kilka zadan ze zbiorów i kwantyfikatorów

[welik]

Witam, chciałbym, żeby ktoś sprawdził moje rozwiązania dle tego testu i wytłumaczył co robię źle. Jest to test wielokrotnego wyboru i może się zdarzyć, że żadna odpowiedź nie jest poprawna. Z góry serdecznie dziękuje
1. Które z poniższych zdań jest prawdziwe dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C, D}\)
(a) \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap (C \setminus D)=(A \cap C) \setminus (B \cap A),}\)
(b) \(\displaystyle{ (A \times B) \setminus (C \times D) =( A \times C)\setminus(B \times D)}\)
(c) \(\displaystyle{ (A \times B) \setminus (C \cap D)= (B \times A) \setminus (C \cap D) ?}\)
tu mi wyszło a, ale w sumie tak na prosty rozum podstawiałem, więc mógłby ktoś mi powiedzieć jak to zrobić
2. Niech \(\displaystyle{ X=\{aa,b\}}\). Wówczas
\(\displaystyle{ (a) \left\{ b\right\} \in P(P(X)), (b) \left\{ b\right\} \subseteq P(X) , (c) \left\{ b\right\} \in P(P(P(X))) .}\)
tu mi wyszło a,b,c
4. Niech \(\displaystyle{ \Omega =\{a,b,c,d\}, A=\{a\}, B=\{b,c\}}\). Wówczas
(a) \(\displaystyle{ (A \cap A’)\setminus(B \cup B’)=\Omega, (b) A \cap (B \cup A’)=∅, (c) (A \cup A’) \setminus (B \setminus B’)=∅ }\).
w a mi wyszło \(\displaystyle{ ∅}\) czyli niepoprawna, b poprawna, c tu mi wyszedł zbiór \(\displaystyle{ [a,d]}\) i mam pytanko czy jak mam np sume zbiorów b i \(\displaystyle{ A’}\) to będzie \(\displaystyle{ [b,c,d]}\) czy \(\displaystyle{ [b,b,c,c,c]}\).
5. Niech \(\displaystyle{ T=\{1,2,..,10\}}\) oraz \(\displaystyle{ A_i = (0,2i), B_i=(-2i, 0)}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ (a) \bigcup_{i \in T} A_i \setminus \bigcup_{i \in T} B_i =∅}\) ,
(b) \(\displaystyle{ \bigcap_{i \in T }A_i = ∅}\)
(c) \(\displaystyle{ A_6 \cap (B_5 \setminus B_6) =∅}\)
w a mi wyszły liczby od \(\displaystyle{ -20}\) do \(\displaystyle{ 20}\) co druga czyli niepoprawna, w b \(\displaystyle{ 0}\) czyli niepoprawna, w c mi wyszedł \(\displaystyle{ ∅}\) czyli prawda.

Dzięki wielkie jakby komuś się chciało

[Jan Kraszewski]

1. Które z poniższych zdań jest prawdziwe dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C, D}\)
(a) \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap (C \setminus D)=(A \cap C) \setminus (B \cap A),}\)
(b) \(\displaystyle{ (A \times B) \setminus (C \times D) =( A \times C)\setminus(B \times D)}\)
(c) \(\displaystyle{ (A \times B) \setminus (C \cap D)= (B \times A) \setminus (C \cap D) ?}\)
tu mi wyszło a, ale w sumie tak na prosty rozum podstawiałem, więc mógłby ktoś mi powiedzieć jak to zrobić

Nie wiem na czym polega metoda "podstawiania na prosty rozum", ale odpowiedź jest zła. Żadna z odpowiedzi (a)-(c) nie jest poprawna. Najbliżej prawdy jest (a), ale prawdziwa tożsamość wygląda tak: \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap (C \setminus D)=(A \cap C) \setminus (B \cup D).}\)

2. Niech \(\displaystyle{ X=\{aa,b\}}\). Wówczas
\(\displaystyle{ (a) \left\{ b\right\} \in P(P(X)), (b) \left\{ b\right\} \subseteq P(X) , (c) \left\{ b\right\} \in P(P(P(X))) .}\)
tu mi wyszło a,b,c

Co oznacza, że w ogóle nie rozumiesz, co te napisy znaczą. Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ b\in X}\), z czego wynika, że żadna odpowiedź nie jest prawdziwa. (@edit: poprawa wskazówki)

