Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

Napiszę tu trochę na ten temat.

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nazywamy parę \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że:

1. \(\displaystyle{ A \cup B=X.}\)
2. dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ b\in B}\), mamy \(\displaystyle{ a<b}\)( Uwaga :!: nierówność jest silna, dzięki temu nie musimy żądać, żeby te dwa zbiory były rozłączne, a i tak takie będą).
3. \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) i \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}. }\)

Intuicyjnie jest to dowolne 'rozcięcie' zbioru liniowo uporządkowanego na dwie części. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) nazywamy klasą dolną przekroju, zbiór \(\displaystyle{ B}\) klasą górną przekroju.

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) daję skok, gdy klasa dolna przekroju ma element największy, i klasa górna przekroju ma element najmniejszy. Na 'rozcięciu' tych dwóch zbiorów jest więc skok.

Np. w zbiorze liczb naturalnych z naturalnym porządkiem każdy przekrój daję skok. Podobnie w zbiorze liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem. Jednak już nie w zbiorze liczb wymiernych, ani w żadnym zbiorze liniowo uporządkowanym gęstym. Mamy bowiem twierdzenie

Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest gesty, wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku.

Dowód

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) daję lukę, gdy klasa dolna przekroju nie ma elementu największego, i klasa górna przekroju nie ma elementu najmniejszego. Na 'rozcięciu' tych dwóch zbiorów jest więc luka.

Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) nazywamy ciągłym, gdy żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku (równoważnie jest gęsty), a ponadto żaden przekrój nie daje luki.

Czyli gdy jest gesty, i nie ma w nim 'dziur'.

Udowodnimy teraz twierdzenie:

Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X,\le\right)}\) jest ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy (jest uporządkowany w sposób gęsty, a ponadto każdy niepusty zbiór ograniczony od góry (mający ograniczenie górne) gdy każdy taki podzbiór ma supremum).

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym.

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły. Oznacza to rownież, że żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku, a to równoważnie oznacza gęstość \(\displaystyle{ \left( X,\le\right)}\) . Pokażemy teraz, że każdy niepusty zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) ograniczony od góry ma supremum. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie takim zbiorem. Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, to ma ograniczenie górne \(\displaystyle{ x}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), wtedy również \(\displaystyle{ a\le x}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), zatem \(\displaystyle{ x}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) jest jego supremum, czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Możemy zatem założyć, że żadne ograniczenie górne zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy parę zbiorów \(\displaystyle{ (B,C)}\), gdzie:

\(\displaystyle{ B= \left\{y\in X: \bigvee _{x\in A} \;\; y \leq x\right\},}\) oraz \(\displaystyle{ C = \left\{y\in X: \bigwedge _{x\in A} \;\; y >x\right\}.}\)

Pierwszy zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest to zbiór takich \(\displaystyle{ y\in X}\), że z jakimkolwiek elementem \(\displaystyle{ x\in A}\) dołączamy do tego zbioru \(\displaystyle{ B}\) wszystkie elementy mniejsze, można powiedzieć jest to domknięcie w dół zbioru \(\displaystyle{ A}\). Drugi zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest to zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Łatwo się przekonać, że \(\displaystyle{ B\supset A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , więc również \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, więc ma ograniczenie górne, więc zbiór \(\displaystyle{ C}\) wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty. Z konstrukcji tych dwóch zbiorów (oraz z tego że porządek jest liniowy) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ B \cup C=X}\). Gdy \(\displaystyle{ b\in B, c\in C}\), wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) mamy \(\displaystyle{ b\le a}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) mamy, że \(\displaystyle{ c>x}\), więc również \(\displaystyle{ c>a \ge b}\), a więc \(\displaystyle{ b<c}\). Otrzymujemy zatem, że para zbiorów \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\).

Korzystając z ciągłości wnioskujemy, ze ten przekrój \(\displaystyle{ (B,C)}\) nie daje luki, a zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy lub zbiór \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy.
Gdy zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy \(\displaystyle{ b\in B}\), to jest on supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, to tak: element \(\displaystyle{ b}\) jest większy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), czyli jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\), ponieważ \(\displaystyle{ B\supset A}\), więc \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\)( będziemy krócej mówić że góruje nad \(\displaystyle{ A}\)). Pozostaje pokazać, że jest to najmniejsze ograniczenie górne dla \(\displaystyle{ A}\). Jeśli element \(\displaystyle{ x}\) góruję nad \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ a\le x}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in A. }\) Wtedy również \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) mamy \(\displaystyle{ b\le a}\), wtedy \(\displaystyle{ a \le x}\) (bo każdy element \(\displaystyle{ a\in A }\) spełnia, że \(\displaystyle{ a\le x}\) ), a więc \(\displaystyle{ b \le x}\). Otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\). Jeżeli zatem\(\displaystyle{ x\in B,}\) to \(\displaystyle{ x}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\), skąd \(\displaystyle{ x=b}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in B}\), to \(\displaystyle{ x\in C}\), ponieważ zbiory \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzą przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to na podstawie punktu drugiego, ponieważ \(\displaystyle{ x\in C, b\in B}\), więc \(\displaystyle{ b<x}\), więc\(\displaystyle{ b \le x}\). Otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a więc \(\displaystyle{ b}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A}\).
W pozostałym przypadku, gdy zbiór \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ c\in C}\), to jest on supremum dla \(\displaystyle{ A}\). Istotnie, góruje on nad \(\displaystyle{ A}\), gdyż \(\displaystyle{ A\subset B}\), a zbiory \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzą przekrój Dedekinda, a zatem element \(\displaystyle{ c\in C}\) jest większy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\) w szczególności od każdego elementu \(\displaystyle{ A}\), a zatem element \(\displaystyle{ c}\) góruje nad \(\displaystyle{ A}\). Niech elemnt \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ A}\), wtedy również \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\), nie może \(\displaystyle{ x}\) należeć do \(\displaystyle{ B}\), bo wtedy \(\displaystyle{ x}\) byłby elementem największym \(\displaystyle{ B}\), a w \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu największego- sprzeczność. Zatem musi \(\displaystyle{ x\in C}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ C}\), więc \(\displaystyle{ c \le x}\). A zatem \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a więc \(\displaystyle{ c}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A.\square}\) :|

