Uogólniony iloczyn karzezjański

Jakub Gurak · Post autor: **Jakub Gurak** » 2 mar 2020, o 22:36

Napiszę tu trochę (nie zbyt wiele, bo nie mam zbyt wiele wiedzy na ten temat) na ten temat.

Niech $\displaystyle{ \mathbb{X}}$ będzie rodziną zbiorów . Produktem uogólnionym (lub uogólnionym iloczynem kartezjańskim) rodziny $\displaystyle{ \mathbb{X}}$ nazywamy zbiór:$$\prod \mathbb{X}=\left\{ f\in(\bigcup \mathbb{X})^ {\mathbb{X}} \Bigl| \ \ f(A)\in A \hbox{ dla każdego } A\in \mathbb{X} \right \}.$$ Czyli jest to zbiór wszystkich funkcji określonych na rodzinie zbiorów $\displaystyle{ \mathbb{X},}$ które zbiorom rodziny $\displaystyle{ \mathbb{X}}$ przypisują elementy tych że zbiorów.

Intuicyjnie, moc takiego produktu uogólnionego jest taka, jak "wymnożona" ilość elementów kolejnych zbiorów rodziny $\displaystyle{ \mathbb{X}}$, gdyż jeżeli weźmiemy pierwszy zbiór $\displaystyle{ A}$, to możemy mu przypisać jego dowolny element , kolejnemu zbiorowi możemy przypisać jego dowolny element, ... pozostaje te wielkości "wymnożyć" ( korzystamy z faktu, że jeżeli funkcja zbiorowi (argumentowi) przypisuje wartość, a druga funkcja temu samemu zbiorowi przypisuje inną wartość, to te funkcje są różne).

Ściślej rzecz biorąc, mamy twierdzenie:

Dla dowolnych dwóch różnych zbiorów $\displaystyle{ A,B}$ istnieje bijekcja między $\displaystyle{ \prod \left\{A,B\right\} }$ a zbiorem $\displaystyle{ A\times B.}$

Czyli zbiory $\displaystyle{ \prod \left\{A,B\right\} }$ i $\displaystyle{ A×B}$ są równoliczne.

Dowód:

Niech $\displaystyle{ A,B}$ będą różnymi zbiorami. Jeśli któryś ze zbiorów $\displaystyle{ A,B}$ jest pusty, to $\displaystyle{ A\times B=\emptyset, }$ i również $\displaystyle{ \prod \left\{A,B\right\} }$ jest pusty (gdyż nie może istnieć funkcja przypisująca zbiorowi pustemu jego jeden element ), czyli nie tylko są równoliczne, a wręcz są równe. Dalej niech zbiory $\displaystyle{ A,B}$ będą niepuste. Rozważmy funkcję $\displaystyle{ X: \prod \left\{A,B\right\}\rightarrow A\times B }$, określoną jako:

$\displaystyle{ X(f)=(f(A),f(B)).}$

Zauważmy najpierw, że para $\displaystyle{ (f(A),f(B))}$ jest elementem $\displaystyle{ A\times B,}$ gdyż z definicji $\displaystyle{ \prod \left\{A,B\right\} }$ mamy, że funkcje tej rodziny zbiorom rodziny $\displaystyle{ \{A,B\}}$ przypisują ich elementy, skąd $\displaystyle{ f(A)\in A}$ i $\displaystyle{ f(B)\in B.}$ Zatem $\displaystyle{ X}$ jest funkcją.

Pokażemy, że $\displaystyle{ X}$ jest różnowartościowa. Weźmy dowolne funkcje $\displaystyle{ f,g\in\prod \left\{A,B\right\} }$, dla których $\displaystyle{ X(f)=X(g). }$ Pokażemy, że $\displaystyle{ f=g.}$ Ponieważ $\displaystyle{ X(f)=X(g),}$ więc z definicji funkcji $\displaystyle{ X}$ otrzymujemy, że $\displaystyle{ (f(A),f(B))=(g(A),g(B)),}$ a to daje, że $\displaystyle{ f(A)=g(A),}$ i $\displaystyle{ f(B)=g(B).}$ Przypomnijmy, że dziedziną funkcji $\displaystyle{ f,g}$ jest zbiór $\displaystyle{ \left\{ A,B\right\}.}$ Skoro mają te same dziedziny i przeciwdziedziny (którą to przeciwdziedziną jest $\displaystyle{ A \cup B= \bigcup \left\{ A,B\right\} }$), i przyjmują te same wartości na argumentach dziedziny, to są równe, czyli $\displaystyle{ f=g.}$ A więc funkcja $\displaystyle{ X}$ jest różnowartościowa.

