in\mathbb{B}} A= \bigcup_{n\in\NN} n'=\NN}\), gdyż dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\), mamy \(\displaystyle{ n\in n'}\), a więc \(\displaystyle{ n\in \bigcup_{n\in\NN} n'.}\) A więc otrzymujemy parę zbiorów \(\displaystyle{ (\NN,\emptyset)}\), która nie jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ \NN}\)- niestety. :roll:

Zauważmy też, że możemy teraz też uzasadnić, że jeśli mamy sumę porządkową dwóch niepustych zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ A,B}\) (na zbiorach rozłącznych), to para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ A \cup B.}\)

Aby to udowodnić sprawdzamy warunki z naszej charakteryzacji:

Mamy \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\), również \(\displaystyle{ A \neq A \cup B}\), gdyż \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}}\) , i zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne. Pokażemy teraz, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ A \cup B}\).
Niech \(\displaystyle{ x\in A}\), niech \(\displaystyle{ y\in A \cup B}\), będzie takie, że \(\displaystyle{ y<_{A\oplus B } x}\). Pokazemy, że \(\displaystyle{ y\in A}\). Gdyby byłoby \(\displaystyle{ y\not\in A}\), ale ponieważ \(\displaystyle{ y\in A\cup B}\), więc \(\displaystyle{ y\in B}\), mamy \(\displaystyle{ x\in A, y\in B}\), zatem, ponieważ z definicji sumy porządkowej kazdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), lecz mamy \(\displaystyle{ y<_{A\oplus B} x}\)- sprzeczność. Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym.
Pozostaje pokazać, że \(\displaystyle{ B=A'.}\) Mamy \(\displaystyle{ A'=X \setminus A=(A \cup B) \setminus A=(B \cup A) \setminus A,}\) i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne, więc to jest równe \(\displaystyle{ B}\), co należało otrzymać.
Zatem, w myśl naszej charakteryzacji, para \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X.\square}\)

Odwrotnie jeśli \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a para podzbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ X=A\oplus B}\), nasz zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest sumą porządkową porządku na \(\displaystyle{ A}\), czyli tego porządku zawężonego do zbioru \(\displaystyle{ A}\), oraz podobnie porządku na zbiorze \(\displaystyle{ B.}\)

Dowód:

Wykażemy, że \(\displaystyle{ (A, \le _A)\oplus (B, \le _B)=(X, \le ).}\)

Niewątpliwie \(\displaystyle{ A \cup B=X}\) (zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) tworzą przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\)). Pozostaje wykazać ogólną własność:

\(\displaystyle{ x \le_{A\oplus B } y \Longleftrightarrow x \le y.}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \le_{A\oplus B } y.}\) Rozważmy przypadki:

\(\displaystyle{ 1. x,y\in A.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x \le _A y}\), a wiec \(\displaystyle{ x \le y.}\)
2. \(\displaystyle{ x,y\in B}\)- ten przypadek sprawdzamy analogicznie.
3.\(\displaystyle{ x\in A, y\in B}\), ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) tworzą przekrój Dedekinda, więc każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ x<y}\), a więc \(\displaystyle{ x \le y.}\)

Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ x \le y}\). Rozważmy przypadki:

\(\displaystyle{ 1.x,y\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \le _A y}\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ x \le _{A_\oplus B} y.}\)
2.\(\displaystyle{ x,y\in B}\)- ten przypadek sprawdzamy analogicznie.
3.\(\displaystyle{ x\in A, y\in B}\). Ponieważ z definicji sumy porządkowej, każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\), natychmiast otrzymujemy \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y.}\)
4. \(\displaystyle{ y\in A, x\in B}\), ten przypadek jest niemożliwy, gdyż ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) tworzą przekrój Dedekinda, a \(\displaystyle{ y\in A, x\in B }\),więc \(\displaystyle{ y<x}\), a mamy \(\displaystyle{ x \le y}\)- sprzeczność.