\(\displaystyle{ \Longleftarrow }\) Pokażemy teraz wynikanie w drugą stronę( o wiele łatwiejsze):

Pokazemy że \(\displaystyle{ \left( X,\le\right) }\) jest uporządkowany w sposób ciągły. Ponieważ, z założenia, jest gęsty, więc to równoważnie oznacza, że żaden przekrój w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku. Pokażemy, że również żaden przekrój nie daje luki. Niech \(\displaystyle{ (A,B)}\) będzie przekrojem w \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że on nie daje luki. Z własności przekroju zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są niepuste, zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry przez elementy \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}}\). Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\) ograniczonym z góry, zatem (na mocy założenia) ma on supremum \(\displaystyle{ a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), a więc przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daję luki. Jeśli \(\displaystyle{ a\not\in A}\), to \(\displaystyle{ a\in B}\). Pokażemy, że wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ B}\). Niech \(\displaystyle{ b\in B}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ a \le b}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in B}\), więc z własności przekroju element \(\displaystyle{ b}\) jest większy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), ponieważ element \(\displaystyle{ a}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A}\), czyli jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ a \le b}\), otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B}\), a a stąd wnioskujemy, ze przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daję luki. \(\displaystyle{ \square}\)
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodnimy teraz twierdzenie:

Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy (jest uporządkowany w sposób gęsty, a ponadto każdy niepusty zbiór ograniczony od dołu (mający ograniczenie dolne) gdy każdy taki podzbiór ma infimum).

Dowód (już o wiele prostszy):

Niech \(\displaystyle{ (X, \le )}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Na mocy poprzedniego twierdzenia wystarczy pokazać, że w\(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) każdy niepusty ograniczony od góry podzbiór ma supremum (*), wtedy i tylko wtedy, gdy każdy niepusty zbiór ograniczony od dołu ma infimum (**).

Zarys dowodu:

(*) \(\displaystyle{ \Longrightarrow}\) (**)

Załóżmy, że każdy taki odpowiedni podzbiór ma supremum, i pokażmy, że każdy (odpowiedni) podzbiór ma infimum. Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie niepustym zbiorem ograniczonym od dołu. Pokażemy, że ma infimum. Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie zbiorem wszystkich ograniczeń dolnych zbioru \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od dołu, więc ma ograniczenie dolne, zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) wszystkich ograniczeń dolnych jest niepusty. I zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczony od góry przez elementy \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} }\). Zatem, na mocy założenia \(\displaystyle{ (*)}\) zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma supremum, i pokazujemy, że to supremum jest infimum zbioru \(\displaystyle{ A}\)- na prawo.

(**) \(\displaystyle{ \Longrightarrow}\) (*)

Symetrycznie: Aby pokazać (*), to niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie niepustym zbiorem ograniczonym od góry. Pokażemy, że ma supremum. Rozważmy zbiór na prawo od niego- zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\)- nazwijmy go \(\displaystyle{ B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty. I jest ograniczony od dołu przez elementy \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} .}\) Zatem, na mocy (**) zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma infimum, i pokazujemy, że to infimum jest supremum zbioru na lewo- zbioru \(\displaystyle{ A. \square}\) :D

Mamy twierdzenie: Zbiór liczb wymiernych z naturalnym porządkiem nie jest ciągły.

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ c}\) będzie ustaloną liczbą niewymierną. Zdefiniujmy zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) następująco:

\(\displaystyle{ X_1 =\{x\in \mathbb{Q}: x \leq c\}.}\)

oraz zbiór \(\displaystyle{ X_2=\mathbb{Q} \setminus X_1}\). Z konstrukcji łatwo wynika, że para zbiorów \(\displaystyle{ \left( X_1,X_2\right)}\) tworzą przekrój Dedekinda zbioru\(\displaystyle{ (\mathbb{Q},\leq)}\). Pokażemy, że taki przekrój daje lukę- (Idea dowodu jest taka: \(\displaystyle{ c}\) jest niewymierne, i to jest luka w zbiorze liczb wymiernych).