Pokażemy teraz, że funkcja $\displaystyle{ X}$ jest "na" zbiór $\displaystyle{ A\times B.}$ Niech $\displaystyle{ (a,b)\in A\times B.}$ Wtedy oczywiście $\displaystyle{ a\in A, b\in B.}$ Rozważmy zbiór $\displaystyle{ f=\left\{ (A,a),(B,b)\right\}.}$ Ponieważ zbiory $\displaystyle{ A,B}$ są różne, więc $\displaystyle{ f}$ jest funkcją na zbiorze $\displaystyle{ \left\{A,B\right\}. }$ Dodatkowo $\displaystyle{ f(A)=a\in A}$ i $\displaystyle{ f(B)=b\in B. }$ A zatem $\displaystyle{ f\in\prod \left\{A,B\right\}. }$ Zauważmy, że $\displaystyle{ X(f)=(f(A), f(B) )=(a,b).}$ Wskazaliśmy zatem element $\displaystyle{ f}$ dziedziny $\displaystyle{ \prod\left\{A,B\right\} }$ funkcji $\displaystyle{ X}$ dla którego wartością jest para $\displaystyle{ (a,b).}$ Wobec dowolności wyboru takiej pary, wnioskujemy, że funkcja $\displaystyle{ X}$ jest "na".

A więc $\displaystyle{ X}$ jest bijekcją.$\displaystyle{ \square}$

Uwaga

Założenie o różności zbiorów $\displaystyle{ A}$ i $\displaystyle{ B}$ w powyższym twierdzeniu jest istotne. Niech $\displaystyle{ A=B=\left\{ 0,1\right\} }$, wtedy $\displaystyle{ A\times B=\left\{ \left( 0,0\right);\left( 0,1\right);\left( 1,0\right);\left( 1,1\right) \right\}}$ oraz $\displaystyle{ \prod\left\{ A,B\right\}= \prod\left\{ A\right\}=\left\{ \left( A,0\right);\left( A,1\right) \right\}.}$ Ponieważ obraz każdej funkcji ze zbioru $\displaystyle{ \prod\left\{ A\right\}=\left\{ \left( A,0\right);\left( A,1\right) \right\}}$ w zbiór $\displaystyle{ A\times B}$ (czyli jej zbiór wartości) jest co najwyżej dwuelementowy( a zbiór $\displaystyle{ A\times B}$ jest czteroelementowy), to żadna taka funkcja nie może być 'na' $\displaystyle{ A\times B}$, a więc nie może być również bijekcją.

W podobny sposób można udowodnić, że jeśli zbiory $\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots,X_n}$ są różne (dla $\displaystyle{ n \ge 3}$), to $\displaystyle{ \prod\left\{X_1,X_2,\ldots,X_n \right\} }$ jest równoliczny z $\displaystyle{ \left( \left( \left( X_1\times X_2\right) \times X_3\right) \times\ldots\times X _n\right) .}$.

Mamy też podobny fakt, że jeśli $\displaystyle{ X}$ jest zbiorem, a $\displaystyle{ \mathbb {B}}$ skończoną rodziną podzbiorów zbioru $\displaystyle{ X}$ podzbiorów co najwyżej przeliczalnych, to $\displaystyle{ \prod \mathbb{B}}$ jest co najwyżej przeliczalny.

