Suma porządkowa a przekroje Dedekinda

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 653
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 46 razy

Suma porządkowa a przekroje Dedekinda

Post autor: Jakub Gurak » 22 mar 2020, o 23:08

No nic, trzeba w końcu coś podziałać. Ale ten post będzie jednak raczej krótki.

Napiszę o prostym związku jaki dostrzegłem między sumą porządkową dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych, a przekrojami Dedekinda.

Przypominam, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nazywamy parę \(\displaystyle{ (A,B)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), która jest dowolnym "rozcięciem" zbioru \(\displaystyle{ X}\). Nie wiem czy muszę podawać ścisłą definicję- chyba to nie będzie konieczne.

Teraz przypomnę definicję, że przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) (w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) ) daje skok, gdy w \(\displaystyle{ A}\) jest element największy oraz w \(\displaystyle{ B}\) jest element najmniejszy. Na rozcięciu tych dwóch zbiorów jest więc skok.

Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) (w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) ) daję lukę, gdy w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego oraz w \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu najmniejszego. Na rozcięciu tych dwóch zbiorów jest więc luka.

Przypominam, że jeśli \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) ; \left( B, \le _{B} \right) }\) są zbiorami liniowo uporządkowanymi, oraz zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne , to na zbiorze \(\displaystyle{ A \cup B}\) liniowym porządkiem jest suma porządkowa \(\displaystyle{ \le _{A} \cup \le _{B} \cup \left( A \times B\right)}\), czyli na zbiorach \(\displaystyle{ A,B}\) porządek jest taki jak w wejściowych zbiorach \(\displaystyle{ A,B}\), a do tego każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\), tą sumę porządkową będziemy oznaczać jako \(\displaystyle{ \le _{A\oplus B}. }\)

Wczoraj też przypomniałem sobie dlaczego istotne jest aby te zbiory były rozłączne.

MOJE SPOSTRZEŻENIE:

Jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right); \left( B, \le _{B} \right) }\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne( wtedy zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest liniowo uporządkowany przez sumę porządkową \(\displaystyle{ \le _{A\oplus B} }\)), i wtedy para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ A \cup B}\). Jest to oczywiste. :lol:

Co więcej, przekrój ten daje skok, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy (względem porządku \(\displaystyle{ \le_{A}}\) na \(\displaystyle{ A}\), element największy w całym \(\displaystyle{ A}\)) oraz zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy (względem \(\displaystyle{ \le _{B} }\)) .

Podobnie, przekrój ten daję lukę, dokładnie wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego (względem porządku \(\displaystyle{ \le_{A}}\) na \(\displaystyle{ A}\) ) oraz zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu najmniejszego (względem porządku \(\displaystyle{ \le _{B}}\) ) . Również te dwa fakty są oczywiste. :lol: :D
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