Przypuśćmy, że w zbiorze \(\displaystyle{ X_1}\) istnieje element największy, oznaczmy go przez \(\displaystyle{ a}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ a\in X_1.}\) Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ Y_1=\{x \in \mathbb R: x \leq c\}}\). W zbiorze \(\displaystyle{ Y_1}\) elementem największym jest \(\displaystyle{ c}\). Łatwo się przekonać, że \(\displaystyle{ X_1 \subset Y_1}\), a zatem \(\displaystyle{ a\in Y_1}\), a więc (z definicji tego zbioru) \(\displaystyle{ a \leq c.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest niewymierne, a \(\displaystyle{ a\in\QQ}\), więc \(\displaystyle{ a\neq c}\), więc \(\displaystyle{ a< c}\). Wtedy jednak, istnieje pomiędzy nimi liczba wymierna, czyli istnieje \(\displaystyle{ x\in \mathbb{Q}}\) takie, że \(\displaystyle{ a < x <c}\). Ustalmy taki element. Taki element \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ X_1}\), zatem, ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ X_1}\), więc \(\displaystyle{ x\le a}\), a mamy \(\displaystyle{ a < x}\) sprzeczność. Wobec tego w zbiorze \(\displaystyle{ X_1}\) nie ma elementu największego.

Analogicznie można udowodnić , że w \(\displaystyle{ X_2}\) nie ma elementu najmniejszego.

Wobec tego skonstruowany przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ \left( X_1,X_2\right)}\) daje lukę, a więc \(\displaystyle{ (\mathbb{Q},\leq)}\) nie jest ciągły.\(\displaystyle{ \square}\)

Natomiast zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem jest oczywiście uporządkowany w sposób ciągły. Choć mi osobiście bardziej leży niż to, że każdy odpowiedni podzbiór ma supremum, warunek równoważny, że żaden przekrój Dedekinda nie daje luki, dlatego też taką definicję przytoczyłem.

Mamy twierdzenie: Ciągłość jest przenoszona przez podobieństwo.

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X} \right),\left( Y, \le _{Y} \right)}\) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi, takimi że zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X} \right)}\) jest ciągły. A \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie podobieństwem. Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ \left( Y, \le _{Y} \right)}\) jest ciągły. Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X} \right)}\) jest ciągły, a więc i gęsty, więc również \(\displaystyle{ \left( Y, \le _{Y} \right)}\) jest również gęsty( gęstość jest przenoszona przez podobieństwo). Pokażemy, że żaden przekrój w \(\displaystyle{ \left( Y, \le _{Y} \right)}\) nie daję luki. Weźmy dowolny przekrój \(\displaystyle{ \left( Y _{1} ,Y _{2} \right)}\) zbioru \(\displaystyle{ Y}\). Rozważmy przeciwobrazy \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} }\left( Y _{1}\right), \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} }\left( Y _{2}\right)}\) oznaczmy je przez \(\displaystyle{ X_1,X_2.}\) Pokazujemy, że \(\displaystyle{ \left( X _{1} ,X _{2} \right)}\) tworzy przekrój zbioru \(\displaystyle{ X}\)
Dowód:    
. Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest ciągły, to przekrój ten nie daje luki, a zatem w \(\displaystyle{ X_1}\) jest element największy lub w \(\displaystyle{ X_2}\) jest element najmniejszy. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x _{1}}\) jest elementem największym w \(\displaystyle{ X_{1}}\). Pokazujemy, że (korzystając z podobieństwa) \(\displaystyle{ f\left( x _{1}\right)}\) jest elementem największym w \(\displaystyle{ Y_1}\). Podobnie, gdy w \(\displaystyle{ X_2}\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ x_2}\), to \(\displaystyle{ f\left( x _{2}\right)}\) jest elementem najmniejszym w \(\displaystyle{ Y_2}\). Łącznie to oznacza, że w \(\displaystyle{ Y_1}\) jest element największy lub w \(\displaystyle{ Y_2}\) jest element najmniejszy. Oznacza to, że przekrój \(\displaystyle{ \left( Y _{1} ,Y _{2} \right)}\) nie daje luki. Wobec dowolności przekroju, żaden przekrój w \(\displaystyle{ Y}\) nie daje luki,i \(\displaystyle{ Y}\) jest gęsty, a więc \(\displaystyle{ \left( Y, \le \right)}\) jest ciągły.\(\displaystyle{ \square}\)

Na koniec, suma porządkowa zbioru liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem i takiego samego zbioru liczb rzeczywistych nie jest nawet podobna do tego zbioru liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem:

\(\displaystyle{ \left( \RR, \le \right) \oplus \left( \RR,\le \right) \not\approx \left( \RR ,\le \right).}\)

Przypomnijmy, że gdy zbiory nie są rozłączne (tak jak teraz), to rozpatrujemy tu \(\displaystyle{ \RR\times\left\{ 0\right\}}\) i \(\displaystyle{ \RR\times\left\{ 1\right\}.}\) Wtedy będziemy mieli rozłączność. Porządki na tych zmienionych zbiorach wyglądają prawie tak samo jak zwykły porządek na liczbach rzeczywistych( z tą różnicą, że rozpatrujemy te punkty płaszczyzny w drugim przypadku na prostej \(\displaystyle{ y=1}\), w pierwszym na osi \(\displaystyle{ x}\), ale też są to formalnie pary). I teraz mamy sumę porządkową, gdzie każda (dowolnie duża) liczba rzeczywista na poziomie \(\displaystyle{ 0}\)( na osi \(\displaystyle{ x}\)) jest mniejsza od każdej (dowolnie małej) liczby rzeczywistej na poziomie \(\displaystyle{ 1}\)( na prostej \(\displaystyle{ y=1}\)).