Jakub Gurak · Post autor: **Jakub Gurak** » 17 lut 2021, o 16:57

Udało się to wczoraj (samodzielnie) udowodnić, tzn. twierdzenie, że jeśli $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest dowolną skończoną rodziną zbiorów co najwyżej przeliczalnych, to $\displaystyle{ \prod \mathbb{B}}$ jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Przedstawię teraz dowód:

Lemat 0: Jeśli $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest rodziną zbiorów, a $\displaystyle{ A\notin\mathbb{B}}$ zbiorem spoza tej rodziny, to $\displaystyle{ \prod (\mathbb{B} \cup \left\{ A\right\} )\sim \left( \prod\mathbb{B}\right) \times A.}$

Dowód:

Definiujemy bijekcje $\displaystyle{ \alpha: \prod\mathbb{B} \times A \rightarrow\prod (\mathbb{B} \cup \left\{ A\right\} ), }$ jako:

$\displaystyle{ \alpha (f,a)=g _{f,a} }$, gdzie $\displaystyle{ g_{f,a}:\mathbb{B} \cup \left\{ A\right\} \rightarrow \bigcup \left( \mathbb{B} \cup \left\{ A\right\} \right)= \bigcup\mathbb{B} \cup A}$, jest określona jako:

$\displaystyle{ g _{f,a}(B)= \begin{cases} f(B), \hbox { gdy } B\in\mathbb{B},\\ a,\hbox { gdy } B=A. \end{cases} }$,

tzn. funkcja $\displaystyle{ g}$ na rodzinie zbiorów $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest poprzednią funkcją $\displaystyle{ f}$, natomiast zbiorowi $\displaystyle{ A}$ przypisuje jego element $\displaystyle{ a}$.

Zauważmy, że również $\displaystyle{ g\in \prod \left( \mathbb{B} \cup \left\{ A\right\} \right) }$, gdyż jeśli $\displaystyle{ B\in\mathbb{B}}$, to $\displaystyle{ g(B)=f(B)\in B}$ (gdyż$\displaystyle{ f\in \prod\mathbb{B}}$, a więc funkcja $\displaystyle{ f}$ zbiorowi przypisuje pewien jego jeden element), a $\displaystyle{ g(A)=a\in A}$. Tak więc $\displaystyle{ g\in \prod\left( \mathbb{B} \cup \left\{ A\right\} \right)}$. Tak więc chyba wszystko jest tu poprawnie określone. Pozostaje pokazać, że funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest bijekcją.

Aby pokazać, że $\displaystyle{ \alpha}$ jest różnowartościowa, to jeśli $\displaystyle{ \alpha \left( f_1,a_1\right)= \alpha \left( f_2,a_2\right)}$, to oznacza, ze $\displaystyle{ g_{f_1,a_1}=g_{f_2,a_2}.}$ Aby pokazać, ze $\displaystyle{ f_1=f_2}$, należy pokazać, że funkcje te na każdym zbiorze $\displaystyle{ B\in\mathbb{B} }$ przyjmują te same wartości. Niech więc $\displaystyle{ B\in\mathbb{B}}$. Wtedy ponieważ funkcje $\displaystyle{ g_{f_1,a_1}}$ i $\displaystyle{ g_{f_2,a_2}}$ są równe, więc na zbiorze $\displaystyle{ B}$ przyjmują te same wartości, tzn. g$\displaystyle{ _{f_1,a_1}(B)= g_{f_2,a_2 }(B).}$ Z definicji tych funkcji $\displaystyle{ g}$ otrzymujemy, że lewa strona tej rowności jest równa $\displaystyle{ f_1(B)}$ a prawa $\displaystyle{ f_2(B). }$Wynika stąd, że $\displaystyle{ f_1(B)=f_2(B)}$, co wobec dowolności wyboru zbioru $\displaystyle{ B\in\mathbb{B},}$ daje, że $\displaystyle{ f_1=f_2.}$

Łatwo będzie teraz pokazać, ze $\displaystyle{ a_1=a_2.}$
Ponieważ $\displaystyle{ g_{f_1,a_1}=g_{f_2,a_2}}$, to te funkcje na zbiorze $\displaystyle{ A}$ przyjmują te same wartości, a więc $\displaystyle{ g_{f_1,a_1}(A)= g_{f_2,a_2}(A).}$ Z definicji tych funkcji otrzymujemy, że lewa strona tej równości jest równa $\displaystyle{ a_1}$, a prawa $\displaystyle{ a_2.}$ Wynika stąd, ze $\displaystyle{ a_1=a_2}$. Tak więc funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest różnowartościowa.

