Dowód injekcji ze złożeniem dwóch funkcji

[f33tl0v3r]

Witam, nie mogę poradzić sobie z zadaniem.
Jego treść brzmi tak:

Niech \(\displaystyle{ f:X\rightarrow Y}\) i \(\displaystyle{ g:Y\rightarrow Z}\) będą funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją i \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest injekcją. Wykaż, że \(\displaystyle{ g}\) jest injekcją.

Czy mógłby mi ktoś pomóc z tym jak znaleźć rozwiązanie? Dziękuję.

[Jakub Gurak]

Aby pokazać, że \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow Z}\) jest funkcją różnowartościową, to weźmy dowolne elementy \(\displaystyle{ y_1,y_2\in Y}\), dla których \(\displaystyle{ g(y_1)=g(y_2)}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ y_1=y_2. }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ f }\) jest 'na', więc istnieje element \(\displaystyle{ x_1\in X}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x_1)=y_1}\). Podobnie dla \(\displaystyle{ y_2}\) otrzymujemy , że \(\displaystyle{ f(x_2)=y_2}\), dla pewnego \(\displaystyle{ x_2\in X.}\) A zatem:

\(\displaystyle{ \left( g\circ f\right)\left( x_1\right)=g(f(x_1))=g(y_1)=g(y_2)=g(f(x_2))=\left( g\circ f\right)\left( x_2\right) . }\)

Ponieważ złożenie \(\displaystyle{ g}\) z \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe , więc \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) oznaczmy tą wartość jako \(\displaystyle{ x}\). Otrzymujemy zatem

\(\displaystyle{ y_1=f(x)=y_2. \square}\)