Para zbiorów \(\displaystyle{ \left( \RR \times \left\{ 0\right\}, \RR \times \left\{ 1\right\} \right) }\) tworzy niewątpliwie przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ \left( \RR \times \left\{ 0,1\right\}, \oplus\right)}\) (z definicji sumy porządkowej).

W \(\displaystyle{ \RR \times \left\{ 0\right\}}\) nie ma elementu największego, gdyż w \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalnym porządkiem nie ma liczby największej. Podobnie, w \(\displaystyle{ \RR \times \left\{ 1\right\}}\) nie ma elementu najmniejszego, gdyż w \(\displaystyle{ \RR}\) ze zwykłym porządkiem nie ma liczby najmniejszej. Zatem ten przekrój \(\displaystyle{ \left( \RR \times \left\{ 0\right\}, \RR \times \left\{ 1\right\} \right) }\) daje lukę, a więc \(\displaystyle{ \left( \RR\times \left\{ 0,1\right\} ,\oplus\right) }\) nie jest ciągły. Ponieważ \(\displaystyle{ \RR}\) ze zwykłym porządkiem jest ciągły, to zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( \RR, \le\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \RR \times \left\{ 0,1\right\},\oplus\right) }\), nie mogą być nawet podobne.\(\displaystyle{ \square}\) :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem dzisiaj, bardzo prosto, że jeśli zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X,R)}\) jest uporządkowany w sposób ciągły, to porządek odwrotny \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest ciągły na \(\displaystyle{ X}\). (Intuicyjnie jest to zrozumiałe, ale ja lubię uzasadniać takie proste fakty :lol: ). Przedstawię ten prosty dowód. Przedstawię najpierw, już wcześniej wykonany dowód, że jeśli zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X, R )}\) jest uporządkowany w sposób gęsty, to również porządek odwrotny \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest gęsty na \(\displaystyle{ X}\).

Przypominam, zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest gęsty, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in X}\), takich, że \(\displaystyle{ x<y}\), istnieje element \(\displaystyle{ z\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x<z<y}\).(Czyli gdy pomiędzy dwoma dowolnymi elementami jest trzeci element pomiędzy nimi).

Dowód tego lematu:

Niech \(\displaystyle{ (X,R)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym gęstym. Pokażemy, że również \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest gęsty na \(\displaystyle{ X}\).

W tym celu weźmy dowolne dwa elementy \(\displaystyle{ a,b\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ a<b}\), tzn. \(\displaystyle{ a(R^{-1}) b}\), i \(\displaystyle{ a \neq b}\). To oznacza \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R ^{-1}}\), co z definicji relacji odwrotnej oznacza, że \(\displaystyle{ (b,a)\in R}\), innymi słowy \(\displaystyle{ b(R)a}\). Ponieważ porządek \(\displaystyle{ R}\) jest gęsty, \(\displaystyle{ b}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ a}\) względem \(\displaystyle{ R}\)( oraz \(\displaystyle{ b \neq a}\)), więc otrzymujemy element \(\displaystyle{ c\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ b(R)c}\) i \(\displaystyle{ c(R)a}\), ( \(\displaystyle{ b\neq c \neq a}\)). Innymi słowy \(\displaystyle{ (b,c)\in R}\) i \(\displaystyle{ (c,a)\in R}\), co daje dla relacji odwrotnej, że \(\displaystyle{ (c,b)\in R^{-1}, (a,c)\in R^{-1}}\), innymi słowy \(\displaystyle{ a(R^{-1})c}\) i \(\displaystyle{ c(R^{-1})b.}\) Oznacza to, że element \(\displaystyle{ c}\) lezy pomiędzy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) względem (\(\displaystyle{ R^{-1}}\)). Wobec dowolności wyboru elementów \(\displaystyle{ a,b}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest gęsty. \(\displaystyle{ \square}\)

Przechodzimy do dzisiejszego dowodu.

Niech \(\displaystyle{ (X,R)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym. Pokażemy, że również \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest ciągły. Ponieważ zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X,R)}\) jest ciągły, a więc i gęsty, więc z poprzedniego leamtu \(\displaystyle{ (X,R^{-1})}\) jest również gęsty.

Aby wykazać, ze \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest ciągły nalezy wykazać, że każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) ograniczony od góry ma supremum. Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) będzie niepustym zbiorem ograniczonym od góry. Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, więc ma ograniczenie górne. Niech element \(\displaystyle{ a}\) będzie ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\). Wtedy z charakteryzacji porządków odwrotnych, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\). Ponieważ zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (X,R)}\) jest ciągły, a \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem ograniczonym od dołu, zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum \(\displaystyle{ b}\) wzgledem \(\displaystyle{ R}\), ktory to element \(\displaystyle{ b}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\) wzgledem \(\displaystyle{ R^{-1}}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum względem\(\displaystyle{ R^{-1}. \square}\) :D
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

Zastanawia mnie jak pokazać, że każdy zbiór liniowo uporządkowany ciągły( który ma co najmniej dwa elementy, ponieważ jest gęsty i ma co najmniej dwa elementy, to jest nieskończony) każdy taki zbiór zawiera pewien przedział \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \subset \RR }\)- ten ciekawy problem pomoże mi lepiej sobie wyobrazić jak wyglądają porządki ciągle na podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych.

Moja próba:

Niech \(\displaystyle{ X\subset \RR}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym mającym co najmniej dwa elementy.