Pokażemy teraz, że funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest na.
Niech $\displaystyle{ g\in \prod \left( \mathbb{B} \cup \left\{ A\right\} \right). }$ Wtedy $\displaystyle{ g(B)=b\in B}$, gdy $\displaystyle{ B\in\mathbb{B}}$, tak więc $\displaystyle{ b\in \bigcup\mathbb{B}}$; oznaczmy $\displaystyle{ g(A)=:a\in A}$. Zdefiniujmy teraz funkcje $\displaystyle{ f:\mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}}$, jako $\displaystyle{ f(B)=g(B)=b\in \bigcup\mathbb{B}}$. Zauważmy, że zawsze $\displaystyle{ f(B)=g(B)=b\in B}$, tak więc$\displaystyle{ f\in \prod\mathbb{B}.}$ Wyznaczmy $\displaystyle{ \alpha \left( f,a\right).}$ Niewątplwie, mamy:

$\displaystyle{ \alpha (f,a)=g _{f,a}}$, i wtedy

$\displaystyle{ g_{f,a}(B)=f(B)=g(B)}$, gdy $\displaystyle{ B\in\mathbb{B}}$, i
$\displaystyle{ g_{f,a}(A)= a=g(A).}$

A zatem $\displaystyle{ g_{f,a}=g}$, i $\displaystyle{ \alpha (f,a)=g_{f,a}= g}$, a zatem funkcja $\displaystyle{ g}$ jest wartością funkcji $\displaystyle{ \alpha. }$ Otrzymujemy zatem (z dowolności $\displaystyle{ g}$), że funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest 'na'. Zatem $\displaystyle{ \alpha}$ jest bijekcją, i zbiory $\displaystyle{ \prod\left( \mathbb{B} \cup \left\{ A\right\}\right) }$ i $\displaystyle{ \prod\mathbb{B} \times A }$ są równoliczne.$\displaystyle{ \square}$

Wykażemy teraz indukcyjnie, że dla dowolnego $\displaystyle{ n}$ naturalnego, dla dowolnej rodziny $\displaystyle{ \mathbb{B}\sim n}$ zbiorów co najwyżej przeliczalnych, iloczyn uogólniony $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}}$ jest co najwyżej przeliczalny, skąd łatwo będzie wynikać cala teza.

Dowód:

Jeśli $\displaystyle{ B\sim 0=\emptyset}$, to $\displaystyle{ \mathbb{B}=\emptyset}$, a wtedy $\displaystyle{ \prod \emptyset =\left\{ \hbox { FUNKCJA PUSTA}\right\}\sim 1}$, zatem jest to zbiór skończony, w szczególności co najwyżej przeliczalny.

Jesli $\displaystyle{ B\sim 1}$, to niech $\displaystyle{ B=\left\{ A\right\}}$ , wtedy $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}\sim A\in\mathbb{B}}$, a więc jest to z założenia zbiór co najwyżej przeliczalny, tak więc $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}}$ jest również co najwyżej przeliczalny.

