Relacje- szybkie pytanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Relacje- szybkie pytanie.
Mam szybkie pytanie:
Czy dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R\subset X \times Y}\), wtedy \(\displaystyle{ R^{-1} \subset Y\times X }\), czy
\(\displaystyle{ R\circ R ^{-1}=I _{Y} }\) (identyczność na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\)), oraz czy
\(\displaystyle{ R ^{-1}\circ R=I_{X}. }\)
Ostatnia równość zachodzi dla funkcji różnowartościowych, czy zachodzi dla dowolnej relacji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\) Oraz druga równość czy zachodzi
Czy dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R\subset X \times Y}\), wtedy \(\displaystyle{ R^{-1} \subset Y\times X }\), czy
\(\displaystyle{ R\circ R ^{-1}=I _{Y} }\) (identyczność na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\)), oraz czy
\(\displaystyle{ R ^{-1}\circ R=I_{X}. }\)
Ostatnia równość zachodzi dla funkcji różnowartościowych, czy zachodzi dla dowolnej relacji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\) Oraz druga równość czy zachodzi
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Nie ma żadnego powodu, by zachodziła którakolwiek z tych równości. Popatrz na \(\displaystyle{ X=Y=\NN}\) i \(\displaystyle{ R=\{\left\langle 1,1\right\rangle \}.}\)Jakub Gurak pisze: ↑15 mar 2020, o 20:05Ostatnia równość zachodzi dla funkcji różnowartościowych, czy zachodzi dla dowolnej relacji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\) Oraz druga równość czy zachodzi
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
No tak, wtedy wszystkie pojawiające się relacje są równe \(\displaystyle{ R=\left\{ \left( 1,1\right) \right\}.}\)
A czy dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}\circ f=I_{X} }\)
Tu \(\displaystyle{ f ^{-1}}\) oznacza tylko relację odwrotną do relacji \(\displaystyle{ f}\).
Ciężko mi rozstrzygnąć, pojęcia złożenia relacji nie czuję najlepiej.
A czy dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}\circ f=I_{X} }\)
Tu \(\displaystyle{ f ^{-1}}\) oznacza tylko relację odwrotną do relacji \(\displaystyle{ f}\).
Ciężko mi rozstrzygnąć, pojęcia złożenia relacji nie czuję najlepiej.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
W żadnym razie. Rozważ funkcję stałą.Jakub Gurak pisze: ↑15 mar 2020, o 22:56\(\displaystyle{ f^{-1}\circ f=I_{X} }\)
Tu \(\displaystyle{ f ^{-1}}\) oznacza tylko relację odwrotną do relacji \(\displaystyle{ f}\).
A spróbowałeś rozpisać z definicji, co znaczy Twoje pytanie? Od tego powinieneś zacząć.Jakub Gurak pisze: ↑15 mar 2020, o 22:56Ciężko mi rozstrzygnąć, pojęcia złożenia relacji nie czuję najlepiej.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Czyli otrzymamy \(\displaystyle{ \NN \times \NN \neq I _{\NN}, }\), tak
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Ale za to chyba dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y}\), mamyJan Kraszewski pisze: ↑15 mar 2020, o 20:54 Nie ma żadnego powodu, by zachodziła którakolwiek z tych równości. Popatrz na \(\displaystyle{ X=Y=\NN}\) i \(\displaystyle{ R=\{\left\langle 1,1\right\rangle \}.}\)
\(\displaystyle{ R\circ R ^{-1} \subset I _{Y} }\) (identyczność na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\)), oraz
\(\displaystyle{ R ^{-1}\circ R \subset I_{X}. }\) Zgadza się
Mam jeszcze szybkie pytanie:
Czy dla dowolnych relacji \(\displaystyle{ R,S,T}\) (pomiędzy zbiorami, tak żeby było to dobrze określone) mamy:
\(\displaystyle{ R\circ (S \cup T)=\left( R\circ S\right) \cup \left( R\circ T\right) }\)
Jakby była wątpliwość, to definicję złozenia relacji mam tą, gdzie trzeba uważać na kolejność relacji (trzeba odwrócić kolejność tych relacji, przy złożeniu). Wiem, że zachodzi odpowiednia do tej równość, gdzie suma dwóch relacji występuje z lewej strony, czy w takiej wersji też to zachodzi Potrzebuję z tej własności skorzystać.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Nie, nie zgadza się. Skąd to dziwne przypuszczenie? Rozpatrz \(\displaystyle{ X=Y, R=X\times X}\).Jakub Gurak pisze: ↑30 kwie 2020, o 17:25Ale za to chyba dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y}\), mamy
\(\displaystyle{ R\circ R ^{-1} \subset I _{Y} }\) (identyczność na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\)), oraz
\(\displaystyle{ R ^{-1}\circ R \subset I_{X}. }\) Zgadza się
To ją udowodnij. To jest na ogół pierwsza rzecz, którą próbuje zrobić matematyk, jak potrzebuje jakiejś własności - udowodnić ją.Jakub Gurak pisze: ↑30 kwie 2020, o 17:25Mam jeszcze szybkie pytanie:
Czy dla dowolnych relacji \(\displaystyle{ R,S,T}\) (pomiędzy zbiorami, tak żeby było to dobrze określone) mamy:
\(\displaystyle{ R\circ (S \cup T)=\left( R\circ S\right) \cup \left( R\circ T\right) }\)
(...)