Myślę, że trzeba najpierw pokazać, że istnieje przedział \(\displaystyle{ A=(x,y)\subset \RR}\),gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\), w którym nie ma pustych przedziałów, tzn. taki, ze dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in A}\) istnieje \(\displaystyle{ c\in (a,b) (c\in\RR, a<c<b}\)), takie, że \(\displaystyle{ c\in X.}\) (Gdyż zauważmy jak mamy przedział w liczbach rzeczywistych, który względem naszego porządku jest pusty, gdzie nie ma elementów tego zbioru, to żadna pośrednia liczba rzeczywista nie należy do \(\displaystyle{ X}\). Natomiast my szukamy takiego zbioru, przedziału, w którym nie ma pustych przedziałów, i wtedy pomiędzy dwoma elementami jest trzecia liczba (względem naturalnego porządku), która należy do naszego zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Tylko nie wiem jak to pokazać??

A potem \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest naszym przedziałem, gdyż gdyby jakby jakaś liczba \(\displaystyle{ z\in\left( x,y\right)}\), nie należała do \(\displaystyle{ X}\), to trzeba będzie pokazać, że wyznacza ona lukę w \(\displaystyle{ X}\), co będzie sprzeczne z ciągłością \(\displaystyle{ X}\). Ale najpierw musimy pokazać naszą niełatwą własność. Jak to zrobić :?:

Czy może inaczej :?:

Rozwiązałem też dzisiaj takie zadanie z ważniaka:
Zbiór liczb niewymiernych nie jest ciągły:    
:lol:
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Dasio11 »

Sugeruję raczej szukać kontrprzykładu.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

W jaki sposób?? Zauważ, że zbiór liczb niewymiernych, zgodnie z tym co wykazałem, nie jest ciągły, można wskazać liczbę wymierną jako lukę (ja wskazałem \(\displaystyle{ 0}\)), również zbiór liczb wymiernych nie jest ciągły. Zauważmy też, że zapełnianie wszystkich luk w zbiorze liczb wymiernych doprowadziło do konstrukcji Dedekinda liczb rzeczywistych, także ja bym obstawał przy tym, że da radę to udowodnić, tylko nie wiem jak :?:

Ale mogę się mylić.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Dasio11 »

Jakub Gurak pisze: 21 kwie 2021, o 17:21Zauważ, że zbiór liczb niewymiernych, zgodnie z tym co wykazałem, nie jest ciągły, można wskazać liczbę wymierną jako lukę (ja wskazałem \(\displaystyle{ 0}\)), również zbiór liczb wymiernych nie jest ciągły.
Wow, naprawdę? :]

Kontrprzykład można otrzymać lekko modyfikując konstrukcję zbioru Cantora.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

Tzn., przy wyrzucaniu przedziałów wyrzucać przedziały otwarto-domknięte, aby pozostały końce pierwszy domknięty, drugi otwarty (lub na odwrót), o to chodzi :?: :?:
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Dasio11 »

Tak.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, że w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym \(\displaystyle{ \left( X,\le\right)}\) , każda reszta \(\displaystyle{ A\subset X}\) niepusta i różna od całego \(\displaystyle{ X}\), wtedy reszta \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=(x, \rightarrow )=\left\{ y\in X: \ y>x\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo jest postaci \(\displaystyle{ A=\left[ x, \rightarrow \right)=\left\{ y\in X: \ y \ge x\right\} }\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\) Udowodniłem też inne podstawowe fakty związane z resztą. Udowodniłem też, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , dla \(\displaystyle{ a,b\in X}\) zbiory postaci \(\displaystyle{ \left( a,b\right]=\left\{ x\in X: a < x \le b \right\}}\) są przedziałami, podobnie udowodniłem, że zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]=\left\{ x\in X : a \le x \le b\right\}}\) są przedziałami, jak i zbiory postaci \(\displaystyle{ \left( a,b\right) =\left\{ z\in X: a<z<b\right\} }\) są przedziałami, i jak i zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right)=\left\{ x\in X: \ a \le x<b\right\}}\) są przedziałami. Udowodniłem też, że w zbiorze liniowo uporządkowanym każdy przedział początkowy jest przedziałem, i każda reszta jest przedziałem. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Przypomnę może najpierw definicję:

W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy resztą zbioru \(\displaystyle{ X}\), gdy dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\), dla każdego \(\displaystyle{ y\in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ y \ge x}\), zachodzi \(\displaystyle{ y\in A.}\)

(Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, gdy z każdym swoim elementem zawiera także wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), które są od niego większe).

Podobnie w zbiorze liniowo uporządkowanym zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem początkowym, gdy z każdym swoim elementem zawiera także wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), które są od niego mniejsze.

I zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy przedziałem, gdy dla każdych \(\displaystyle{ x,y\in A}\), dla każdego \(\displaystyle{ z \in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ x<z<y}\), zachodzi \(\displaystyle{ z\in A.}\)

(Czyli zbiór jest przedziałem, gdy z każdymi dwoma elementami każdy pośredni element do niego również należy).

Przejdźmy zatem do naszych dowodów.

Zauważmy najpierw, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), dla \(\displaystyle{ x\in X}\), to zbiór postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right) =\left\{ y\in X: \ \ y>x\right\}}\) jest zawsze resztą.

