Obliczyć moc zbioru

[Jan Kraszewski]

To taka prosta funkcja powinna zadziałać:
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \rightarrow C_2 }\)

No nie zadziała, bo nie jest poprawnie określona. Gdy \(\displaystyle{ \xi\in\RR^\NN, \xi(n)=1}\), to niestety \(\displaystyle{ f(\xi)=\{1\}\notin C_2...}\)

JK

[a4karo]

Ja na przykład wolałbym skorzystać z tego, że

\(\displaystyle{ \RR\sim\{1\} \times \RR \subseteq \NN \times \RR \subseteq \RR \times \RR\sim\RR}\)

oraz tw. Cantora-Bernsteina, ale to kwestia tego, jak kto podchodzi do tematu.

JK

A ja z faktu, że \(\RR= \bigcup_{k\in\ZZ} [k,k+1)\)

[Jan Kraszewski]

A ja z faktu, że \(\RR= \bigcup_{k\in\ZZ} [k,k+1)\)

I myślisz, że będzie krócej? Bo sam ten fakt nie wystarczy...

JK

[a4karo]

Ponieważ $$h(x)=\frac{1}{2}+\frac{\arctg x}{\pi}$$ jest bijekcją \(\RR\mapsto (0,1)\), a $$f(x)=\frac{1}{\left\lceil x^{-1}\right\rceil}+\frac{1}{\left\lceil x^{-1}\right\rceil-1}-x$$ jest bijekcją \((0,0)\mapsto (0,1]\)*, oraz \(\displaystyle{ \RR= \bigcup_{k\in\ZZ} (k,k+1] }\), więc bijekcją jest odwzorowanie
$$\ZZ\times\RR\ni (k,x)\mapsto k+f\circ h(x)\in\RR$$


* A. Witkowski, Amer. Math. Monthly 127:2 (2020) p. 139

[Jan Kraszewski]

Popisujesz się...

JK

[a4karo]

Ale tylko troszeczkę, w ramach autopromocji . Bo skoro podział prostej na przeliczalną ilość odcinków nie wystarcza...