Potrzebuję z tej własności skorzystać.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Mogę wziąć \(\displaystyle{ X= Y= \left\{ 0,1\right\}}\) - będzie mi łatwiej wyznaczyć zlożenie \(\displaystyle{ \left( X \times X\right)\circ\left( X \times X\right). }\)Jan Kraszewski pisze: ↑30 kwie 2020, o 20:19 Nie, nie zgadza się. Skąd to dziwne przypuszczenie? Rozpatrz \(\displaystyle{ X=Y, R=X\times X}\)
Myślałem, że jeśli para \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R }\), to para \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R ^{-1} }\) , skąd \(\displaystyle{ \left( a,a\right) \in R ^{-1}\circ R }\), skąd \(\displaystyle{ R ^{-1}\circ R \subset I _{X}}\) (bo \(\displaystyle{ \left( a,a\right) \in I _{X} }\)). Podobnie dla drugiej inkluzji. Ale już nie wiem czy to półformalne uzasadnienie jest poprawne? Jak nie jest poprawne, to gdzie jest błąd
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Zawieranie \(\displaystyle{ R \circ R^{-1} \subseteq I_Y}\) zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją częściową.
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Jakub Gurak pisze: ↑30 kwie 2020, o 17:25Czy dla dowolnych relacji \(\displaystyle{ R,S,T}\) (pomiędzy zbiorami, tak żeby było to dobrze określone) mamy:
\(\displaystyle{ R\circ (S \cup T)=\left( R\circ S\right) \cup \left( R\circ T\right) }\)
(...)
Potrzebuję z tej własności skorzystać.
Dobrze.To ją udowodnij.
Niech relacje \(\displaystyle{ S,T \subset A \times B, R \subset B \times C }\).
Czy \(\displaystyle{ R\circ\left( S \cup T\right) =R\circ S \cup R\circ T. }\)
Niech \(\displaystyle{ \left( a,c\right)\in R\circ \left( S \cup T\right). }\) Tzn. przy pewnym \(\displaystyle{ b \in B,}\) mamy \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in S \cup T }\) oraz \(\displaystyle{ \left( b,c\right) \in R.}\) zatem \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in S }\) lub \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in T. }\) w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in S,\left( b,c\right) \in R, }\) zatem \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R\circ S.}\) W drugim przypadku \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in T,\left( b,c\right) \in R,}\) zatem \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R\circ T. }\) A zatem, w obydwu przypadkach \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R\circ S \cup R\circ T, }\) co dowodzi inkluzji w prawo.