4. Niech \(\displaystyle{ \Omega =\{a,b,c,d\}, A=\{a\}, B=\{b,c\}}\). Wówczas
(a) \(\displaystyle{ (A \cap A’)\setminus(B \cup B’)=\Omega, (b) A \cap (B \cup A’)=∅, (c) (A \cup A’) \setminus (B \setminus B’)=∅ }\).
w a mi wyszło \(\displaystyle{ ∅}\) czyli niepoprawna, b poprawna,

Zgadza się.

c tu mi wyszedł zbiór \(\displaystyle{ [a,d]}\)

Mógł Ci najwyżej wyjść zbiór \(\displaystyle{ \{a,d\}}\) (co jest poprawnym wynikiem) - rodzaj nawiasów ma znaczenie.

i mam pytanko czy jak mam np sume zbiorów b i \(\displaystyle{ A’}\) to będzie \(\displaystyle{ [b,c,d]}\) czy \(\displaystyle{ [b,b,c,c,c]}\).

Masz \(\displaystyle{ B\cup A'=\{b,c,d\}}\). Jeżeli opisujemy zbiór poprzez wymienienie elementów, to nie powtarzamy elementów, bo to nie ma sensu: \(\displaystyle{ \{a,a,a\}=\{a\}.}\)

5. Niech \(\displaystyle{ T=\{1,2,..,10\}}\) oraz \(\displaystyle{ A_i = (0,2i), B_i=(-2i, 0)}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ (a) \bigcup_{i \in T} A_i \setminus \bigcup_{i \in T} B_i =∅}\) ,
(b) \(\displaystyle{ \bigcap_{i \in T }A_i = ∅}\)
(c) \(\displaystyle{ A_6 \cap (B_5 \setminus B_6) =∅}\)
w a mi wyszły liczby od \(\displaystyle{ -20}\) do \(\displaystyle{ 20}\) co druga czyli niepoprawna, w b \(\displaystyle{ 0}\) czyli niepoprawna, w c mi wyszedł \(\displaystyle{ ∅}\) czyli prawda.

Odpowiedź w (c) jest poprawna, ale pozostałe odpowiedzi wskazują na to, że nie rozumiesz, co to jest suma/przekrój uogólniony. Zwłaszcza w (a) wygląda to źle - jak chcesz dostać "co drugą liczbę", skoro dodajesz całe przedziały? A w (b) po pierwsze musi wyjść zbiór, czyli pewnie masz na myśli \(\displaystyle{ \{0\}}\), a po drugie - naprawdę uważasz, że liczba \(\displaystyle{ 0}\) jest wspólnym elementem tych wszystkich przedziałów?

JK

[welik]

Czyli która odpowiedź powinna być w zadaniu 2?
Zbiór potęgowy będzie wyglądał tak \(\displaystyle{ \{\{\emptyset\},\{aa\},\{b\},\{aa,b\}\}}\) więc czemu ani nie należy \(\displaystyle{ P(x)}\) ani nie jest podzbiorem?

[Jan Kraszewski]

Czyli która odpowiedź powinna być w zadaniu 2?

Żadna, poprawiłem już wskazówkę.

Zbiór potęgowy będzie wyglądał tak \(\displaystyle{ \{\{\emptyset\},\{aa\},\{b\},\{aa,b\}\}}\)

Nieprawda, zbiór potęgowy będzie wyglądał tak: \(\displaystyle{ \{\emptyset,\{aa\},\{b\},\{aa,b\}\}}\).

więc czemu ani nie należy \(\displaystyle{ P(x)}\) ani nie jest podzbiorem?

Musisz zrozumieć różnicę między należeniem a zawieraniem (co w przypadku, gdy w grę wchodzą zbiory potęgowe nie jest łatwe). Masz:
\(\displaystyle{ b\in X \Leftrightarrow \{b\} \subseteq X \Leftrightarrow \{b\}\in P(X) \Leftrightarrow \{\{b\}\} \subseteq P(X)\Leftrightarrow \{\{b\}\} \in P(P(X))\Leftrightarrow \left\{ \{\{b\}\}\right\} \subseteq P(P(X)) \Leftrightarrow\left\{ \{\{b\}\}\right\} \in P(P(P(X))). }\)

JK