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ y\in \left( x, \rightarrow \right)}\), wtedy \(\displaystyle{ y\in X, y>x}\). Aby pokazać, że \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)}\) jest resztą, to weźmy \(\displaystyle{ z\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ z \ge y}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ z\in\left( x, \rightarrow \right)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ z \ge y>x}\), więc \(\displaystyle{ z>x}\)( i \(\displaystyle{ z\in X}\)), więc \(\displaystyle{ z\in \left( x, \rightarrow\right) }\), a więc zbiór \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)}\) jest resztą.\(\displaystyle{ \square}\)

Udowodnimy teraz, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\), dla \(\displaystyle{ x\in X}\), zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)=\left\{ y\in X: \ \ y \ge x\right\}}\) są zawsze resztą.

Dowód:

Aby pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right]}\) jest resztą, to weźmy \(\displaystyle{ y\in \left[ x, \rightarrow \right)}\), wtedy \(\displaystyle{ y\in X, y \ge x.}\) I weźmy \(\displaystyle{ z\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ z \ge y}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ z\in\left[ x, \rightarrow \right].}\) Ponieważ \(\displaystyle{ z \ge y \ge x}\), to \(\displaystyle{ z \ge x}\), i \(\displaystyle{ z\in X}\), więc \(\displaystyle{ z\in\left[ x, \rightarrow \right).}\) A zatem zbiór \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)}\) jest resztą.

Zauważmy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), formalnie rzecz biorąc, jest resztą (łatwo to sprawdzić).

Jednak w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jednak nie każda reszta różna od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right),}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X}\). Aby to uzasadnić rozważny zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem, i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ A:=\left[ 0, \rightarrow \right)}\), Zgodnie z tym co wykazaliśmy taki zbiór jest resztą różną od \(\displaystyle{ \RR}\). Nie jest on jednak postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)}\) dla żadnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), łatwo się o tym przekonać.

Podobnie w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) nie każda reszta różna od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right]}\), dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X}\). Aby to pokazać, rozważmy znowu zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem, i zbiór \(\displaystyle{ A:=\left( 0, \rightarrow \right).}\) Zgodnie z tym co wykazaliśmy jest on resztą. Nie jest on jednak postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)}\) dla żadnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), łatwo się o tym przekonać.

Co więcej, w zbiorze liniowo uporządkowanym może istnieć niepusta i różna od całego zbioru reszta, która nie jest postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), ani nie jest postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right),}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Aby to pokazać, rozważmy zbiór liczb rzeczywistych bez zera \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) z naturalnym porządkiem, jest to zbiór liniowo uporządkowany. Rozważmy zbiór liczb dodatnuch \(\displaystyle{ \RR_+}\). Wykażemy, że jest on resztą.
Aby to pokazać, to niech \(\displaystyle{ x\in\RR_+}\), wtedy \(\displaystyle{ x>0}\), i niech \(\displaystyle{ y\in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\), będzie taką liczbą, że \(\displaystyle{ x<y}\). Wtedy \(\displaystyle{ 0<x<y}\), a więc \(\displaystyle{ y>0}\), a więc \(\displaystyle{ y\in\RR_+}\). A więc zbiór \(\displaystyle{ \RR_+}\) jest resztą.
Nie jest on jednak postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)}\) dla zadnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) (byłby postaci \(\displaystyle{ \left( 0, \rightarrow \right) }\) ale \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do naszego zbioru \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\) ), zatem \(\displaystyle{ \RR_+}\) nie jest tej postaci. Nie jest też postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)}\) dla żadnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)- łatwo się o tym przekonać.

Udowodnimy teraz fakt, (gdyż będzie nam przydatny), że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem początkowym ,to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, a jeśli \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right), }\) to w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym.
DOWÓD:    
Przechodzimy teraz do najważniejszego, tzn. wykażemy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , jesli \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą niepustą i różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\), to A jest postaci \(\displaystyle{ A=\left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X,}\) albo \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=\left[ x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\).

Będziemy korzystali z twierdzenia, że w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym \(\displaystyle{ (X, \le)}\) niepuste i różne od całego zbioru przedziały początkowe są postaci \(\displaystyle{ O(x)=\left\{ y\in X: \ y<x\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo są postaci \(\displaystyle{ \overline {O(x)}=\left\{ y\in X: \ \ y \le x\right\} }\),gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), co nie dawno udowodniłem TUTAJ. Przechodzimy do naszego dowodu:

DOWÓD:

Na mocy faktu udowodnionego w ukrytej treści w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, więc \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest również ciągły ( w postach powyżej można znaleźć ten fakt ( i jego dowód), że porządek odwrotny do ciągłego jest ciągły). Ponieważ zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest ciągły, a \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym i różnym od calego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem poczatkowym, więc \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), albo \(\displaystyle{ A=\overline{O(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), na mocy twierdzenia, do którego odsyłałem.

Jesli \(\displaystyle{ A=O(x)}\), to \(\displaystyle{ A=O(x)=\left\{ y\in X: y< ^{-1} x \right\}\stackrel {y \neq x}{=} \left\{ y\in X: y > x\right\}=\left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest żądanej postaci.

Jesli \(\displaystyle{ A=\overline{O(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), to \(\displaystyle{ A=\left\{ y\in X: y \le ^{-1} x \right\} =\left\{ y\in X: \ x \le y\right\} =\left[ x, \rightarrow \right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), a więc \(\displaystyle{ A}\) jest tej postaci.

