Przypominam, jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są zbiorami, funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\), zbiór \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to definiujemy zbiór:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B)=\left\{ x\in X: \ \ f(x)\in B\right\}, }\)
zbiór tych elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\), którym funkcja przypisuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ B}\), który to zbiór nazywamy przeciwobrazem zbioru \(\displaystyle{ B}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\). Jest to zbiór tych argumentów, którym funkcja przypisuję wartości ze zbioru \(\displaystyle{ B}\). Oto ilustracja:
Przykład: Niech \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \NN }\) będzie dana jako: \(\displaystyle{ f(n)=2n}\), wtedy \(\displaystyle{ f \left\{ 1,2\right\}=\left\{ 1\right\}, }\) przeciwobrazem zbioru liczb nieparzystych przez tą funkcję jest zbiór pusty, przeciw obrazem przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) zbioru liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 4}\) jest zbiór liczb parzystych.
Podam parę prostych faktów:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y }\), wtedy
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (\left\{ \right\}=\emptyset )=\left\{ \right\}. }\) (przeciwobrazem zbioru pustego jest zbiór pusty)
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (Y )=X. }\) (Przeciwobrazem całej przeciwdziedziny \(\displaystyle{ Y}\) jest cała dziedzina \(\displaystyle{ X}\), jak również przeciw obrazem zbioru wartości \(\displaystyle{ f_P}\) jest również cala dziedzina \(\displaystyle{ X}\) ).
Przeciwobrazy róznych zbiorów jednoelementowych są rozłączne,
Dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B\subset Y}\) mamy \(\displaystyle{ A\subset B \Longrightarrow \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( A\right) \subset\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right) }\). (Czyli jeśli na podzbiorach przeciwdziedziny zachodzi inkluzja to taka sama (zgodna) inkluzja zachodzi na odpowiadających im przeciwobrazach, przeciwobraz większego zbioru, względem inkluzji, jest większy).
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_1\cup B_2 )=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_1 )\cup\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_2 ), }\)
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_1\cap B_2 )=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_1 )\cap\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_2 ) ,}\)
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (Y \setminus B_1 )=\left( \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (Y )=X\right) \setminus \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_1 ). }\)
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \bigcup\mathbb{B}\right)= \bigcup \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( A\right)\Bigl| \ \ A\in\mathbb{B} \right\} =: \bigcup_{A\in\mathbb{B} } \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( A\right),}\) oraz
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \bigcap\mathbb{B}\right)= \bigcap \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( A\right)\Bigl| \ \ A\in\mathbb{B} \right\} =: \bigcap_{A\in\mathbb{B} } \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( A\right),}\)
(Przeciwobraz sumy rodziny zbiorów jest sumą przeciwobrazów zbiorów tej rodziny, podobnie dla iloczynu: przeciwobraz iloczynu niepustej rodziny zbiorów jest iloczynem przeciwobrazów).
\(\displaystyle{ H(B)=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right).}\)
CIEKAWY DOWÓD:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y.}\)
Przypuśćmy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa. Pokażemy, że \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} }}\) jest na zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X).}\) Weżmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\), pokażemy, że \(\displaystyle{ A=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A\right) \right). }\)
Mamy \(\displaystyle{ A= \bigcup \left\{ \left\{ a\right\}\Bigl| \ a\in A \right\}= \bigcup_{a\in A} \left\{ a\right\}}\), i dalej \(\displaystyle{ \\\stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A\right)=\stackrel{ \rightarrow }{f }\left( \bigcup_{a\in A} \left\{ a\right\}\right)=\bigcup_{a\in A} \stackrel{ \rightarrow }{f }\left\{ a\right\}= \bigcup_{a\in A} \left\{ f\left( a\right) \right\}}\), i dalej \(\displaystyle{ \\ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A\right) \right)= \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \bigcup_{a\in A} \left\{ f\left( a\right) \right\}\right)=\bigcup_{a\in A} \left( \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ f\left( a\right) \right\} \right) .}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, więc przeciwobrazy zbiorów jednoelementowych są jednoelementowe lub puste. Niech \(\displaystyle{ a\in A}\). wtedy \(\displaystyle{ a\in\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ f\left( a\right) \right\} }\) a więc zbiór \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ f\left( a\right) \right\} }\) jest niepusty, a ponieważ równiez zbiór ten jest przeciwobrazem zbioru jednoelementowego, więc jest jednoelementowy, ponieważ \(\displaystyle{ a\in\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ f\left( a\right) \right\} }\) , to nawet \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ f\left( a\right) \right\}=\left\{ a\right\}. }\) Otrzymujemy zatem, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in A}\), mamy \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ f\left( a\right) \right\}=\left\{ a\right\}. }\) Wobec czego
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A\right) \right)=\bigcup_{a\in A} \left\{ a\right\}=A,}\)
a więc \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A\right) \right)=A}\), wobec tego zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przeciwobrazem zbioru \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A\right)}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\), a więc jest wartością funkcji \(\displaystyle{ H}\) na tym zbiorze \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A\right)}\), wobec dowolności wyboru takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\), wnioskujemy, że funkcja \(\displaystyle{ H}\) jest 'na'.
Przypuśćmy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y }\) nie jest różnowartościowa. Istnieją wtedy różne elementy \(\displaystyle{ x_1,x_2\in X}\) oraz element \(\displaystyle{ y\in Y}\) takie, że \(\displaystyle{ (x_1,y),(x_2,y)\in f}\). Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ \{x_1\}}\) nie jest przeciwobrazem żadnego zbioru \(\displaystyle{ B\subset Y}\). Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ B \subset Y}\) taki, że \(\displaystyle{ \left\{ x_1\right\} =\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right).}\)
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\} }\), oznaczmy go przez \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in A}\). Ponieważ element \(\displaystyle{ x_1}\) należy zarówno do zbioru \(\displaystyle{ A=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\}}\), jak i do zbioru \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right)}\), to te zbiory \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right)}\) nie są rozłączne. Ponieważ przeciwobrazy zbiorów rozłącznych są rozłączne( co wynika z prawa \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_1\cap B_2 )=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_1 )\cap\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B_2 )}\) ) więc zbiory \(\displaystyle{ \{y\}}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) nie mogą być rozłączne( w przeciwnym przypadku ich przeciwobrazy byłyby rozłączne, a nie są). A zatem \(\displaystyle{ y\in B}\). Ale w takim wypadku \(\displaystyle{ \{y\} \subset B,}\) i w efekcie
\(\displaystyle{ \{x_1,x_2\} \subset \vec{f}^{-1}(\{y\}) \subset \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right).}\)
A zatem \(\displaystyle{ x_1,x_2\in\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\), to zbiór \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right)}\) nie może być jednoelementowy. Wobec tego nie istnieje zbiór \(\displaystyle{ B}\), dla którego \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right)=\{x_1\}}\). A więc zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x_1\right\} }\) nie jest wartością funkcji \(\displaystyle{ H}\). W efekcie czego funkcja \(\displaystyle{ H}\) nie jest 'na'.\(\displaystyle{ \square}\)