Dowód jest zakończony. \(\displaystyle{ \square}\)

Wydaje się być też oczywistym, że jeśli \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ (A_1,B_1); (A_2,B_2)}\) przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ \left( A_1 \cup A_2, B_1 \cap B_2\right) }\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\)- jest to ten z tych dwóch przekrojów którego 'rozcięcie' jest położone bardziej na prawo. Podobnie jeśli \(\displaystyle{ (A_1,B_1); (A_2,B_2)}\) są przekrojami Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to wydaje się też być oczywistym, że \(\displaystyle{ \left( A_1 \cap A_2, B_1 \cup B_2\right) }\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\)- jest to po prostu ten z tych dwóch przekrojów, którego 'rozcięcie' jest bardziej na lewo.

:lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Suma porządkowa a przekroje Dedekinda

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem to tutaj: TU.
Można przypuszczać, że dla \(\displaystyle{ n}\) przekrojów Dedekinda \(\displaystyle{ (A_1, B_1);(A_2,B_2);\ldots; (A_n,B_n)}\) w \(\displaystyle{ X}\), para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n, B_1 \cap B_2 \cap \ldots \cap B_n\right)}\) jest tym z tych przekrojów Dedekinda, którego 'rozcięcie' jest najbardziej na prawo, podobnie podejrzewam, że para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_1 \cap A_ 2 \cap \ldots \cap A_n, B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n\right)}\) jest najbardziej na lewo z tych przekrojów (pod względem 'rozcięcia')
Chciałem udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest dowolną niepustą rodziną przekrojów Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to para zbiorów:

\(\displaystyle{ \left( \bigcup_{ (A,B)\in\mathbb{B} } A, \bigcap_{ (A,B)\in\mathbb{B}} B \right), }\)

tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X.}\)

tzn. jako pierwsza współrzędna pary suma klas dolnych przekrojów Dedekinda tej rodziny, a drugi zbiór to przekrój klas górnych przekrojów Dedekinda tej rodziny. Niestety to się nie udało. Łatwo, mając naszą charakteryzacje podać kontrprzykład.
Wobec czego, do kolekcji wypada się teraz zastanowić czy:

jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) niepustą rodziną przekrojów Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) (w istocie rzeczy chodzi o rodzinę nieskończoną), to czy para zbiorów: \(\displaystyle{ \left( \bigcap_{(A,B)\in\mathbb{B}} A, \bigcup_{(A,B)\in\mathbb{B}} B \right)}\) , tzn. jako pierwszy zbiór pary zbiorów bierzemy przekrój klas dolnych przekrojów Dedekinda tej rodziny, a jako drugi zbiór pary bierzemy sumę klas górnych, wypada teraz rozstrzygnąć, czy taka para zbiorów jest przekrojem Dedekinda( czyli, czy to jest 'rozcięcie' zbioru \(\displaystyle{ X}\)). Wczoraj to zbadałem, nie musi to być przekrój Dedekinda. W ukrytej treści przedstawiam dowód tego faktu.
Ukryta treść:    
Udowodniłem też dzisiaj, że jeśli mamy zbiór, relację w tym zbiorze, i gdy mamy drugi dowolny zbiór i drugą relację w tym drugim zbiorze, to przekrój tych dwóch relacji jest relacją w przekroju zbiorów w których są określone te relacje. W ukrytej treści poniżej przedstawiam dowód tego ciekawego faktu.
Ukryta treść:    
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Suma porządkowa a przekroje Dedekinda

Post autor: Jakub Gurak »