Upewnijmy się jeszcze, że \(\displaystyle{ A}\) nie jest obu tych postaci (nie wiem czy to niezbędne tutaj, ale dla bezpieczeństwa).

Przypuśćmy, że w zbiorze ciągłym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), niepusta i rózna od calego zbioru \(\displaystyle{ X}\) reszta jest postaci \(\displaystyle{ A=\left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), i \(\displaystyle{ A=\left[y, \rightarrow \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right) \neq \left[ x, \rightarrow \right)}\), więc \(\displaystyle{ x \neq y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany liniowo, więc \(\displaystyle{ x<y}\) lub \(\displaystyle{ y<x. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ x<y}\), ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany w sposób ciągły, a więc i gęsty, więc otrzymujemy element \(\displaystyle{ z\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x<z<y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ z>x}\), to \(\displaystyle{ z\in\left( x, \rightarrow \right)=A}\), ale \(\displaystyle{ A=\left[ y, \rightarrow \right)}\), więc \(\displaystyle{ z\in\left[ y, \rightarrow \right)}\), skąd \(\displaystyle{ z \ge y}\), a \(\displaystyle{ z<y}\)- sprzeczność. Jeśli \(\displaystyle{ y<x}\), to podobnie otrzymujemy sprzeczność.

Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X,}\) albo \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=\left[ x, \rightarrow \right] }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\).\(\displaystyle{ \square}\) :D

Udowodnijmy jeszcze, że każdy przedział początkowy zbioru liniowo uporządkowanego jest przedziałem, i każda reszta jest przedziałem.

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporzadkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) przedziałem początkowym. Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem. W tym celu weźmy \(\displaystyle{ x,y\in A}\), niech \(\displaystyle{ z\in X}\), będzie takie, że \(\displaystyle{ x<z<y}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ z\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ z<y\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, to rownież \(\displaystyle{ z\in A}\). A zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem.

Niech teraz \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie resztą. Pokażemy, ze zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem. W tym celu niech \(\displaystyle{ x,y\in A}\), i niech \(\displaystyle{ z\in X}\), będzie takie, że \(\displaystyle{ x<z<y}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ z\in A}\). Poniewąz \(\displaystyle{ A\ni x <z}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ z\in A}\). A zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem.\(\displaystyle{ \square}\)

Odnotujmy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporzadkowanym, a \(\displaystyle{ a,b\in X}\), to zbiory postaci \(\displaystyle{ \left( a,b\right)=\left\{ z\in X:a<z<b\right\}}\) takie zbiory są przedziałami, podobnie zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]=\left\{ x\in X: a \le x \le b \right\}}\) są przedziałami, zbiory postaci \(\displaystyle{ \left( a,b\right]=\left\{ x\in X: a<x \le b\right\}}\) są przedziałami, i zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right)=\left\{ x\in X: \ a \le x<b\right\}}\) są przedziałami, łatwo to można udowodnić. :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, \(\displaystyle{ A\subset X}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, to \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ (a,b)}\), dla \(\displaystyle{ a,b\in X}\), albo \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right]}\), dla \(\displaystyle{ a,b\in X, a \le b}\); albo \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right)}\), dla \(\displaystyle{ a,b\in X}\); albo \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=\left( a,b\right]}\), dla \(\displaystyle{ a,b\in X}\). Ponieważ w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym przedziały początkowe są postaci \(\displaystyle{ O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X,}\) albo postaci \(\displaystyle{ \overline{O(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), a reszty są postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), więc w dowolnym zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) niepuste i różne od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziały są dokładnie jednej z tej postaci. I to jest ciekawe. :D Przedstawię teraz dowód, a na koniec jeszcze raz podkreślę ten ciekawy wynik.


Dowód:

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in A,}\) i największy \(\displaystyle{ b\in A}\), to \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right] , a,b \in X}\). Aby udowodnić tą równość zbiorów to:
DOWÓD:    
Jeśli w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego, to pokażemy teraz, że \(\displaystyle{ A}\) ma supremum (a potem, że \(\displaystyle{ A}\) ma infimum).
Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą (i \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\)), więc zaprzeczając definicji reszty otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), i istnieje \(\displaystyle{ x\in X}\), takie że \(\displaystyle{ x>a}\), oraz takie, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\). Ustalmy takie \(\displaystyle{ a\in A}\), i ustalmy takie \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy \(\displaystyle{ x>a}\), \(\displaystyle{ x\not\in A}\). Ja teraz stwierdzam, że wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, to niech \(\displaystyle{ b\in A}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b\not \le x}\), wtedy \(\displaystyle{ A\ni a<x<b\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, to wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in A}\)- sprzeczność. Zatem musi być \(\displaystyle{ b \le x}\), i (z dowolności \(\displaystyle{ b\in A}\)) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest ciągły, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest ograniczony z góry i niepusty, zatem \(\displaystyle{ A}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee A}\). Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ A}\) ma infimum.