Krok indukcyjny: weźmy $\displaystyle{ n \ge 1}$, i przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla $\displaystyle{ n}$. Pokażemy, że zachodzi dla $\displaystyle{ n+1.}$ Niech $\displaystyle{ \mathbb{B}\sim \left( n+1\right) }$ będzie rodziną zbiorów co najwyżej przeliczalnych. Jeśli zbiór pusty należy do $\displaystyle{ \mathbb{B}}$, to $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}= \emptyset}$, (gdyż nie może istnieć funkcja przypisująca zbiorowi pustemu jeden jego element), a więc jest to zbiór co najwyżej przeliczalny. Załóżmy więc dalej, że $\displaystyle{ \emptyset\not\in\mathbb{B}.}$ Niech $\displaystyle{ A\in\mathbb{B} \neq \left\{ \right\}}$. Wtedy $\displaystyle{ \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\} \sim n}$. Możemy zatem do $\displaystyle{ n}$ i rodziny $\displaystyle{ \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\}}$ zastosować założenie indukcyjne i otrzymać, że zbiór $\displaystyle{ \prod\left( \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\} \right) }$ jest co najwyżej przeliczalny. Również zbiór $\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}$ jest co najwyżej przeliczalny. Stosując Lemat 0, do rodziny $\displaystyle{ \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\}}$ i zbioru $\displaystyle{ A}$, otrzymujemy, że $\displaystyle{ \prod \mathbb{B}= \prod \left( \left( \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\}\right) \cup \left\{ A\right\} \right) \sim \prod \left( \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\} \right) \times A}$, ktory to ostatni zbiór jest co najwyżej przelicalny, jako iloczyn kartezjański dwóch zbiorow co najwyżej przeliczalnych, a więc $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}}$ jest co najwyżej przeliczalny. Krok indukcyjny został dowiedziony. Na mocy zasady indukcji matematycznej fakt jest dowiedziony, a z niego łatwo wynika ostateczna teza. Tak więc uogólniony iloczyn kartezjański skończonej rodziny zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest co najwyżej przeliczalny. $\displaystyle{ \square}$

Jakub Gurak · Post autor: **Jakub Gurak** » 24 gru 2022, o 00:44

Również produkt dowolnej skończonej rodziny zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym, można to łatwo udowodnić poprzez indukcję ze względu na ilość zbiorów tej rodziny.

Wczoraj wykazałem następujący fakt:

Jeśli $\displaystyle{ X}$ jest zbiorem nieskończonym, a $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest niepustą skończoną rodziną zbiorów równolicznych z naszym zbiorem nieskończonym $\displaystyle{ X}$, to również produkt uogólniony $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}}$ jest równoliczny ze zbiorem $\displaystyle{ X}$. Przedstawię teraz indukcyjny dowód tego faktu:

(Rodzina $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest rodziną zbiorów równolicznych z $\displaystyle{ X}$, tzn. spełniony jest warunek: $\displaystyle{ A \in \mathbb{B} \rightarrow A\sim X}$).

Przejdźmy do indukcyjnego dowodu tego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli $\displaystyle{ \mathbb{B}\sim 1}$, tzn. $\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ A \right\}}$, gdzie $\displaystyle{ A}$ jest pewnym zbiorem; wtedy $\displaystyle{ A\sim X}$, i wtedy $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}\sim A\sim X}$, czyli $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}\sim X}$, co dowodzi podstawy indukcji.

Krok indukcyjny: Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla rodzin zbiorów $\displaystyle{ \mathbb{B}\sim n}$, gdzie $\displaystyle{ n \ge 1. }$
Niech $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ będzie $\displaystyle{ \left( n+1\right)}$- elementową rodziną zbiorów równolicznych z $\displaystyle{ X}$, tzn. $\displaystyle{ \mathbb{B}\sim \left( n+1\right)}$ . Niech $\displaystyle{ A \in \mathbb{B} \neq \left\{ \right\}}$. Wtedy $\displaystyle{ \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\} \sim n}$, i jeśli $\displaystyle{ B \in \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\}}$, wtedy $\displaystyle{ B \in \mathbb{B}}$, i na mocy założenia odnośnie rodziny $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ otrzymujemy: $\displaystyle{ B\sim X}$; a więc rodzina $\displaystyle{ \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\}}$ jest również rodziną zbiorów równolicznych ze zbiorem $\displaystyle{ X}$.

Możemy zatem zastosować do tej rodziny założenie indukcyjne i otrzymać, że produkt $\displaystyle{ \prod\left( \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\} \right)}$ jest równoliczny ze zbiorem $\displaystyle{ X}$. A zatem:

$\displaystyle{ \prod\mathbb{B}= \prod\left[ \left( \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\} \right) \cup \left\{ A\right\} \right] , }$

i ponieważ $\displaystyle{ A\not \in \mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\}}$, więc na mocy Lematu z poprzedniego postu:

ten zbiór jest równoliczny ze zbiorem :

$\displaystyle{ \sim \left[ \prod\mathbb{B} \setminus \left\{ A\right\} \right] \times A \stackrel{A \in \mathbb{B}}\sim X \times X,}$

i ponieważ zbiór $\displaystyle{ X}$ jest nieskończony, więc na mocy twierdzenia Hessenberga ten ostatni zbiór jest to zbiór równoliczny z $\displaystyle{ X}$, czyli $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}\sim X}$, co dowodzi prawdziwości kroku indukcyjnego.

Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego faktu.$\displaystyle{ \square }$

Również produkt dowolnej rodziny zbiorów jednoelementowych jest jednoelementowy, można to łatwo zauważyć.

Na koniec dodam, że udowodniłem wczoraj na dobranoc, że istnieje dokładnie continuum wszystkich kwadratów na płaszczyźnie; będzie można jeszcze sprawdzić ile jest wszystkich sześcianów w $\displaystyle{ \RR^3}$.

Dodano po 2 miesiącach 1 dniu 14 godzinach 23 minutach 30 sekundach:
Udowodniłem wczoraj, że jeśli $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest niepustą co najwyżej przeliczalną rodziną zbiorów mocy continuum, to produkt uogólniony $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}}$ jest mocy continuum. Uzasadniłem też ostatnio, że w zbiorze liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem $\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}$, jeśli weźmiemy dwie liczby z tego zbioru, to ich suma również jest liczbą całkowitą ujemną bądź zerem. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Niech $\displaystyle{ \mathbb{B} \neq \left\{ \right\}}$ będzie niepustą, co najwyżej przeliczalną rodziną zbiorów mocy continuum, tzn. jeśli $\displaystyle{ A \in \mathbb{B} \rightarrow A\sim \RR,}$ i $\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| \NN\right|.}$ Wykażemy, że uogólniony iloczyn kartezjański $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}}$ jest mocy continuum.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ $\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| \NN\right|}$, więc rodzina$\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest zbiorem skończonym lub równolicznym ze zbiorem $\displaystyle{ \NN.}$

Jeśli rodzina $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest zbiorem skończonym, a jest również z założenia zbiorem niepustym i zbiór $\displaystyle{ \RR}$ jest zbiorem nieskończonym, więc na mocy dowodu w poście powyżej: $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}\sim \RR,}$ co należało pokazać.

Jeśli $\displaystyle{ \mathbb{B}}$ jest zbiorem nieskończonym, to $\displaystyle{ \mathbb{B} \sim \NN}$. Istnieje więc bijekcja $\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \mathbb{B}.}$

Jeśli $\displaystyle{ A \in \mathbb{B} }$ jest zbiorem tej rodziny, to zbiór $\displaystyle{ A}$ jest mocy continuum, istnieje więc bijekcja $\displaystyle{ f_A:\RR \rightarrow A.}$

Wykażemy, że $\displaystyle{ \prod\mathbb{B}\sim \RR ^{\NN}.}$

W tym celu definiujemy funkcję $\displaystyle{ \alpha : \RR ^{\NN} \rightarrow \prod\mathbb{B}}$, w następujący sposób:

Jeśli $\displaystyle{ g \in \RR ^{\NN}}$, tzn. $\displaystyle{ g:\NN \rightarrow \RR}$, to definiujemy funkcje $\displaystyle{ g': \mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}}$, poniższym wzorem:

$\displaystyle{ g'\left( A\right) =f_A\left( g \left( f ^{-1} (A) \right) \ \right),}$

(gdzie $\displaystyle{ f ^{-1} \left( A\right)}$ oznacza wartość funkcji odwrotnej $\displaystyle{ f ^{-1} }$ dla zbioru $\displaystyle{ A }$ ) .

