Udowodnić zawieranie

[zdl]

Niech `f: X \rightarrow Y` będzie funkcją różnowartościową. Dla niepustej rodziny `\{A_i: i \in I\}` pozdbiorów `X` mamy ` \bigcap_{i \in I} f[A_i] \subseteq f[\bigcap_{i \in I} A_i]`.

Jeżeli się nie pomyliłem to kluczowe jest tutaj następujące przejście.
`(\forall i \in I)(\exists x)(x \in A_i \wedge y = f(x)) \Rightarrow (\exists x) (\forall i \in I) (x \in A_i \wedge y = f(x))`.

Tylko na tym przejściu chcę się skupić w tym zadaniu.

Załóżmy, że twierdzenie jest fałszywe. To oznacza, że poprzednik implikacji jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy. Skoro następnik jest fałszywy to zdanie `\not( (\exists x) (\forall i \in I) (x \in A_i \wedge y = f(x)))` jest prawdziwe. Z kolei powyższe zdanie jest równowazne z `(\forall x) (\exists i \in I)(x \notin A_i \vee y \ne f(x))`.

Moje pytanie, czy mogę sobie wybrać `x_1` oraz `i_1 \in I` dla których `x_1 \notin A_{i_1} \wedge y = f(x_1)`? W takim przypadku mogę w łatwy sposób doprowadzić do sprzeczności z założeniem, ale intuicja mi podpowiada, że to chyba nie do końca o to chodzi w tym dowodzie.

Dodano po 43 minutach 58 sekundach:
Dowód na chłopski rozum wydaje się prostszy niż operowanie znaczkami, ale jednak chciałbym dojść do finiszu tamtym sposobem.

Bo na chłopski rozum zrobiłbym to tak. Weżmy dowolny `i \in I`. Dla dowolnego `i` istnieje `x_0` takie, że `x_0 \in A_i \wedge y = f(x_0)`. Zauważmy tutaj, że dla dowolnego `i` istnieje zawsze ten sam `x_0` spełniający powyższą funkcję zdaniową. Dlaczego? Bo gdyby dla jakiegoś `i` istniałby inny `x_1`, to mielibyśmy z funkcji różnowartościowej `y=f(x_0) \ne f(x_1) = y` co jest sprzeczne. Zatem istnieje `x_0` dla którego dla dowolnego `i` mamy `x_0 \in A_i \wedge y = f(x_0)`.

[Janusz Tracz]

Na małym przykładzie to widać lepiej. Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa to \(\displaystyle{ f\left[ A \right] \cap f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \cap B\right] }\). Ustalmy \(\displaystyle{ y\in f\left[ A \right] \cap f\left[ B\right] }\) co oznacza, że \(\displaystyle{ y\in f\left[ A \right] }\) i \(\displaystyle{ y\in f\left[ B\right]}\) a zatem istnieje takie \(\displaystyle{ x'\in A}\) oraz \(\displaystyle{ x''\in B}\), że \(\displaystyle{ f(x')=f(x'')=y}\) ale jako, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa to \(\displaystyle{ x'=x''}\) (nazwijmy je \(\displaystyle{ x}\)) czyli \(\displaystyle{ x\in A}\) i \(\displaystyle{ x\in B}\) zatem \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=y}\) ostatecznie \(\displaystyle{ y\in f\left[ A \cap B\right] }\).

[Jan Kraszewski]

Ten dowód jednak lepiej wygląda (i jest prostszy), jak robi się go wprost.

Moje pytanie, czy mogę sobie wybrać `x_1` oraz `i_1 \in I` dla których `x_1 \notin A_{i_1} \wedge y = f(x_1)`?

Na jakiej podstawie? Możesz robić, co chcesz, pod jednym wszelakoż warunkiem - musisz uzasadnić, na jakiej podstawie to robisz.

Dowód na chłopski rozum wydaje się prostszy niż operowanie znaczkami, ale jednak chciałbym dojść do finiszu tamtym sposobem.

Ale po co?

Bo na chłopski rozum zrobiłbym to tak. Weżmy dowolny `i \in I`. Dla dowolnego `i` istnieje `x_0` takie, że `x_0 \in A_i \wedge y = f(x_0)`. Zauważmy tutaj, że dla dowolnego `i` istnieje zawsze ten sam `x_0` spełniający powyższą funkcję zdaniową. Dlaczego? Bo gdyby dla jakiegoś `i` istniałby inny `x_1`, to mielibyśmy z funkcji różnowartościowej `y=f(x_0) \ne f(x_1) = y` co jest sprzeczne. Zatem istnieje `x_0` dla którego dla dowolnego `i` mamy `x_0 \in A_i \wedge y = f(x_0)`.

No i to jest dokładnie to, o czym napisałem na początku. W dodatku to jest porządnie opisane rozumowanie. Czego więcej chcesz?

JK