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ a= \bigwedge A}\)- jest to infimum \(\displaystyle{ A}\). W przeciwnym razie, to ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym (i \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) ) ,więc zaprzeczając definicji przedziału początkowego otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ x\in A}\), i istnieje \(\displaystyle{ y\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ y<x,}\) i \(\displaystyle{ y\not\in A}\). Ustalmy takie \(\displaystyle{ x\in A}\) i \(\displaystyle{ y.}\) Wtedy \(\displaystyle{ y<x}\), \(\displaystyle{ y\not\in A}\). Ja teraz stwierdzam, że wtedy \(\displaystyle{ y}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, to niech \(\displaystyle{ a\in A.}\) Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ y\not \le a}\), wtedy \(\displaystyle{ A\ni x>y>a\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, wiec wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y\in A}\), a \(\displaystyle{ y\not\in A}\)-sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ y \le a}\), i (z dowolności \(\displaystyle{ a\in A}\)) dostajemy, że latex]y[/latex] jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest zbiorem ograniczonym z dołu ,(i \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) ), a zbiór \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest ciagly, więc \(\displaystyle{ A}\) ma infimum \(\displaystyle{ a}\). Wiemy, też już, że \(\displaystyle{ A}\) ma supremum, nazwijmy je \(\displaystyle{ b}\).
Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ a \le b}\)( aby to uzasadnić, to: wyciągamy z niepustego zbioru \(\displaystyle{ A}\) element \(\displaystyle{ c\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ b}\) jest supremum \(\displaystyle{ A}\), to jest jego ograniczeniem górnym, wiec \(\displaystyle{ c\le b}\), podobnie ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest infimum \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest jego ograniczeniem dolnym, skąd, \(\displaystyle{ a \le c}\), a zatem z przechodniości porządku \(\displaystyle{ a \le b}\)).

Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ A\subset \left[ a,b\right].}\)
Niech \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ b}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), skąd \(\displaystyle{ x\le b}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest infimum zbioru \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ a \le x}\). Mamy \(\displaystyle{ x \le b}\), skąd \(\displaystyle{ x\in\left[ a,b\right]}\), i \(\displaystyle{ A\subset \left[ a,b\right].}\)

Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ \left(a,b \right) \subset A}\). Udowodnijmy najpierw lemat:

Lemat 0:

Jeśli \(\displaystyle{ x\in X,}\) i \(\displaystyle{ x\not\in A}\), to \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A.}\)

Aby to wykazać, załóżmy (oczywiście też, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\) ) oraz, że \(\displaystyle{ x}\) nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) (i ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\)), więc zaprzeczając definicji ograniczenia górnego otrzymujemy, że istnieje element \(\displaystyle{ c\in A}\), taki, że \(\displaystyle{ x\not \ge c}\), wtedy \(\displaystyle{ x<c.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), to weźmy \(\displaystyle{ y\in A}\), i pokażmy \(\displaystyle{ x \le y}\). Przypuśćmy nie wprost, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ A\ni y<x<c\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in A}\), a \(\displaystyle{ x\not\in A}\)-sprzeczność, co kończy dowód lematu.

Pokażemy teraz, że \(\displaystyle{ \left( a,b\right)\subset A.}\)

Niech \(\displaystyle{ x\in \left( a,b\right)}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in X}\), \(\displaystyle{ a <x<b.}\) Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\). Wtedy jednak, na mocy Lematu 0 \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\). Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), ponieważ \(\displaystyle{ b}\) jest supremum \(\displaystyle{ A}\), czyli najmniejszym ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ b \le x}\), a \(\displaystyle{ x<b}\)-sprzeczność. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest infimum \(\displaystyle{ A}\), czyli największym ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ x\le a}\), a \(\displaystyle{ a<x}\)- sprzeczność.
Zatem \(\displaystyle{ x\in A}\), i \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \subset A}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ A\subset \left[ a,b\right]}\) i \(\displaystyle{ A\supset \left( a,b\right)}\), więc są możliwe cztery przypadki: \(\displaystyle{ A=\left( a,b\right),}\) albo \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right]}\), albo \(\displaystyle{ A=\left[a,b \right),}\) albo \(\displaystyle{ A=\left( a,b\right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X, a \le b .\square}\) :D :lol:

Podsumowując, w DOWOLNYM zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) niepuste i różne od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziały albo są przedziałami początkowymi, i wtedy są postaci \(\displaystyle{ O(x)=\left\{ z\in X: \ z<x \right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X,}\) albo są postaci \(\displaystyle{ \overline{O(x)}=\left\{ z\in X: \ z \le x\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo są resztą, wtedy są postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right)=\left\{ z\in X: \ z>x\right\} }\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), albo są postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)=\left\{ z\in X: \ z \ge x\right\} ,}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), albo, na mocy tego dowodu, są dokładnie jednej z czterech postaci:
\(\displaystyle{ A= \left( a,b\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\); albo \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right]}\) ,gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\), \(\displaystyle{ a \le b}\); albo \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\); albo \(\displaystyle{ A=\left( a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) (w szczególności zbiory jednopunktowe postaci \(\displaystyle{ \left\{ a\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in X}\), są przedziałami, i są postaci \(\displaystyle{ \left[ a,a\right]}\) ( jednak z zastrzeżeniem, że jeśli w \(\displaystyle{ X}\) jest element największy \(\displaystyle{ a}\), to \(\displaystyle{ \left\{ a\right\}}\) może być również resztą, i wtedy również \(\displaystyle{ \left\{ a\right\}=\left[ a, \rightarrow \right]}\); podobnie jeśli w \(\displaystyle{ X}\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ b}\), to \(\displaystyle{ \left\{ b\right\} }\) może być również przedziałem początkowym, i wtedy również \(\displaystyle{ \left\{ b\right\}=\overline{O(b)}}\) ) ).

To dopiero ciekawy wynik. :lol:
ODPOWIEDZ