Wtedy $\displaystyle{ f ^{-1} \left( A\right) \in \NN}$, a zatem $\displaystyle{ g\left( f ^{-1} \left( A\right) \right) \in \RR}$, a zatem $\displaystyle{ g'\left( A\right) \in A}$, a zatem (z dowolności wyboru zbioru $\displaystyle{ A}$): $\displaystyle{ g' \in \prod\mathbb{B}}$, i w ten sposób otrzymujemy funkcję $\displaystyle{ \alpha}$ działającą w następujący sposób:

$\displaystyle{ g \in \RR ^{\NN} \stackrel{ \alpha }{ \rightarrow } g' \in \prod\mathbb{B}}$,

gdzie funkcję $\displaystyle{ g': \mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}}$ możemy równoważnie, jak przedtem, określić wzorem:

$\displaystyle{ g'(A) = \left( f_A\circ g \right) \left( f ^{-1} \left( A\right) \right) .}$

Wykażemy, że funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest bijekcją.

Wykażemy, że $\displaystyle{ \alpha}$ jest funkcją różnowartościową.

Jeśli $\displaystyle{ g' _{1} = \alpha \left( g_1\right) = \alpha \left( g_2\right) =g'_2}$,

to $\displaystyle{ g' _{1}, g'_2: \mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}}$, a zatem ponieważ $\displaystyle{ g' _{1} = g' _{2}}$, więc dla każdego zbioru $\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}$, mamy:

$\displaystyle{ g' _{1} \left( A\right) = g' _{2} (A).}$

Aby wykazać, że $\displaystyle{ g_1= g_2}$, to ponieważ $\displaystyle{ g_1, g_2 \in \RR ^{\NN}}$, czyli $\displaystyle{ g_1,g_2:\NN \rightarrow \RR}$, to weźmy $\displaystyle{ n \in \NN}$ i pokażmy, że funkcje $\displaystyle{ g_1}$ i $\displaystyle{ g_2}$ przyjmują na tym numerze te same wartości.

Niech $\displaystyle{ f(n)=:A \in\mathbb{B}.}$ Wtedy:

$\displaystyle{ g' _{1} \left( A\right) = g' _{2} \left( A\right)}$ , a zatem:

$\displaystyle{ g' _{1} \left( A\right) = \left( f_A \circ g_1\right) \left( f ^{-1} \left( f\left( n\right) \right) \ \right)= \left( f_A \circ g_2\right) \left( f ^{-1} \left( f\left( n\right) \right) \ \right) = g' _{2} \left( A\right)}$,

czyli:

$\displaystyle{ \left( f_A \circ g_1\right) \left( n\right) = \left( f_A \circ g_2\right) \left( n\right)}$ , a zatem:

$\displaystyle{ f ^{-1} _{A} \left( \left( f_A \circ g_1\right) \left( n\right) \right) = f ^{-1} _{A} \left( \left( f_A \circ g_2\right) \left( n\right) \right).}$

A zatem:

$\displaystyle{ g _{1} \left( n\right) =f _{A} ^{-1} \left( f _{A} \left( g_1\left( n\right) \right) \ \right) =f _{A} ^{-1} \left( f _{A} \left( g_2\left( n\right) \right) \ \right) = g_2\left( n\right) ,}$

co, z dowolności wyboru $\displaystyle{ n \in \NN}$, daje: $\displaystyle{ g_1=g_2}$,

i funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest różnowartościowa.

Wykażemy teraz, że funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest funkcją 'na'.

Niech $\displaystyle{ g \in \prod\mathbb{B}}$. Wtedy $\displaystyle{ g:\mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}. }$

Definiujemy funkcję $\displaystyle{ g': \NN \rightarrow \RR}$ w poniższy sposób:

Jeśli $\displaystyle{ f\left( n\right)= :A_n \in \mathbb{B}}$, to definiujemy:

$\displaystyle{ g'\left( n\right) = f ^{-1} _{A_n} \left( g\left( \underbrace { f\left( n\right)}_{ \in \mathbb{B}} \right) \ \right) . }$

Ponieważ $\displaystyle{ g \in \prod\mathbb{B}}$, więc $\displaystyle{ g\left( f\left( n\right) \right) \in A_n= f(n)}$, a ponieważ $\displaystyle{ f _{A_n}: \RR \rightarrow A_n}$, więc $\displaystyle{ f _{A_n} ^{-1}: A_n \rightarrow \RR}$, a zatem $\displaystyle{ g'\left( n\right) \in \RR}$, i w ten sposób otrzymujemy funkcję:

$\displaystyle{ g': \NN \rightarrow \RR,}$

a zatem $\displaystyle{ g' \in \RR ^{\NN}}$, a zatem możemy wyliczyć wartość funkcji $\displaystyle{ \alpha}$ na tej funkcji, tzn. mamy:

$\displaystyle{ \alpha \left( g'\right) = g''.}$

Wtedy $\displaystyle{ g'': \mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}}$ i również $\displaystyle{ g: \mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}}$, więc aby wykazać, że te funkcje są równe, to weźmy dowolny zbiór $\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}$, i pokażmy, że te funkcje na tym zbiorze przyjmują te same wartości.

Ponieważ $\displaystyle{ f: \NN \rightarrow \mathbb{B}}$ jest bijekcją, a więc w szczególności jest to funkcja 'na', więc niech $\displaystyle{ n \in \NN}$ będzie taką liczbą naturalną, że $\displaystyle{ f\left( n\right) =A}$. Mamy:

$\displaystyle{ g''\left( A\right) = f _{A} \left( g' \left( f ^{-1} \left( A\right) \right) \ \right) = f_A\left( f _{A_n} ^{-1} \left( g \left( f\left( f ^{-1} \left( A\right) \ \ \right) \right) \ \right) \right) = f_A\left( f _{A_n} ^{-1} \left( g\left( A\right) \right) \ \right) =}$

i ponieważ $\displaystyle{ f\left( n\right)=A,}$ więc to jest równe:

$\displaystyle{ =f _{A} \left( f _{A} ^{-1} \left( g\left( A\right) \right) \ \right) = g(A), }$

czyli $\displaystyle{ g'''\left( A\right) = g\left( A\right) ,}$

co wobec dowolności wyboru zbioru $\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}$, daje: $\displaystyle{ g=g''}$.

A zatem:

$\displaystyle{ \alpha \left( g'\right)= g''= g,}$

a więc funkcja $\displaystyle{ g}$ jest wartością funkcji $\displaystyle{ \alpha}$. Z dowolności wyboru tej funkcji otrzymujemy, że funkcja $\displaystyle{ \alpha}$ jest funkcją 'na'.

A zatem: $\displaystyle{ \RR ^{\NN}\sim \prod\mathbb{B}.}$

Ale zbiór $\displaystyle{ \RR ^{\NN}}$, czyli zbiór wszystkich ciągów liczb rzeczywistych jest mocy continuum, jest to prosty fakt, a zatem, z przechodniości relacji równoliczności :

$\displaystyle{ \prod \mathbb{B}\sim \RR.\square}$

Dodam jeszcze, zgodnie z zapowiedzią, że w zbiorze liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem $\displaystyle{ \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\},}$ jeśli mamy dwie liczby $\displaystyle{ x,y \in \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\}}$ , to $\displaystyle{ \left( x+y\right) \in \ZZ _{-} \cup \left\{ 0\right\} }$, to ich suma również jest liczbą całkowitą ujemną bądź zerem.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy w szczególności $\displaystyle{ x,y \in \ZZ}$, a zatem również suma $\displaystyle{ \left( x+y\right)}$ jest liczbą całkowitą.

Mamy $\displaystyle{ x \le 0, y \le 0}$, a zatem $\displaystyle{ x+y \le 0+y=y \le 0}$.

A zatem $\displaystyle{ \left( x+y\right)}$ jest liczbą całkowitą mniejszą lub równą od $\displaystyle{ 0}$, a zatem $\displaystyle{ \left( x+y\right) \in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}. \square}$

A zatem funkcja $\displaystyle{ f:\left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \rightarrow \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\},}$

dana jako:

$\displaystyle{ f\left( x,y\right)= x+y,}$

jest działaniem wewnętrznym w zbiorze $\displaystyle{ \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\} }$.

Matematyka.pl

Uogólniony iloczyn karzezjański

Uogólniony iloczyn karzezjański

Re: Uogólniony iloczyn karzezjański

Re: Uogólniony iloczyn karzezjański