Zbadać czy istnieje rodzina mocy continuum

[kiziorx]

Cześć, proszę o wytłumaczenie jak przebiega rozwiązanie takiego zadania:

Zbadaj, czy istnieje rodzina mocy continuum złożona z parami rozłącznych podzbiorów mocy continuum zbioru:
a) \(\displaystyle{ (\RR \times \RR) \setminus (\QQ \times \QQ)}\)
b) \(\displaystyle{ (\RR \times \RR) \setminus A}\), gdzie \(\displaystyle{ A }\) jest dowolnym przeliczalnym podzbiorem płaszczyzny \(\displaystyle{ (\RR \times \RR)}\)

[Dasio11]

Na początek dobrze jest wiedzieć, że opisana własność zbioru \(\displaystyle{ X}\)

istnieje rodzina mocy continuum złożona z parami rozłącznych podzbiorów mocy continuum zbioru \(\displaystyle{ X}\)

jest równoważna temu, że \(\displaystyle{ X}\) jest mocy przynajmniej continuum. Wynikanie w jedną stronę jest trywialne, w drugą zaś: przypuśćmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest mocy przynajmniej continuum. Ponieważ \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest mocy continuum, istnieje więc funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ \varphi : \RR^2 \to X}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \{ \varphi[ \{ x \} \times \RR ] : x \in \RR \}}\) jest szukaną rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X}\).

Pytanie tak naprawdę jest więc o to, czy wypisane zbiory są mocy continuum. Da się jednak nie korzystać z wyżej udowodnionej charakteryzacji i wprost w obu przypadkach wskazać szukaną rodzinę: w pierwszym przyda się fakt, że zbiór liczb niewymiernych jest mocy continuum, w drugim zaś można rozpatrzyć zbiór takich \(\displaystyle{ x \in \RR}\), że prosta pionowa \(\displaystyle{ \{ x \} \times \RR}\) jest rozłączna z \(\displaystyle{ A}\), i wykazać, że takich prostych jest continuum.

Edit: poprawiłem drobny błąd w pierwszym akapicie.