Inkluzja w lewo: niech \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R\circ S \cup R\circ T. }\) Jeśli \(\displaystyle{ \left( a,c\right)\in R\circ S }\), to przy pewnym \(\displaystyle{ b\in B}\), mamy \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in S,\left( b,c\right)\in R.}\) wtedy \(\displaystyle{ \left( a,b\right)\in S\cup T, \left( b,c\right) \in R }\), zatem \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R\circ \left( S \cup T\right),.}\) W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ \left( a,c\right)\in R\circ T, }\) wtedy, przy pewnym \(\displaystyle{ b\in B}\), mamy \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in T,\left( b,c\right) \in R,}\) wtedy \(\displaystyle{ \left( a,b\right)\in S\cup T,\left( b,c\right)\in R,}\) zatem \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R\circ \left( S \cup T\right). }\) Zatem druga inkluzja jest dowiedziona, więc \(\displaystyle{ R\circ \left( S \cup T\right)=R\circ S \cup R\circ T.}\) Dobrze
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Bez różnicy. Złożenie relacji pełnej z sobą samą jest zawsze relacją pełną, a dowód tego (niezależnie od tego, czym jest \(\displaystyle{ X}\)) zajmuje pół linijki.Jakub Gurak pisze: ↑30 kwie 2020, o 23:53Mogę wziąć \(\displaystyle{ X= Y= \left\{ 0,1\right\}}\) - będzie mi łatwiej wyznaczyć zlożenie \(\displaystyle{ \left( X \times X\right)\circ\left( X \times X\right). }\)
To nie jest ani uzasadnienie, ani poprawne.Jakub Gurak pisze: ↑30 kwie 2020, o 23:53Myślałem, że jeśli para \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R }\), to para \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R ^{-1} }\) , skąd \(\displaystyle{ \left( a,a\right) \in R ^{-1}\circ R }\), skąd \(\displaystyle{ R ^{-1}\circ R \subset I _{X}}\) (bo \(\displaystyle{ \left( a,a\right) \in I _{X} }\)). Podobnie dla drugiej inkluzji. Ale już nie wiem czy to półformalne uzasadnienie jest poprawne?
Błąd jest w tym, że coś robisz, ale nie wiesz co. Całe wnioskowanie, które napisałeś przez słowem "skąd" jest prawdziwe, problem polega na tym, że dokładnie nic z tego nie wynika. Pokazałeś, że jeśli \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R }\), to \(\displaystyle{ \left( a,a\right) \in R ^{-1}\circ R }\), tylko co z tego? To nie ma żadnego związku z \(\displaystyle{ R ^{-1}\circ R \subset I _{X}}\).
Dobrze.Jakub Gurak pisze: ↑1 maja 2020, o 01:51 Czy \(\displaystyle{ R\circ\left( S \cup T\right) =R\circ S \cup R\circ T. }\)
(...)
Dobrze
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
Czy jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest relacją w danym zbiorze, relacją zwrotną i przechodnią, to czy
\(\displaystyle{ S\circ S ^{-1} \subset S \cup S ^{-1}. }\) oraz czy także
\(\displaystyle{ S ^{-1}\circ S \subset S\cup S ^{-1} .}\)
Niestety, nie mam założenia, że \(\displaystyle{ S}\) jest symetryczna( wtedy chyba problem byłby oczywisty, ale niestety). Gdy tak będzie to chyba będę w stanie udowodnić pewne ogólne twierdzenie, ale tu potrzebuje pomocy. Byłoby bardzo dobrze gdyby te dwie własności były prawdą (dla relacji \(\displaystyle{ S}\)przechodniej(i zwrotnej)).
\(\displaystyle{ S\circ S ^{-1} \subset S \cup S ^{-1}. }\) oraz czy także
\(\displaystyle{ S ^{-1}\circ S \subset S\cup S ^{-1} .}\)
Niestety, nie mam założenia, że \(\displaystyle{ S}\) jest symetryczna( wtedy chyba problem byłby oczywisty, ale niestety). Gdy tak będzie to chyba będę w stanie udowodnić pewne ogólne twierdzenie, ale tu potrzebuje pomocy. Byłoby bardzo dobrze gdyby te dwie własności były prawdą (dla relacji \(\displaystyle{ S}\)przechodniej(i zwrotnej)).
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Relacje- szybkie pytanie.
W ogólności to zawieranie nie musi zachodzić. Rozważ relację \(\displaystyle{ S=\{\left\langle 1,1\right\rangle, \left\langle 2,2\right\rangle, \left\langle 3,3\right\rangle, \left\langle 1,2\right\rangle, \left\langle 1,3\right\rangle \}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X=\{1,2,3\}}\). Jest to oczywiście relacja zwrotna i przechodnia, ale \(\displaystyle{ \left\langle 2,3\right\rangle\in S\circ S^{-1} \setminus \left( S\cup S^{-1}\right) }\). Dla drugiego z zawierań kontrprzykład jest analogiczny.
JK
JK