Okazuję się, że nawet gdy dwa zbiory liniowo uporządkowane, nawet gdy te dwa zbiory nie są rozłączne, to ich suma porządkowa(tak samo określona jak zwykle, co jeszcze potem dokładnie wyjaśnię ) może być liniowym porządkiem. Bowiem, w ostatni piątek wieczorem udowodniłem, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane, których przekrój jest dokładnie jednoelementowy, i gdy ten jedyny element wspólny tych dwóch zbiorów jest elementem największym w pierwszym zbiorze, i gdy jest elementem najmniejszym w drugim zbiorze, to suma porządkowa tych dwóch liniowych porządków będzie liniowym porządkiem w sumie tych dwóch zbiorów gdzie są określone te porządki. Łatwo można też pokazać, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane, których przekrój jest co najmniej dwuelementowy, to ich suma porządkowa wręcz nie może być liniowym porządkiem, gdyż, taka relacja, nie będzie antysymetryczna. Jedynie (w sytuacji, gdy zbiory nie są rozłączne), to jedynie gdy ich przekrój jest dokładnie jednoelementowy, wtedy suma porządkowa może być liniowym porządkiem. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Przypomnijmy najpierw, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ (X, \le _X)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( Y, \le _Y\right),}\) to suma porządkowa jest określona w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ \left( \le _X\right)\oplus \left( \le _Y\right) =\left( \le _X\right) \cup \left( \le _Y\right) \cup \left( X \times Y\right).
}\)


Czyli, na elementach zbioru \(\displaystyle{ X}\), ta suma porządkowa jest zgodna z porządkiem \(\displaystyle{ \le _X }\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), na elementach zbioru \(\displaystyle{ Y}\), ta suma porządkowa jest zgodna z porządkiem \(\displaystyle{ \le _Y}\), i każdy element zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest mniejszy lub równy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ Y.}\)


Niech \(\displaystyle{ (X, \le _X); (Y, \le_Y)}\) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi, których przekrój jest dokładnie jednoelementowy, tzn. \(\displaystyle{ X \cap Y=\left\{ a\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewnym elementem. I załóżmy jeszcze, że element \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ X}\), oraz, że element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ Y. }\)

Wykażemy, że wtedy suma porządkowa \(\displaystyle{ (\le _X )\oplus \left( \le _Y\right)}\) jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ X \cup Y}\).

Dowód tego faktu:

Zauważmy, że zbiór \(\displaystyle{ Y \setminus \left\{ a\right\}\subset Y}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, gdyż zbiór \(\displaystyle{ Y \setminus \left\{ a\right\}}\) jest podzbiorem zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ Y.}\) Również zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym. Ponieważ \(\displaystyle{ X \cap Y=\left\{ a\right\}}\), więc zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y \setminus \left\{ a\right\}}\) będą rozłączne. W związku z czym, suma porządkowa tych dwóch porządków na tych zbiorach rozłącznych (porządek na \(\displaystyle{ Y \setminus \left\{ a\right\} }\)oznaczymy jako \(\displaystyle{ \le _{Y \setminus \left\{ a\right\} }}\) ), i wtedy suma porządkowa \(\displaystyle{ \left( \le _X\right)\oplus \left( \le _{Y \setminus \left\{ a\right\} } \right)}\) jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ X \cup \left( Y \setminus \left\{ a\right\} \right) \stackrel {a\in X}{=} X \cup Y.}\)

Pokażemy, że \(\displaystyle{ \left( \le _X\right)\oplus \left( \le _{Y \setminus \left\{ a\right\} } \right) = \left( \le _X \right) \oplus \left( \le _Y\right) }\), czyli, że te dwie sumy porządkowe są równe.
DOWÓD TEGO FAKTU:    
Ponieważ suma porządkowa \(\displaystyle{ (\le _X)\oplus \left( \le _{Y \setminus \left\{ a\right\} } \right) }\) jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ X \cup Y}\), więc również suma porządkowa \(\displaystyle{ (\le _X)\oplus \left( \le _Y\right)}\), jako ta sama relacja w \(\displaystyle{ X \cup Y}\), jest liniowym porządkiem w \(\displaystyle{ X \cup Y. \square}\) :lol:


Łatwo można też pokazać, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A}\right) ;\left( B, \le _B\right),}\) których przekrój jest co najmniej dwuelementowy, to ich suma porządkowa (tak samo rozumiana) nie może już być liniowym porządkiem, gdyż nie będzie antysymetryczna.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
8-)
ODPOWIEDZ